数学分析简明教程答案尹小玲邓东皋第一二章.pdf

- 1 - 第一章第一章 绪论绪论 第二章第二章 函数函数 第一节第一节 函数概念函数概念 2222 222222 1. (1); ,;. ,22,()() ; . xyxy x yx yxyx yxy xxyyxx yyxxyyxyxy xyxy ? 证明下列不等式： 证明：对于总有于是 又由于那么即 开方后即得 1212 22 22 1212 12 12 (2).; .,22; 2 .1, nn kk k xxxxxx ix yx yxyxx yyxxyy xyxyn iinkxxxxxx iiinkyxxx xx ? 证明：使用数学归纳法； 对于总有于是有 整理后可得，即当时所证成立。 假设当时所证不等式也成立，即 当时,取于是有： 11 1 121 121 1 kkk k kk kk xxyx yx xxxx xxxx nk 即当时所证不等式也成立。 那么由数学归纳法可知题证成立。 1212 1212 1212 121 (3).(). ,; , ( nn nn nn n xxxxxxxx x yxyxy xxxxxxxx xxxxxx xxxxxx ? 证明：易知对于总有于是可得 又由于因此 2 ). n xx - 2 - 2 111 ( ),( ) 1 ()(); 11 2(1)(1) , 1(1)(1)11 abab abab x f xf x x abababf abf abab ababab ababab abababbaab ababbaab 求证 证明：令易知是一个增函数。 容易证得,那么即 由于因此 2 . 11111 abababababab abababababab 3.max( , );min( , ). 2222 .max( , ); 2222 max( , ). 2222 .min( , ); 2222 abababab a ba b abababab iabaa b abababba abba b abababab iiabba b ab 求证： 证明： 当时 当时 当时 当min( , ). 2222 max( , ),min( , ) 2222 abababba aa b abababab a ba b 时 于是有成立。 4.( ), sin , sin ( ). 2 (0,180 ). abs ahb ab s 已知三角形的两条边分别为 和 ，它们之间的夹角为 ，试求此三角形的面积并 求其定义域。 解：由题意可知在三角形中以边 为底的高于是有 显然在三角形中其中一角 2 2 2 23 5. ,; 4 4 (0, r h hRr VR h hrh h 在半径为 得瑟球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并求此函数 的定义域。 解：设其高为那么圆柱的底面半径为于是圆柱体积 由于圆柱为球的内接圆柱，故有2 ).r - 3 - 6.20,5(5)1 515(15)225 1 (0,5 ( )2 (5,15 2. KmKmKm KmKmKm yx x y xx 某公交车路线全长为票价规定如下：乘坐以下 包含者收费 元；超过 但在以下 包含者收费 元；其余收费 元 角。试将票价表示成路线的 函数，并作出函数的图像。 解：设 为票价, 为路程,则有 . 5 (15,20x 它的函数图像如下： 画图板作图 7.( ), (0)0,(10)20,(20)0,( )(020), 2 0,10 ( ) 402 (10,20 tf t ffff tt tt f t tt 一脉冲发生器产生一个三角波，若记它随时间 的变化规律为且三个角分别对应关 系求并作出函数的图形。 解：由题意可知所求函数为： 其函数图像为： -10102030 5 10 15 20 25 30 Mathematica 作图 - 4 - 2 4 2 2 8. (1). ( )1 2 (2) ( )sin (3) ( ) (4) ( x x f xx f xxx f xx e f x 判断下列函数的奇偶性： 偶函数； 奇函数； 偶函数； 2 )lg(1) xx非奇非偶函数。 2 22 2222 2 9. (1). ( )cos; ( )()( ),coscos() , 2()2. 22 f xx tf xf xtf xxxt xkxtxtxt ktxt 判断下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期： 解：设 是的最小正周期，则应有即可得 即求方程的解，显然没有一个非零常数满足方程。故原函数没有周期。 (2) ( )cos2sin; 23 cos4sin6 23 12 . xx f x xx 解：由于的最小正周期为，的最小正周期为，取它们的最小公倍数。 即原函数的最小正周期为 (3). ( )cos; 4 2 8. 4 (4). ( )tan . tan. f xx T f xx x 解：由三角函数的性质可以知道此函数的最小正周期为 解：由于函数的最小正周期为 ，故此函数的最小正周期也是 2 2 2 2 2 10.( )(,) 1 6,(,)( )6. 6660 1 ( 1)1441430, (,)( )6( )(,) 1 x f x x Mxf xM x xx x x xf xMf x x 证明：在有界。 证明：取现证明对，都有 即要证明恒成立，这等价于不等式恒成立；而此一元二项式的判 别式于是不等式恒成立。 因此对于，都有；即在有界。 - 5 - 2 0 0 2 1 11.