xx年高考理科数学圆的方程复习(北师江西版)

1 / 11 XX 年高考理科数学圆的方程复习 (北师江西版 ) 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 mXX年高考第一轮复习数学北师 (江西版 )理第八章 圆的方程 考纲要求 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 知识梳理 1圆的定义 在平面内，到 _的距离等于 _的点的 _叫做圆 确定一个圆最基本的要素是 _和 _ 2圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 r2(r 0)，其中 _为圆心， _为半径长 特别地，当圆心在原点时， 圆的方程为 _ 3圆的一般方程 对于方程 x2 y2 Dx Ey F 0. (1)当 _时，表示圆心为 D2， E2，半径长为12D2 E2 4F 的圆； (2)当 _时，表示一个点 D2， E2； 2 / 11 (3)当 _时，它不表示任何图形； (4)二元二次方程 Ax2 Bxy cy2 Dx Ey F 0 表示圆的充要条件是 ， ， . 4点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种 圆的标准方 程 (x a)2 (y b)2 r2(r 0)，点 m(x0， y0)， (1)点在圆上： _； (2)点在圆外： _； (3)点在圆内： _. 基础自测 1方程 x2 y2 4mx 2y 5m 0 表示圆的充要条件是( ) A 14 m 1B m 1 c m 14D m 14 或 m 1 2圆心在 y 轴上，半径长为 1，且过点 (1,2)的圆的方程是( ) A x2 (y 2)2 1B x2 (y 2)2 1 c (x 1)2 (y 3)2 1D x2 (y 3)2 1 3若点 (1,1)在圆 (x a)2 (y a)2 4 的内部，则实数 a的取值范围是 ( ) A 1 a 1B 0 a 1 c a 1 或 a 1D a 1 3 / 11 4圆 c： x2 y2 2x 4y 4 0 的圆心到直线 3x 4y 4 0 的距离 d _. 思维拓展 1二元二次方程 x2 y2 Dx Ey F 0 是否都表示一个圆？ 提示：对于该二元二次方程，只有当 D2 E2 4F 0 时，才表示一个圆； 当 D2 E2 4F 0 时，表示点 D2， E2；当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形 2求圆的方程时，应注意什么？ 提示：圆的方程由圆心坐标和半径确定求圆的方程可从确定这两个条件入手，也可先用待定系数法设出其方程，再确定其中的参数一般地，若利用半径列方程，通常设为标准形式；否则，设成一般式无论选用哪种形式，最多需要三个独立的条件 一、求圆的方程 【例 1 1】求经过点 A(5,2)， B(3， 2)，且圆心在直线2x y 3 0 上的圆的方程 【例 1 2】已知 A(0,1)， B(2,1)， c(3,4)， D( 1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？ 方法提炼常见的求圆的方程的方法有两种：一是利用圆的几4 / 11 何特征，求出圆心坐标和半径长，写出圆的标准方程；二是利用待定系数法，它的应用关键是根据已知条件选择标准方程还是一般方程如果给定的条件易求圆心坐标和半径长，则选用标准方程求解；如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点，常选用一般方程求解 请做 针对训练 3 二、与圆有关的最值问题 【例 2】已知实数 x， y 满足方程 x2 y2 4x 1 0. (1)求 yx 的最大值和最小值； (2)求 y x 的最大值和最小值； (3)求 x2 y2 的最大值和最小值 方法提炼处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： 形如 y bx a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； 形如 t ax by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； 形如 (x a)2 (y b)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 请做 针对训练 5 三、与圆有关的轨迹问题 5 / 11 【例 3】如下图所示，圆 o1 和圆 o2 的半径长都等于 1， |o1o2| 4.过动点 P 分别作圆 o1，圆 o2 的切线 Pm， PN(m， N 为切点 )，使得 |Pm| 2|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点 P的轨迹方程 方法提炼 1解答与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆的几何性质列方程；代入法，找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式此外还有交轨法、参数法等不论哪种方法，充分利用圆的几何性质，找出 动点与定点之间的关系是解题关键 2求与圆的轨迹问题时，题目的设问有两种常见形式，作答也应有不同：若求轨迹方程，把方程求出化简即可；若求轨迹，则必须根据轨迹方程，指出轨迹是什么样的曲线 请做 针对训练 4 考情分析 通过分析近几年的高考试题可以看出，对于本节内容的考查主要侧重以下两点： (1)利用配方法把圆的一般式方程转化成标准式方程，并能指出圆心坐标及半径长； (2)求圆的方程，方法主要有配方法、待定系数法、数形结合法等考查6 / 11 的形式以选择题、填空题为主 针对训练 1圆 x2 y2 4x 6y 0 的圆心坐标是 ( ) A (2,3)B ( 2,3)c ( 2， 3)D (2， 3) 2 (XX 安徽高考，文 4)若直线 3x y a 0 过圆 x2 y22x 4y 0 的圆心，则 a 的值为 ( ) A 1B 1c 3D 3 3求半径为 10，圆心在直线 