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伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 第一章第一章 晶体的结构及其对称性晶体的结构及其对称性 1.1 石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问它是简单还是复式 格子。 为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元 胞。 解：石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。因为 如图点 A 和点 B 的格点在晶格结构中所处的地位不同， 并 不完全等价，平移 AB,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。 1.2 在正交直角坐标系中，若矢量kljlilRl 321 +=，i ，j ，k 为单位向量。 ()3 , 2 , 1=ili为整数。问下列情况属于什么点阵？ （a）当 i l 为全奇或全偶时； （b）当 i l 之和为偶数时。 解： 1 12233 123 l Rl al al a l il jl k =+ =+ ().2, 1, 0, 321 =lll 当l为全奇或全偶时为面心立方结构点阵，当 321 lll+之和为偶数时是面心 立方结构 1.3 在上题中若 =+ 321 lll 奇数位上有负离子， =+ 321 lll 偶数位上有正离 子，问这一离子晶体属于什么结构？ 解：是离子晶体，属于氯化钠结构。 1.4 （a）分别证明，面心立方（fcc）和体心立方（bcc）点阵的惯用初基元胞 三基矢间夹角相等，对 fcc 为，对 bcc 为 （b）在金刚石结构中，作任意原子与其四个最近邻原子的连线。证明任意两条 线之间夹角均为 1 cos109 27 3 arc = 1 cos109 27 3 arc = 解:（1）对于面心立方 () 1 2 a ajk=+ ()2 2 a aik=+ ()3 2 a aij=+ 1 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 13 2 2 2 aaaa= () 12 12 12 1 60 2 aa COS aa a a = () 23 23 23 1 60 2 aa COS aa aa = ()13 60COS aa= （2）对于体心立方 () 1 2 a aijk= + () 2 2 a aijk=+ () 3 2 a aijk=+ 123 3 2 aaaa= () 12 12 12 1 129 27 3 aa COS aa a a = = () 13 13 13 1 129 27 3 a a COS a a a a = = () 23129 27COS aa= （3）对于金刚石晶胞 () 1 3 4 a ijk=+ () 2 3 4 a ijk= () 2 2 12 12 2 12 2 3 1 4 93 4 a COS a = 1.5 证明：在六角晶系中密勒指数为（h,k,l）的晶 面族间距为 2 1 2 2 2 22 3 4 + + = c l a khkh d 2 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 证明: aba= 元胞基矢的体积 aai= cos60cos30 13 22 baij aiaj = + = + cck= 2 00 33 0 222 00 a a aa c c = = 倒格子基矢 ) 3 3 ( 22 ji a cb a += = j a ac b 3 342 = = k c ba c 22 = = 倒格矢： * hkl Ghakblc=+ 晶面间距 * 22 2 c lbkah G d hkl hkl + = ()()() 2 222222 222hakblch ak bl chk abkl bchl ac +=+ 2 2 4 2 3 a a = 2 2 4 2 3 b a = 2 2 2 c c = 2 2 2 3 ab a = 0bc = 0ac = 1 2222 2 222 1 222 2 22 4 24 24 24 2 3333 4 3 hkl dhklhk aaaa hkkll ac =+ + =+ 3 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 1.6 证明：底心正交的倒点阵仍为底心正交的。 证明：简单六角点阵的第一布里渊区是一个六角正棱柱体 底心正交点阵的惯用晶胞如图： 1aax= 2 22 ab axy=+ 3acz= 245 0, 3333 m = 初级晶胞体积: 2 c abc V = 倒易点阵的基矢： 123 211 2 c baaxy Vab = 231 24 y c baa Vc = 312 22 c baaZ Vc = 这组基矢确定的面是正交底心点阵 1.7 证明：正点阵是其本身的倒易点阵的倒格子。 