( )( , )( )(0,1) 0,( , ),( ),( )( , ) 1 0,(0,1), 1 ()1. 1 ( )(0,1) f xa bf x x Mxa bf xMf xa b Mx M f xMM f x x 用肯定语气叙述函数在无界，并证明在内无界。 解：对于总使得则在区间内无界。 对任意取显然有 故在上无界。 12. .( )( )( )(), ( )(). ( )( ) ( )() ()(). .( )( if xg xf xfx g xgx F xf x g xfx gxFx iif xg x 试证明两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是奇函数，一个奇函数和一 个偶函数的乘积是奇函数。 证明： 设与是两个偶函数，即有那么必有 于是两个偶函数的乘积是偶函数。 设与)( )(), ( )(). ( )( ) ( )()()(). .( )( )( )(), ( )(). f xfx g xgx G xf x g xfxgxGx iiif xg xf xfx g xgx 是两个奇函数，即有那么必有 于是两个偶函数的乘积是偶函数。 设是一个偶函数，而是一个奇函数，即有那么必 有 ( )( ) ( )()()().H xf x g xfxgxHx 因此一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数。 13.( )(,)( ) ( ),( )( )()( )( )() ( )( ) ( ). 2 ( )( ) 22 f xf x f xG xf xfxF xf xfx G xF x f x G xF x 设为定义在上的任意函数，证明可以分解为奇函数与偶函数的和。 证明：对任意的可以证明是偶函数，而是奇 函数；于是有 显然还是偶函数，还是奇函数，即得所证。 000 1212 00 0 14.(,) (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) (1)(,)()(); (2)(,)()(); (3)(,)()0; (4)0,(, f x f x f x f x xf xf x xxf xf x xf x Mx 用肯定语气叙述：在上 不是奇函数； 不是单调上升函数； 无零点； 无上界。 解： 存在，使得 存在，使得 对任意，总有 对任意的总有 0 ),().f xM使得 - 6 - 第二节第二节 复合函数与反函数复合函数与反函数 1 1.( ),( ( ). 1 111 1 1( )2 11 ( ( ). 111 1( )2 1 11 x f xf f xx x xxx f xx xx f f xx xxx f x xx 设求证 证明：得证。 2 2 2 2 2. 11 (1)(),1; 2 11 ()1(1,). 2 11 () 2 244 1; 2 (1,),1. ( )1,(1,). yxx x yxxy x yx x yy xyy xxyy f xxxx 求下列的函数的反函数及其定义域： 解：函数，当时，有 由可以反解出 因为故 于是原函数的反函数为 2 22 1 (2)(),; 2 1 (,)(,);() 2 210 1,01 xx xx xx xxx yeex xyyee eye eyyeeyy 解：当时，可以解出由可以整理出 ； 于是可得解得由于恒成立，于是有，即 2 2 ln(1). ( )ln(1),(,). xyy f xxxx 因此原函数的反函数为 2 2 1 (3) 14. 2 4 1, 1 14, 116, log 4, 16 x xx yxx x yxy xyxy yxy 解：依次可以解得于是所求反函数为 2 1 116. log 16 xx yxx xx - 7 - 121212 121122 3.( ), ( )( ( ) ( ), ( );,()(), ()(). ( ),()(), f x g xf g x f x g xxxf xf xg xg x yg xxxyg xg xy ? ? 设为实轴上单调函数，求证也是实轴上的单调函数。 证明：不妨设的单调上升函数 即对总有 设于是对任意总有于是有 12 ( ()( (). ( ( ) f g xf g x f g x 因此也是单调函数。 2 2 01 0 4.( ), ( ),( ( ), ( ( ). 0 0 .,( )0 1 0 ( ( )( ) 1 xxxx f xg xf g xg f x xxxx ixg x xx f g xg x x ? 设求复合函数 解： 由于对任意的总有成立，于是有 22 22 . 1 0 .0( )0,( ( )( ); 1( )10,( ( )( )(1) ; 10( )10,( ( )( )1. ( ( ) x iixf xxg f xfxx xf xxg f xfxx xf xxg f xf xx g f x 当时，此时 当时，此时 当时，此时 综上所述，可得 2 2 0 )(1) 1. 1 10 xx xx xx 2 2 1 2 2 1 5.( ),()( ). 1 .1()( )( ) 1 .()( ) 1 1 .1()( )()( ) 1 ( 1 n k kk x f xfffx x x infffxf x x x iinkfffx kx x kx iiinkfffxffffx x kx 次 次 次 次次 设求 解：利用归纳法： 当时，； 设当时，； 当时， 2 2 2 2 . 1 (1) ) ()( ). 