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数学数学测试卷测试卷（理科理科）答案答案 选择题：DBCBA CCAAD AD 13.2; 14. , 31 ,; 15. 5 5 ; 16. 2ln 17解： （）依题意有 nn Sa4) 1( 2 ， 当1n时， 0) 1( 2 1 a 得1 1 a；1 分 当2n 时 1 2 1 4) 1( nn Sa 有- 得0)2)( 11 nnnn aaaa，3 分 因为0, 0 1 nnn aaa )2(02 1 naa nn 5 分 n a 成等差数列，得12 nan.7 分 (2) 12 1 12 1 ( 2 1 nn bn , 9 分 . 12 ) 12 1 1 ( 2 1 ) 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 ( 2 1 21 n n nnn bbbT nn 12 分 18解： （1）众数：87；中位数：88.5 2 分 （2） 设 i A表示所取 3 人中有i个人评价该教师为 “优秀” ， 至多有 1 人评价该教师为 “优秀” 记为事件A，则 60 49 120 98 )()()( 3 10 2 7 1 3 3 10 3 7 10 C CC C C APAPAP； （3）的可能取值为0、1、2、37分 3 7343 (0)() 101000 P； 1000 441 ) 10 7 ( 10 3 ) 1( 21 3 CP； 1000 189 10 7 ) 10 3 ()2( 22 3 CP； 1000 27 ) 10 3 ()3( 3 P； 分布列为 0 1 2 3 P 343 1000 1000 441 189 1000 1000 27 11分 34344118927 0123 1000100010001000 E 9 . 0. 12分 注：用二项分布直接求解也可以 19解法一： （1）已知侧面 11 AAC C是菱形,D是 1 AC的中点， 11 ACBDBCBA 2 分平面 1 ABC平面 11 AAC C，且，平面 1 ABCBD 平面 1 ABC平面 11 AAC C=AC1BD平面 11 AAC C.CABD 1 5 分 （2）解法二如图，以D为原点,以 DA,DB DC所在直线分别为x轴, z 轴，y轴建立空间直 角坐标系.由已知可得 11 2,1,3,6ACADBDADDCBC= 6 分 1 (0,0,0), (1,0,0), (0,0, 3),( 1,0,0), (0, 3,0)DABCC-7 分 设平面ABC的一个法向量是( , , )mx y z= ，( 1,0, 3),(0, 3,3)ABBC = -=- 由0, 0mBCmAB, 得 30 330 xz yz - += -= ，可得( 3,1,1)m =8 分 平面 1 ABC平面 11 AAC C ， 11 ACCA, 1 ABCCD平面, 平面 1 ABC的一个法向量是(0,1,0)DC = ， 10 分 5 5 ,cos DCm DCm DCm，即二面角 1 CABC-的余弦值是 5 5 .12 分 20解： （1）依题意可设直线, 1: myxAB1 分 将直线AB与抛物线联立 xy myx 4 1 2 044 2 myy 设),(),( 2211 yxByxA 由韦达定理得 4 4 21 21 yy myy 3 分 FBAF3 21 3yy4 分 3 1 2 m. 33或斜率为6 分 （2） 416164)( 2 1 22 2 21 2 212121 myyyyyyyyOFSS AOBOACB 当时，0m四边形 OACB 的面积最小，最小值为 4. 12 分 21解： （1），的定义域为 0)(xf， 2 ) 1)(1 ( )( x aaxx xf 1 分 当0a时，由), 1 (0)( xxf），的单调增区间为（1)(xf由 ) 1 , 0(0)( xxf），的单调减区间为（ 10)(xf2 分 当0a时，由), 1 (0)( xxf），的单调增区间为（1)(xf由 ) 1 , 0(0)( xxf），的单调减区间为（ 10)(xf3 分 当 2 1 0 a时，由) 1 , 1 (0)( a a xxf ），的单调增区间为（ a a xf 1 1)(由 , -1 ) 1 , 0(0)( a a xxf和 , 1 10)( a a xf）和，的单调减区间为（ 4 分 当 2 1 a时，), 0(0)( xxf），的单调减区间为（0)(xf5 分 综上所述当0a时，），的单调增区间为（1)(xf ），单调减区间为（ 10 C B A C A1 B D x z y 当 2 1 0 a时， ），的单调增区间为（ a a xf 1 1)( , 1 10 a a ）和，单调减区间为（ 当 2 1 a时， ），的单调减区间为（0)(xf6 分 （2） 当 3 1 a时， 由 （1） 知）在（ 2 , 0)(xf 3 2 ) 1 ( min ff依题意有 3 2 )( min2 fxg， 3 , 1 2 x上有解在3 , 1 2 2 2 2 2 x x xb x xxh 2 )(，令知 单调递增，）单调递减，在，）在（3221(h x22)2()( min hxh . 222)(2 min bxhb. 2bb的取值范围为12 分 或用 minmin )()(xgxf，而 3 2 ) 1 ( min ff，对 min )(xg分三种情况： 无解 3 2 2 3 7 1)( 1 min bgxg b 32 3 2 3 4 )( 31 2 min b bbgxg b b bgxg b 3 3 2 6 3 31 3)( 3 min 综上：. 2bb的取值范围为 22 （1）证明：连接 OE,AE, AC 是O 的切线, DE 也是O 的切线， 弦切角CAE=DEA ，ADE 是等腰，AD=DE， AB 是O 的直径，AEB = 90=CEA . D 是AEC 的外心，即是 AC 的中点. （2）解： BEAO AO BECE AO ACB 3 22 sin； ABE 中，ACB AO BE EBAsin 2 cos, ACBAOBEsin2； ACBAOAO AO ACB sin23 2 sin= ACBsin23 2 ； 解方程的 2 1 sinACB，锐角ACB=30. 23解： （1）因为 sin cos y x 将其代入 1 C 展开整理得： 06sin4cos32 2 的极坐标方程为：圆 1 C 06sin4cos32 2 3tan 1 消参得l)( 3 R 的极坐标方程为：直线 1 l)( 3 R 5 分 （2） 06sin4cos32 3 2 0633 2 3 21 . 4 3 2 1 3 2 1 1 MNC S10 分 24解：(1）原不等式等价于 3 2 (23)6 x xx 或 3 0 2 (23)6 x xx 或 0 (23)6 x xx 3 分 解得 33 3010 22 xxx 或或. 即不等式的解集为 | 13xx 5 分 （2）当0x时，易知成立；当10 x时, 2 15 32(1)32 4 xmxxx 即 3 321 4 xm x 在01x时恒成立. 因为01x，所以当且仅当 1 2 x 时 3 3 4