证明：倒易点阵初级元胞的体积: c V是初基元胞的体积 () 123 c Vbbb= 123 2 c baa V = 231 2 c baa V = 312 2 c baa V = () 123c Vaaa= 而 () () ()() 2 233112 2 31213112 2 2 c c bbaaaa V aaaaaaaa V = = () ()()()A BCDA BD CA BC D= 由于( )0 113 = aaa () 2 123121 2 c bbaaaa V = 而() 312c Vaa a= () 2 231 2 c bba V = 4 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 () () () () () 2 1231 1 3 123 2 3 2 2 2 c c c bbba b V a aa V V = = = 或: () () () 3 123 123 2 bbb aaa = 现在证明： () bbb bb a 321 12 1 2 = () bbb bb a 321 13 2 2 = () bbb bb a 321 21 3 2 = 又 () 2 231 2 c bba V = 令 () () () () 21 1 123 2 1 123 2 21 2 c bb c bbb a V bbb = = 又： () () 3 123 2 c bbb V = 代入 () () 3 1113 2 2 c c V caa V = 同理 () () 2 321 13 2 2a bbb bb c = = () () 3 321 21 3 2a bbb bb c = = 1.8 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。 解： 2cosABama= cos1 2 m = 3 0, 22 m = 245 1, 3333 m = 2,2m= 1.9 试解释为什么： 5 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 （a）四角（四方）晶系中没有底心四角和面心四角点阵。 （b）立方晶系中没有底心立方点阵。 （c）六角晶中只有简单六角点阵。 解： （a）因为四方晶系加底心，会失去 4 次轴。 （b）因为立方晶系加底心，将失去3 次轴。 （c） 六角晶系加底心会失去 6 次轴。 1.10 证明：在氯化钠型离子晶体中晶面族（h,k,l）的衍射强度为 2 2 , , AB hklAB ff Iff + 当（h,k,l）为偶数时 当（h,k,l）为奇数时 0，其它情况 其中 A f 、 B f 分别为正负离子的散射因子。如何用此结果说明 KCL 晶体中 h,k,l 均为奇数的衍射消失？ 证明：Nacl 初基原胞中有Na+和Cl两种离子。 () 1 1 1 r :0,0,0, 2 2 2 i AB A、B 分别代表和。 因此几何结构因子： () () () 112233 123 2 123 2 2 123 123 , , , iii ih xh xh x i i hhh AB AB AB F h h hf e ff e ffhhh ff hhh + + = =+ + = + 为偶 为奇 射强度：() 2 1 23 IF hh h,对于 123 hhh+为奇数的衍射面 AB ff=则会消 光。 1.11 试讨论金刚石结构晶体的消光法则。 解：金刚石结构中，金刚石单胞有 8 个碳原子，坐标为： () 1 1111 11 1 13 3 33 3 13 1 31 3 3 0,0,0 ,0 ,0, 0, 2 2222 24 4 44 4 44 4 44 4 44 4 4 几何结构因子 () 112233 2 jjj i n h xh xh x hklj Ff e + = ()()() () ()()() 1 expexpexp 1 exp 2 exp2expexp1 2 hkl Ffi n hki n kli n lk fi nhkl i n hki n klilh =+ + + 6 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 ()()()()1 expsin1 coscos 22 hkl nn Ffihklihklnhknkl =+ hkl I()() 2 22 1 cossin 22 hkl f hklhkl nn FIhklhkl =+ 衍射强度不为零： （1）nh nk nl 都为基数。 （2）nh nk nl 都为偶数（包括零）,且() 1 2 nhnknl+也为偶数。 如不满足以上条件，则这些面的衍射消失，例如金刚石不可能找到（3， 2，1）或（2，2，1）的一级衍射斑，也不可能有（4，4，2）这样的二 级衍射斑点。 1.12 证明：在倒易空间中，当 落于一倒格矢垂直平分面上时，发生布拉格 反射。 证明：当波矢满足 2 2 hkkk+= 时有 0 2 h h k kk += 令 hkkk=+ K 刚好是 h k 中垂直面的反射波。 又 1 2 h d k = ,由图知： 2 sinsin 2 h k k = 2 sindm= (其 中 h hkmk= ) DE= 1.13 试证明：具有四面体对称性的晶体，其介电常数为一标量介电常量： 0 = 证明： 由DE= 111213 212223 313233 = 各物理量在新旧坐标中： DE= pAD= EAE= 1 DAAEAAE + = (由于对称操作 DE= ) 1 AAAA + = 7 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 x A 是绕 X(a)轴转动90是一个对称的操作 100 001 010 x A = y A是绕 Y(b)轴转动90也是一个对称操作 001 010 100 y A = 将代入 AA + = 11 2223 2333 00 0 0 = 再将代入 AA + = 11 11 11 00 00 00 = 1.14 若的立方结构如图所示，设 原子的散射因子为 ， 原子的散射因子 为 ， （a）求其几何结构因子? hkl F= （b）找出（h,k,l）晶面族的 X 光衍射强度分别在什么情况下有 2 2 3 AB hkl AB Ff I Ff + (c)设 AB ff=， 问衍射面指数中哪些反射消失？