初高中数学脱节部分补充.doc

初高中数学脱节部分补充现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；2、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；3、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；4、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；5、初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。11、30、45、60的三角函数值12、等边三角形的高、面积、外接圆半径、内切圆半径与边长的关系。另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。在此没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。1. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ；（5）两数差立方公式 例1 计算： 例2 已知，求的值练 习（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 2.因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法1十字相乘法例1 分解因式：（1）x23x2； （2）x24x12；（3）； （4） 课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）_ （2）_（3）_ （4） _（5）_。（6）_。（7）_。（8）_。（9）_。（10）_。2、把下列各式分解因式1、 2、3、 4、2提取公因式法例2 分解因式：（1）（2） 课堂练习：一、计算= 二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“” ）1、（ ）2、（ ）3、（ ）4、（ ）3：公式法例3 分解因式：（1） （2）课堂练习一、，的公因式是_。二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“” ）1、 （ ）2、（ ）3、（ ）三、把下列各式分解1、 2、3、 4、5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.例5 把关于x的二次多项式分解因式： 解： （1）令=0，则解得， = =注：以上方法中1、5两种都是针对二次三项式ax2+bx+c(a0) 而言的。其中0时一定不能分解因式，0时都能分解，如果能用十字相乘法就优先使用十字相乘法，否则就先求出根再用分解。（=0时能分解成完全平方式，反之亦然）练 习1三边，满足，试判定的形状2分解因式：x2x(a2a)3. 根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程x2pxq0可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1x20因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2(x1x2)xx1x20 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则，| x1x2| 于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例1 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值；（ ） （2）求的值；(37/9) （3）x13x23()例2 若关于x的一元二次方程x2xa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围解：设x1，x2是方程的两根，则 x1x2a40， 且(1)24(a4)0 由得 a4，由得 aa的取值范围是a4练习1若关于x的方程x2xa0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围2以3和1为根的一元二次方程是 3如果关于x的方程x22(1m)xm20有两实数根、，则的取值范围为 （ ）（A） （B） （C）1 （D）1 4. 二次函数yax2bxc的图象和性质二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当a0时，函数yax2bxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y（2）当a0时，函数yax2bxc图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y（1）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个交点，则0也成立（2）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴有一个交点，则0也成立（3）当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有交点，则0也成立二次函数的三种表示方式：1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)3交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标（即若抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为ya(xx1) (xx2) (a0)）5.一元二次不等式的解法1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2、一元二次不等式的解法步骤一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 例1 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4xx20例2 解关于x的不等式解：原不等式可以化为：若即则或若即则 若即则或例3 已知不等式的解是求不等式的解解：由不等式的解为，可知，且方程的两根分别为2和3，即 由于，所以不等式可变为 ，即 整理，得 所以，不等式的解是 x1，或x说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题练 习1解下列不等式：（1）3x2x40； （2）x2x120；（3）x23x40； （4）168xx20（5）3x240 2.解关于x的不等式x22x1a20（a为常数）作业：1.若0a1,则不等式(xa)(x)0的解是 ( )A.axB. xaC.x或xaD.x或xa2.如果方程ax2bxb0中，a0，它的两根x1，x2满足x1x2，那么不等式ax2bxb0的解是_3解关于x的不等式x2(1a)xa0（a为常数）4关于x的不等式的解为求关于x的不等式的解6分式1、分式的基本性质： ； 2繁分式 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式繁分式的化简方法：繁分式的值等于分子乘以分母的倒数。例1（1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：； （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有例2设，且e1，2c25ac2a20，求e的值练 习1填空题：对任意的正整数n， ()；2计算3计算：6根式及其分子有理化或分母有理化 例1 试比较下列各组数的大小：（1）和； （2）和.例2化简：例3 化简：（1）； （2）练 习1填空：（1）_ _；（2）若，则的取值范围是_ _ _；2选择题：等式成立的条件是 （ ）（A） （B） （C） （D）3比较大小：2 （填“”，或“”）3填空：（1）_；（2）若，则的取值范围是_；（3）_ 7.含绝对值的不等式绝对值的代数意义：正数的绝