1 n x kx x fffx nx 次 综上可得 - 8 - 1 1 6.( )11,()( ). 2 1 .1()( )( )112 11 2 1 1 2 2 .()( )2 n k k f xxxfffx x infffxf xxxxx x x iinkfffxx 次 次 次 设试求 解：利用归纳法： 当时，； 设当时， 11 1 1 11 22 1 2 2 1 2 2 11 .1()( )()( ( )2 . 22 1 2 2 2 ()( ) kk k k kk kk k n x x x iiinkfffxffff xxx x fffx 次次 次 ； 当时， 综上可得 1 11 1 1 2 11 2 . 22 1 2 2 n nn n x xx x 11 7.( ),( ( ),( ( ( ),(). 1( ) 11111 ( ( ),0; 111 1( ) 1 11 111 ( ( ( ),; 11 1( ( )1 1 1111 1,(),0. ( )( )1 (1) ( ) f xf f xf f f xf xf x xx f f xx x f xxx xx x f f f xx x xxx f f x xx xfx f xf xxx f x ? 设求 解： 于是 由于的定义域1,1xx为那么这三个函数的定义域是应该满足？值得商榷！ 第三节第三节 初等函数初等函数 2 1 (1); (2) ; (3)tan ; (4)(2); (5)sin; (6)sincos. yxyxxyx yxxyxyxx .对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的 图形： - 9 - 解：各个函数的性质如下表： 题号 定义域 值域 奇偶性 周期性 有界性 (1) (,) 0,) 偶函数 无周期 无界 (2) (,) 0,1) 非奇非偶1T 有界 (3) ,0,1,2,xkk(,) 奇函数 T 无界 (4) 0,2 0,1 非奇非偶无周期 有界 (5) (,) 0,1 偶函数 T 有界 (6) (,) 0,2 偶函数 / 2T 有界 各函数图像如下： (1) Mathematica 作图. -100-5050100 20 40 60 80 100 (2)Word、画作图板作图. (3) Mathematica、Word、画图板作图 - 10 - (4). Mathematica 作图 0.511.52 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (5). Mathematica 作图 -4-224 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (6). Mathematica 作图 -4-224 1.1 1.2 1.3 1.4 123 123 2.( ) ( ) ,(),() , f x yf xyfxyfx y yyy 若已知函数的图形，作函数 的图形，并说明的图形与 的图形的关系。 - 11 - 32 ( ),f xxx解：设四者作图如下： -1-0.50.511.52 x -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 y fx -1-0.50.511.52 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 y fx ( )( )f xf xxxx显然的图像是将的图像中位于 轴下面的部分，对称于 轴翻转到 轴上面得到。 - 12 - -1-0.50.511.52 x -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 y fx ()( )fxf xy 的图像与的图像是关于 轴轴对称的。 -1-0.50.511.52 x -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 y fx ()( )fxf x的图像与的图像是关于原点中心对称的。 - 13 - 3243 3.( ), ( ) 1 ( )( )( )( ) 2 ( ), ( ) ( ), ( )3, f x g x yf xg xf xg x yf x g x f xxxg xxx 若已知函数的图像，试做出函数 的图像，并说明 的图像与的图像的关系。 解：设它们的图像如下： -1-0.50.511.52 x -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 y fx -1-0.50.511.52 x 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 y gx - 14 - 1 1 ( )( )( )( ) 2 yf xg xf xg x函数的图像如下： -1-0.50.511.52 x -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 y y1 1 1 1 ( )( )( )( )min( ( )( ) 2 ( )( ) yf xg xf xg xf xg x yf xg xy 函数的图像是函数,的图像；也就是说 的图像是将与的图像画在同一个坐标系中时，更靠近 轴负方向的那一部分。 2 1 ( )( )( )( ) 2 yf xg xf xg x函数的图像如下： -1-0.50.511.52 x 1 2 3 4 5 y y2 1 1