试举出 五种最简单的。 解：结构中，单胞中含有 3 个 B 原子，1 个 A 原子。 () 123 2 jjj i hxkxlx hklj Ff e + = 取 () 1 1111 1 0,0,0,0,0,0, 2 2222 2 AB ()()() () ih kik lih l hklAB Fffeee + =+ 当 h+k 与 h+l，k+l 均为偶数时 3 hklAB Fff=+ 当 h+k，h+l，k+l 其中两个为奇数，一个为偶数时 hklAB Fff= 当 AB ff=时有 （0，0，1） （0，1，0） （1，0，0） （0，1，1） 8 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 （1，1，0） （1，0，1） 衍射面指数的消光。 1.15 在某立方晶系的铜射线粉末相中，观察到的衍射角 有下列关系： 128 222222222222 222222222222 3:4 : 8 : 11: 12 : 16 : 19 :20 sin:sin.sin 111200220113 222400331420 = =+ + （a）试确定对应于这些衍射角的晶面的衍射面指数； （b）问该立方晶体是简立方、面立方还是体心立方？ 解： 222 hkl a d hkl = + 又 2sin hkl dn= ()()() 222 sin 2a nhnknl = + sin()()() 222 nhnknl+ 128 222222222222 222222222222 3:4 : 8 : 11: 12 : 16 : 19 :20 sin:sin.sin 111200220113 222400331420 = =+ + h k l = (1,1,1) (2,0,0) (2,2,0) 该立方晶体是面心立方. 第二章第二章 晶体的结合晶体的结合 2.1 导出 NaCl 型离子晶体中排斥势指数的下列关系式： 4 00 2 418 1 kR n e = + (SI 单位) 其中 k 为体变模量，设已知 NaC 晶体的 102 0 2.4 10/,0.281kN mRnm=，求 NaCl 的 n=? 解：NaCl 晶体排斥势指数的关系，设晶体有 N 个元胞。 则晶体的内能：) 6 ( 2 nn r B r A N r b r e NU+ =+ = 其中： 2 eA=， 2 6bB =对于 NaCl 结构 3 2Nrr =， （ 3 2r为元胞的体积） drNrdr 2 6= 9 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 0 2221 0000 1 0 66 r n dudu drduNAnB dVdr dvNrdrNrrr + = 在 0 r为平衡位置处： 1 0 1 = n r nA B 由 () 4 0 2 2 2 0 2 2 18 1 18 1 00 r en dr ud Nrdr ud rk rr = 1 18 2 4 0 += e kr n （如取 SI） 1 184 2 4 00 + = e kkr n 对于 NaCl、CsCl、ZnS 结构a =1.747、1.762、1.638 210 /104 . 2mNk= nmr281 . 0 0 = 可求n 2.2 带e 电荷的两种离子相间排成一维晶格， 设 N 为元胞数， B/为排斥势， 为正负离子间最短的平衡值。证明，当 N 有很大时有： （a）马德隆常数2ln2= ； （b）结合能( ) 2 00 2ln21 1 4 Ne U R Rn = ; （c）当压缩晶格时，),且，则需做功,其中 () 2 00 21ln2 4 nN Ce R = 解： （a）一维原子链，正负离子的距离为 a，相距为的两个离子间的相互 作用势能： n ij ij ij r b r q ru+= 4 )( 2 Rar jij = (R为邻近间距总离子间的相互作用势 能) = 0 2 , 11 42 )( 2 jj n j n j ji ij a b RaR qN ru N U = 1 j j a u 为离子晶格的马德隆常数 10 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 += =. 4 1 3 1 2 1 1 1 2 1 j a u . 432 )1ln( 432 +=+ xxx xx 令 1=x . 