理论力学哈工第七版课后练习答案第三部分.pdf

1(b)ABbadmBgcmAgOx9-2图示A、B两物体的质量分别为m1与m2，二者间用一绳子连接，此绳跨过一滑轮，滑轮半径为r。如在开始时，两物体的高度差为h，而且m1m2，不计滑轮质量。求由静止释放后，两物体达到相同的高度时所需的时间。解解：分别取重物m1，m2为研究对象，受力和运动分析如图b，分别列出两物体在铅垂方向的运动微分方程1111mamgF=(1)2222maFmg=(2)12aaa=不计滑轮质量，故12FF=由式（1）、（2），解得1212mmagmm=+a为常量，二物体以相等的加速度反向作匀加速运动，且由静止释放，即00v=21212sssat=当二物体达到相同高度时，每物体均经过122hss=的路程。1212()2()hmmstagmm+=10-3图示水平面上放一均质三棱柱A，在其斜面上又放一均质三棱柱B。两三棱柱的横截面均为直角三角形。三棱柱A的质量mA为三棱柱B质量mB的三倍，其尺寸如图示。设各处摩擦不计，初始时系统静止。求当三棱柱B沿三棱柱A滑下接触到水平面时，三棱柱A移动的距离。解解：取A、B两三棱柱组成一质点系为研究对象，把坐标轴Ox固连于水平面上，O在棱柱A左下角的初始位置。由于在水平方向无外力作用，且开始时系统处于静止，故系统质心位置在水平方向守恒。设A、B两棱柱质心初始位置（如图b所示）在x方向坐标分别为13axc=223xdb=当棱柱B接触水平面时，如图c所示。两棱柱质心坐标分别为OrhABOrhAB(a)(b)m2gm1gF1F2ABa2a1m2gm1gF1F2ABa2a1(a)ABba2ABbadmBgcmAgOlx(c)13axlcl=2()3bxla=系统初始时质心坐标2()()2333()ABABcABABammbmambxmmmm+=+棱柱B接触水平面时系统质心坐标()()3()(3)333()ABABABBcABABabmlmlammlammmbxmmmm+=+因ccxx=并注意到3ABmm=得4abl=10-11均质杆AG与BG由相同材料制成，在G点铰接，二杆位于同一铅垂面内，如图所示。AG=250mm，BG=400mm。若GG1=240mm时，系统由静止释放，求当A，B，G在同一直线上时，A与B两端点各自移动的距离。解解：本题水平方向质心守恒，位置不变。设杆件的线密度，建立坐标系，设A点位移为SA，B点位移为SB。135250(16070)400250400155mmcx+=+=当A，B，G在同一直线上时，有2504001552AS+=即质心在AB中点，于是390650BASS+=得170mmAS=90mmBS=GG1AB(a)GG1AB(a)(b)GG1AB70320C155SASBCy(b)GG1AB70320C155SASBCy310-12图示滑轮中，两重物A和B的重量分别为P1和P2。如物体A以加速度a下降，不计滑轮质量，求支座O的约束力。解解：对整体进行分析，两重物的加速度和支座O的约束力如图b所示。由动量定理知：2112BANPPaaFPPgg=其中，Aaa=，2Baa=解得12121(2)2NFPPPPag=+11-1质量为m的点在平面Oxy内运动，其运动方程为cosxat=，sin2ybt=其中a，b和为常量。求质点对原点O的动量矩。解解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度sin2cos2xydxvatdtdyvbtdt=（1）质点对点O的动量矩为3()()(sin)sin22cos2cos2cosOOxOyxyLMmvMmvmvymvxmatbtmbtatmabt=+=+=+=用矢量表示有()()()OLrmvxiyjmximyjxmyymxk=+=vvvvvvvv其中x，y由式（1）确定。(a)ABO(a)ABOABO1Pv2PvNFvAavBav(b)ABO1Pv2PvNFvAavBav(b)4OOAR400(a)OOAR400(a)OOAR400r(c)OOAR400r(c)OOAR400r(b)OOAR400r(b)11-2无重杆OA以角速度o绕轴O转动，质量m=25kg，半径R=200mm的均质圆盘以三种方式安装于杆OA的点A，如图所示。在图a中，圆盘与杆OA焊接在一起，在图b中，圆盘与杆OA在点A铰接，且相对杆OA以角速度r逆时针向转动。在图c中，圆盘相对杆OA以角速度r顺时针向转动。已知O=r=4rads，计算在此三种情况下，圆盘对轴O的动量矩。解：（1）在图a中，轮A为绕O点的定轴转动，其转动惯量和动量矩分别为：22219(2)22OJmRmRmR=+=22918kgms2OOOOLJmR=（2）在图b1中，轮A作平面运动，取轮心A为基点，则由公式（11-22）有2222122()2520kgmsOAAaOOrOLmvRJmRRmRmR=+=+=其中，aOr=+为绝对角速度。（3）在图c1中，因轮A绕A点的绝对角速度0aOr=，故轮A绕O的运动为圆周曲线平移。