y 2x 上，被直线 x y 0 截得的弦长为 42 的圆的方程 4已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4,3)，端点 A 在圆 (x1)2 y2 4 上运动，求线段 AB 的中点 m 的轨迹 5如果实数 x， y 满足方程 (x 3)2 (y 3)2 6，求 x y的最大值与最小值 参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1定点 定长 集合 圆心 半径 2 (a， b) r x2 y2 r2 3 (1)D2 E2 4F 0 (2)D2 E2 4F 0 (3)D2 E2 4F 0 (4)A c0 B 0 D2 E2 4AF 0 4 (1)(x0 a)2 (y0 b)2 r2 7 / 11 (2)(x0 a)2 (y0 b)2 r2 (3)(x0 a)2 (y0 b)2 r2 基础自测 1 D 解析：方程 x2 y2 4mx 2y 5m 0 表示圆的充要条件是 (4m)2 ( 2)2 45m 0，即 m 14 或 m 1. 2 A 解析：设圆心为 (0， a)，则 (1 0)2 (2 a)2 1， a 2.故圆的方程为 x2 (y 2)2 1. 3 A 解析： 点 (1,1)在圆 (x a)2 (y a)2 4 的内部， (1 a)2 (1 a)2 4，即 1 a 1. 4 3 解析：圆 c 的标准方程为 (x 1)2 (y 2)2 1， 其圆心为 (1,2) 圆心 c 到直线的距离为 |31 42 4|32 42 3. 考点探究突破 【例 1 1】解：方法一： 圆 过 A(5,2)， B(3， 2)两点， 圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上 线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 12(x 4) 设所求圆的圆心坐标为 c(a， b)，则有 2a b 3 0， b 12(a 4).解得 a 2， b 1. c(2,1) ， r |cA| (5 2)2 (2 1)2 10. 所求圆的方程为 (x 2)2 (y 1)2 10. 方法二：设圆的方程为 (x a)2 (y b)2 r2， 则 2a b 3 0， (5 a)2 (2 b)2 r2， (3 a)2 ( 28 / 11 b)2 r2. 解得 a 2， b 1， r 10. 圆的方程为 (x 2)2 (y 1)2 10. 方法三：设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)， 则 25 4 5D 2E F 0， 9 4 3D 2E F 0， 2 D2 E2 3 0. 解得 D 4， E 2， F 5. 所求圆的标准方程为 x2 y2 4x 2y 5 0. 【例 1 2】解：设经过 A， B， c 三点的圆的方程为 (x a)2 (y b)2 r2.则 a2 (1 b)2 r2， (2 a)2 (1 b)2r2， (3 a)2 (4 b)2 r2，解此方程组，得 a 1， b 3，r2 5. 所以，经过 A， B， c 三点的圆的标准方程是 (x 1)2 (y3)2 5. 把点 D 的坐标 ( 1,2)代入上面方程的左边，得 ( 1 1)2 (2 3)2 5.所以，点 D 在经过 A， B， c 三点的圆上，故 A，B， c， D 四点在同一个圆上，圆的方程为 (x 1)2 (y 3)2 5. 【例 2】解： (1)原方程可化为 (x 2)2 y2 3，表示以 (2,0)为圆心， 3 为半径长的圆 .yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 yx k，即 y kx. 9 / 11 当直线 y kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k 0|k2 1 3，解得 k 3. 所以 yx 的最大值为 3，最小值为 3. (2)y x 可看作是直线 y x b 在 y 轴上的截距，当直线 y x b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时 |2 0 b|2 3，解得 b 26. 所以 y x 的最大值为 2 6，最小值为 2 6. (3)x2 y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为 (2 0)2 (0 0)2 2， 所以 x2 y2 的最大值是 (2 3)2 7 43， x2 y2 的最小值是 (2 3)2 7 43. 【例 3】解：以 o1o2 的中点 o 为原点， o1o2 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 o1( 2,0)，o2(2,0) 由已知 |Pm| 2|PN|，得 |Pm|2 2|PN|2. 因为两圆的半径长均为 1， 所以 |Po1|2 1 2(|Po2|2 1) 设 P(x， y)，则 (x 2)2 y2 1 2(x 2)2 y2 1， 化简，得 (x 6)2 y2 33，所以所求轨迹方程为 (x 6)210 / 11 y2 33. 演练巩固提升 针对训练 1 D 解析： x2 y2 4x 6y 0 可化为 (x 2)2 (y3)2 13， 圆心坐标为 (2， 3) 2 B 解析：圆 x2 y2 2x 4y 0 化为标准方程： (x 1)2 (y 2)2 5，可得圆心 ( 1,2) 直线过圆心， 将 ( 1,2)代入直线 3x y a 0，可得 a 1. 3解：设圆心 c(a,2a)， 圆心到直线 x y 0 的距离为 d， 则 d |a 2a|2 22|a|. r 10， 由垂径定理知 r2 d2 22，即 10 12a2 8， a2 4.a 2. 故所求圆的方程为 (x 2)2 (y 4)2 10，或 (x 2)2 (y 4)2 10. 4解：设 m(x， y)， A(x0， y0)， 则有 x x0 42， y y0 32. x0 2x 4， y0 2y 3. 又 A(x0， y0)在圆 (x 1)2 y