4 1 3 1 2 1 12ln+= 2ln2=u (b) 利用平衡条件 0 0 = R dR du n RNq b n 1 0 2 2ln = ) 1 (2ln2)( 1 02 n n nR R R NqRu = ) 1 1 ( 2ln2 )( 0 2 0 nR Nq Ru= (c) ( )()()() 00 2 2 1000 2 1 2 R R dud u u Ru RRRRR dRdR R = =+ 由于外力做的功等于晶体内能的增量，外力做功的主项 ( )()()2 0 2 2 0 0 2 1 RR R dR ud RuRuw= 将()=1 0 RR代入：()= 0 2 212ln 2 1 NRqnw 晶体被压缩单位长度的过程中，外力做功的主项： () c R qn NR w 2 12ln1 2 1 2 2 0 2 0 = = 设 e =时外力为，外力与晶体(格)的形变成正比. () 0 2NRF =，() ee NRF 0 2=， 为比例函数. () () 0 2 00 00 2 2 00 22 11 22 2 ee NR e ee WFdxNRNR d NRNRF = = 此即为离子链被压缩 0 2 e NR的过程中外力做功。 () eee NR c W 0 2 2 = 所以压缩 2N时外力 () 2 0 2 12ln R nq CF e ee = 2.3 量子固体 在量子固体中，起主导作用的排斥能是原子的零点能，考虑晶态的一 11 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 个粗略一维模型，即每个氦原子局限在一段长为 L 的线段上，每段内的 基态波函数取为半波长为 L 的自由粒子波函数。 （a） 试求每个粒子的零点振动能； （b）推导维持该线不发生膨胀所需力的表达式； （c）在平衡时，动能所引致的膨胀倾向被范德瓦尔斯相互作用所平衡， 非 常 粗 略 的 给 出 最 近 邻 间 的 范 德 瓦 尔 斯 能 为 ，其中 L 以 cm 表示，求 L 的平衡值。 解：(a)根据量子力学，限制在 L 线段内的自由原子的波函数有 ikx Ae=形式 2 =k 又 2 =L的波函数为基态波函数 LL k = 2 2 0 ， 所以基态 波函数 x L i Ae = 0 每个原子的零点动能也就是基态平均动能. 2 2 0 0 * 0 0 0 2 22 * 0 8 2 mL d dx dx d m T L L = = (b) 因零点动能会引起线段的膨胀，为了保持长度为 L 的线段结构，必 须增加力 3 2 2 2 48mLmLdL d dL Td p = = = 有范德瓦尔斯相互作用时，体系总能量( )UTU L= + U（L）是范德瓦尔斯能： 660 1.610ULerg = (c) 平衡时： 0 2 60 37 00 6 01.610 4 L dU dLmLL = 4804 0 10813 . 5 cmL = 的平衡值 AL91 . 4 0 = 第三章第三章 晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质 3.1 在同类原子组成的一位点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同， 其力常数如下图所示相间变化，且 12 .试证明：在这样的系统中，格 波 仍 存 在 着 声 频 支 和 光 频 支 ， 其 格 波 频 率 为 12 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 () 1 2 2 11 2 12 2 12 4sin 2 11 ka M + = + 解：用 s V和 s r分别表示第 S 个初基原胞中两个原子相对平衡位置的位移. ()() ()() 121 121 sssss sssss MuuVuV MVVuVu + = = 令 ()tskai s ueu = ()i skat s VVe = () () 2 1212 2 1212 0 0 ika ika MueV euMccV += += () () 2 1212 2 1212 0 ika ika Me eM + = + () () 22 2 1212 ika Me +=+ () 222 12 1212 1 2 2 12 12 2 12 1 2cos 4sin 2 11 ka MM ka M + =+ + = + 3.2 具有两维立方点阵的某简单晶格，设原子的质量为 M，晶格常数为 a，最近 邻原子间相互作用的恢复力常数为 c，假定原子垂直于点阵平面作横振动， 试证明：此二维系统的格波色散关系为 () 2 22coscos xy Mck ak a= 解：只考虑最近邻作用第（l，m）个原子受四个原子的作用. ()() mlml uucml , 1 :, 1+ + ()() mlml uucml , 1, :, 1 ()() mlml uucml ,1, :1,+ + ()() 1, :1, mlml uucml 运动方程： () () mlmlmlmlmlml lm uuuuuuc dt ud m ,1,1, 1, 1 2 2 22+= + 设 () 0explmxy uui lk amk at =+ 13 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 () () 2 4 22coscos yy xx ik aik a ik aik a xy c eeee ck ak a = + = 3.3 求： （a）一维单原子点阵振动的声子谱密度( ) ，并作图； （b）一维双原子点阵振动的声子谱密度( ) ，并作图. 