由公式（11-22）有2OAAaLmvRJ=+因0aOr=所以0AaJ=2224(40.2425)16(kgm)OAOLmvRRms=OOAR2Rr(b1)vAOOAR2Rr(b1)vAOOAR2Rr(c1)vAOOAR2Rr(c1)vA511-5如图a所示两带轮的半径为R1和R2，其质量各为m1和m2，两轮以胶带相连接，各绕两平行的固定轴转动。如在第一个带轮上作用矩为M的主动力偶，在第二个带轮上作用矩为M的阻力偶。带轮可视为均质圆盘，胶带与轮间无滑动，胶带质量略去不计。求第一个带轮的角加速度。解：分别取两皮带轮为研究对象，其受力如图b、c所示，其中1122TTTTFFFF=（1）以顺时针转向为正，分别应用两轮对其转动轴的转动微分方程有1112122122()()TTTTJMFFRJMFFRM=（2）1221:RR=（3）式（1）、（2）、（3）联立，解得121211222RMMRRJJR=+式中211112JmR=，222212JmR=代入上式，得211212122()()MRMRmmRR=+11-12重物A质量为m1，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D，并绕在鼓轮B上，如图a所示。由于重物下降，带动了轮C，使它沿水平轨道只滚不滑。设鼓轮半径为r，轮C的半径为R，两者固结在一起，总质量为m2，对于其水平轴O的回转半径为。求重物A的加速度。解：分别取重物A和鼓轮B为研究对象，其受力和运动分析如图b、c所示。重物A的运动微分方程：11ATmamgF=（1）轮B作平面运动，其运动微分方程为2OTmaFF=（2）22TmFrFR=+（3）由于轮子只滚不滑，故有R1R2MM(a)R1R2MM(a)(b)MFT1FT2m1gO11FO1yFO1x(b)MFT1FT2m1gO11FO1yFO1xT2F2T1FO2m2gFO2yFO2x(c)MT2F2T1FO2m2gFO2yFO2x(c)MRrOBACD(a)RrOBACD(a)6ORa=（4）()ABaaRr=+（5）式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）联立求解，得2122212()()()AmgrRamRrmR+=+11-14均质圆柱体A的质量为m，在外圆上绕以细绳，绳的一端B固定不动，如图a所示。当BC铅垂时圆柱下降，其初速为零。求当圆柱体的轴心降落了高度h时轴心的速度和绳子的张力。解：取均质圆柱体A为研究对象，其受力如图b所示，根据刚体平面运动微分方程ATmamgF=（1）ATJFR=(设轮A半径为R)（2）由题意知AaR=代入式（1）、式（2）解得13TFmg=23gR=23AaRg=由于加速度aA为常量，由运动学公式知2233AAvahgh=Am1gaAFT(b)Am1gaAFT(b)OBCm2gFNFSFTaO(c)OBCm2gFNFSFTaO(c)ABCh(a)ABCh(a)AChaAmgyOFTvA(b)AChaAmgyOFTvA(b)711-23均质圆柱体的质量为m，半径为r，放在倾角为60的斜面上。一细绳缠绕在圆柱体上，其一端固定于点A，此绳和A相连部分与斜面平行，如图所示。如圆柱体与斜面间的摩擦因数为13f=，求圆柱体质心的加速度aC。解：取均质圆柱为研究对象，受力如图b所示；圆柱作平面运动，其平面运动微分方程为()CTsJFFr=（1）o0cos60NFmg=（2）osin60CTsmamgFF=（3）且sNFFf=（4）圆柱沿斜面向下滑动，可看作沿绳AD向下滚动，且只滚不滑，所以有Car=（5）13f=式（1）（5）联立，解得0.355Cag=（方向沿斜面向下）12-2圆盘半径r=0.5m，可绕水平轴O转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A，B，质量分别为mA=3kg，mB=2kg。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩M=4的规律变化（M以Nm计，以rad计）。求由=0到=2时，力偶M与物块A，B重力所作的功之总和。解：轴承处约束力（图b中未画出）为理想约束力，不做功。做功的力和力偶矩有M，mAg，mBg：20224()28()2819.820.5110(J)ABABWdmmgrmmgr=+=+=+=CB60mgFNaCFTDFs(b)CB60mgFNaCFTDFs(b)(a)AC2rB60mgAC2rB60mg(b)OABMrmAgmAgmBgOABMrmAgmAgmBg(a)OABMOABM812-4图示坦克的履带质量为m，两个车轮的质量均为m1。车轮被看成均质圆盘，半径为R，两车轮间的距离为R。设坦克前进速度为v，计算此质点系的动能。解：系统的动能为履带动能和车轮动能之和。将履带分为四部分，如图b所示。