解：一维单原子链： 1 2sin 2 qa M = ( ) ( ) 2/ 2 s L dqdq = 13Sn= （有个 3n 色散关系） 一维单原子链 1S = ( ) 1 2 211 2cos 22 L1 1 cos 2 L aqa M M aqa = = 一维双原子链: () 1 2 22 2 41 11sin 2 mMmM qa mM mM + = + () 1 1 2 2 2 2 41 11sin 2 mMmM qa mM mM + + =+ + () 1 4 2 2 41 11sin 2 mMmM qa mM mM + = + 14 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 ( ) ()() () 3 2 4 22 3 2 4 2 L 2 1/1/ 2 1414111 1/ 1 1sin2sincos 42222 141411 1/1 1sin2sincos 42222 dd dqdq LmMmMmM qaaqaqa mM mMmM mMmMa qaqaqa mM mM + =+ =+ + + + + + 3.4 设某三维晶体光频声子的色散关系为( ) 2 0 qAq=，试证明，其声 子谱密度为 ( ) () 1 2 0min03 2 2 0 min , 4 0, 0, V A = 式中 2 2 3 min0 6N V = A, N 为晶体的原胞数. 解：( ) () 3 2 c sqs Vds = 第支格波的模式密度 3 2 c sq V ds 其中s为第支格波的等频面. 又因为在 q=0 附近 ( ) 2 0 qAq= 等频面是一个球面. 又22 q A qAq= = () 1 2 02 3/22 3 1 4 24 2 c c sq VV q ds AqA = 3.5 使用德拜近似讨论同类原子所组成的下列系统的低温比热容为 （a）在一维系统中 v CT； （b）在二维系统中 2 v CT； 解：对于一维简单格子，按德拜模型：qv= 15 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 d 范围内包含 2 2 dqLdqLLd dL V = ( ) 0 0 L DdN a = （N 为原子数目） 0 V a = 比热容： ( ) () () () 0 0 2 / 2 0/ 2 / 2 0/ 22 / 2 0 1 1 2 1 B B B B D K T VB K T B K T B K T B x T B x eDd Ck K T e Le kd VK T e Tke x dx V e = = = B D k = B x K T = 在高温时： () 2 2 01 1 x x e x x e VBB L CkNk a = 低温时 T D / () () 2 2 22 2 1 1 1 x xxnx n x e x x eexne e = = () 2 2 22 1 0 1 2 3 1 x nx n x e xdx nex dx n e = = 2 2 3 B V TK C V = 对于二维简单格子：( ) () 2 2s qs sdl q = vq= ，所以格波等频（能）线为圆. ( ) ()() 222 2 2 22 SdlSqs VV V = 二维介质有两支格波,一支声学波,一支光学波. ( )( ) 2 p s D V = 222 211 pL VVV =+ ( ) () 2 2/ 00/ 2 1 1 mm B B K T K T p dS Ed e Ve = ( ) 2 00 2 mm p S V dNd = 16 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 1 2 4 mp N V S = () () 2 / 22 0/ 2 3 / 22 0 1 1 B m B D k T VB k T pB x T B x p sed Ck Vk T e k Tse x dx V e = = B m D k = 当温度较高时：1 x ex + () 2 3 / 22 0 2 22 1 2 2 D x T BB V x p BBD p B skk Te x dx C V e skk T VT Nk = = = 当温度较低时： () ( ) 3 3 23 00 11 1 663 1 x nx x nn e x nex dx n e = = 2 V CAT= ( ) 3 22 63 B p SK A V = 3.6 设某特殊二维系统声子频率() 3 2 KAq= ,试证明，此系统的 （a）平均振动能量正比于 7 3 T； （b）声子比热容及熵正比于 4 3 T. 解：3.7 题中 /d V CTC= U 1+ d T 对于二维系统2=d 2 3 = V C 3 4 T 同理熵：S 3 4 T U 1 27 1 3/23 d TTT + + = 3.7 设 d 维简单晶格中，频率 与q成正比，试证明 17 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 （a）简正模（声子谱）密度( ) 1 d B =； （b）比热容 d v CTC =.B、C 为常数. 