履带动能：2IIIIIIIV12iiTmvTTTT=+履由于v1=0，vIV=2v，且由于每部分履带长度均为R，因此IIIIIIIV4mmmmm=2III102Tmv=222IVIVIV111(2)2242mTmvvmv=II、III段可合并看作一个滚环，其质量为2m，转动惯量为22mJR=，质心速度为v，角速度为vR=，则222222211111112224222vTTmvJmvmRmvr+=+=+=IIIII22211022Tmvmvmv=+=履轮动能2222111211132=22222vTTmvmRmvR=+=轮轮1则系统动能2221131+=(32)22TTTmvmvmmv=+=+履轮12-8在图示滑轮组中悬挂两个重物，其中重物I的质量为m1，重物II的质量为m2。定滑轮O1的半径为r1，质量为m3；动滑轮O2的半径为r2，质量为m4。两轮都视为均质圆盘。如绳重和摩擦略去不计，并设m22m1-m4。求重物m2由静止下降距离h时的速度。解：整个系统为对象，由题意m22m1-m4知，重物II由静止向下运动，可应用动能定理确定II的速度。设II下降h距离时的速度为v，则动滑轮O2的角速度22vr=定滑轮O1的角速度O1O2III(a)O1O2III(a)(a)RvRvv=0RvDCABIIIIIIIV2vv=0RvDCABIIIIIIIV2v(b)9112vr=根据动能定理1221WTT=即2222222424142231111112(2)2442mmmghmghmghvmrmrmv+=+故21412344(2)8243ghmmmvmmmm+=+12-11力偶矩M为常量，作用在绞车的鼓轮上，使轮转动，如图所示。轮的半径为r，质量为m1。缠绕在鼓轮上得绳子系一质量为m2的重物，使其沿倾角为的斜面上升。重物与斜面间的滑动摩擦因数f，绳子质量不计，鼓轮可视为均质圆柱。在开始时，此系统处于静止。求鼓轮转过角时的角速度和角加速度。解：10T=由2112TTW=得22122211()(sincos)42mmrMmgrfmgr+=（1）对时间t求导，得212221()(sincos)2mmrMmgrfmgr+=（2）由（1），（2）解得2212212sincos22(sincos)22MmgrfmgrrmmMmgrfrmm=+=+22222222222121122111()22211()42TJmvmrmrmmr=+=+=+122222sincos(sincos)WMmgrfmgMmgrfmgr=O1O2IIIm1gm2gm3gm4g(b)O1O2IIIm1gm2gm3gm4g(b)m2m1M(a)m2m1M(a)m2m1Mvvav2mgv(b)m2m1Mvvav2mgv(b)102221222122(sincos)(2)2(sincos)(2)MmgrfmgrmmrMmgrfmmr=+=+综-5图示三棱柱A沿三棱柱B的斜面滑动，A和B的质量分别为m1和m2，三棱柱B的斜面与水平成角。如开始时物系静止，忽略摩擦，求运动时三棱柱B的加速度。解：设水平向右为x正向。整体受力和运动分析如图（b），因为0 xF=，所以x方向系统守恒，有21(cos)0BrBmvmvv+=解得121()cosBrmmvvm+=（1）所以该系统动能为设此时三棱柱A沿三棱柱B下滑的距离为s，则其重力作的功为1sinWmgs=系统动能22211221sin1()2cosBmmTmmvm+=+由系统动能定理TW=即1sinWmgs=上式对时间求导，并注意到rdsvdt=，整理后得22112121sin()sincosBBrmmmmvamgvm+=得22212222122211221112211(2cos)22sin1()2cosBABBrBrBTmvmvmvmvvvvmmmmvm=+=+=+AB(a)AB(a)ABFNm2gm1gvrvBvBxy(b)ABFNm2gm1gvrvBvBxy(b)BFNm2gaB1NF(c)BFNm2gaB1NF(c)A1NFm1garaB(d)A1NFm1garaB(d)111221sin22(sin)Bmgamm=+综-10物A质量为m1，沿楔状物D的斜面下降，同时借绕过滑轮C的绳使质量为m2的物体B上升，如图所示。斜面与水平成角，滑轮和绳的质量和一切摩擦均略去不计。求楔状物D作用于地板凸出部分E的水平压力。解：设该系统初动能为T0，当物块A沿斜面下滑距离为s时，A、B速度皆为v，由动能定理，有2120121()(sin)2mmvTmgmgs+=将此式对时间求导数，并注意T0为常量；而sv=，整理得1212()sinmmamgmg+=解出物体A的加速度为1212sinmgmgamm=+再由iixxmaF=，有1cosExmaF=解得12112sincosExmmFmgmm=+综-12滚子A质量为m1，沿倾角为的斜面向下只滚不滑，如图所示。滚子借一跨过滑轮B的绳子提升质量为m2的物体C，同时滑轮B绕O轴转动。滚子A与滑轮B的质量相等，半径相等，且都是均质圆盘。求滚子重心的加速度和系在滚子上绳的张力。解：设滚子半径为R，该系统的动能为222221121311122222AOTmRmRmv=+将AORRv=代