解： kq= -1 q d dq d q k= 11dd dKdqcq = ( ) / d d S dS ddq d S 为 d 维空间等频球面. ( ) 1 1 d d q q q 1 q ( ) 1 d () () 1 / 0 1 0 2 2 / 0 1 1 1 B D B B d V k T d d B BB d K T d B K T B dEdd C dTdte d d cK T K TK T dT e d K K T e + = = = dgdqcqqdz d )()( 1 = 1 )( = d cg 1 / 0 1 0 1 () 1 D B D B d k T d d BB B d k T Ucd e d k Tk Tc k T e + = = 令x TkB = = D x x d d B e dxxTkc U 0 1 )( 当0T时 1d UT + d v CT 这时 1 ( ) d gc = 18 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 () 1 / 0 1 / 0 1 1 D B D B d k T d d BBB dk T Ucd e d ck Tk Tk T e + = = 故在低温时 1 d UT + /d V V U CT T = 3.8 求在一维单原子链中， m （截止频率）格波的阻尼系数与的关系. m ar cosh2= 解： 单原子链： ( )i qnaq t n UAe =1qBZ ( ) 1 2sin 2 qqa M = 2 m M = 当 m 时 1 sin1 2 qa ，q 必定为复数，令 12 qqiq=+ () 121212 11111 sinsincoshcossinh 22222 m qiqaq aarq aiq aq a =+=+ 1 1 cos0 2 q a= 1 11 22 q ah = 1 1 2 2 n qhK aa = 将 1 q a =带入 2 cosh m qiar aa =+ () 2 cosh 2cosh 1 m m iiarnat aa n nar ii t innai t n nai t UAe Ae ee Aeee Ae e + = = = = 2 m arcsh = 为指数衰减因子. 19 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 3.9 Grneisen 常量. () () () 2 ,2 2 1 1 p nn p n p n UU e f pa pa （a）证明频率为 的声子模的自由能为ln 2sinh 2 B b K T K T ； （b）如果是体积的相对变化，则晶体的自由能可以写为 () ( ) 2 1 ,ln 2sinh 22 B q b q FTBK T K T = + 其中 B体积的弹性模量，假定 ( ) q 与体积关系为 ( ) ( ) = q qd ，为 Grneisen 常量，如果认为 与模 无关，证明，当( ) ( ) 2 coth 2 1 TK q qB B q =时，F 对为 极小，并证明利用热能密度，可将它写为( )/U TB =； （c）根据 Debye 证明： ln lnV = .其中 D B K = ( 解：考虑频率为 的声子模，配分函数为 1 2 0 2 2 22 1. 1 1 B BBB B B BB n K T n K TK TK T K T K T K TK T Ze eee e e ee + = = =+ = = 自由能： = TK TKzTKF B BB 2 sinh2lnln 晶体的自由能为：()( ),ln 2sinh 2 K B K B F r TE rK T K T =+ 20 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 若晶体体积改变为r则 ()() () 0 ,ln 2sinh 2 K B k B rr F rr TE rrK T K T = + +=+ ()( )() ( ) 2 2 2 0 2 1 2 1 2 E E rrE rr r E rB +=+ =+ 2 2 2 0 E Br r = 为体弹性模量. dr r = () () 2 1 ,ln 2sinh 22 K B K B rr FTBK T K T + = + ()( ) ( ) k kk k kk k kkk rrrdr r rr r rr +=+ =+ = 其中 ln ln KK K K r rr = = 为 Grneisen 常数 假定 K 与 k 无关 K = () () ln 2sinh 2 1 coth 22 0 k B K B k k K B rrF BK T K T rr B K T + =+ + =+ = () coth 22 K K K B rr B K T + = 其中 () K K rr + = 1 coth 22 K K K B B K T = 平均热能： 21 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 ( ) 2 2 ln 2sinh 2 1 coth 22 r V k B K B k k K B F FT U TFTT TT Tk TK T K T = = = 假定 K 与 T 无关 ( )/U TB = 由物态方程 ln 2sinh 2 K B k TB EdE PK T rdrrK T = = 利用 Deby 近似，将第二项化为： ( ) 2 2 3 3 0 ln 2sinh 2 coth 22 ln coth 22ln D D D B B B BBD DB K TDd K Tr qN K Td K TK Tr qN d rK Tr = = 令 ln lnr = , K B X K T = , K B K = 上式化为： 3 3 0 coth 22 T B qTx NK Tx dx r 平均热能： ( ) 3 3 0 1 coth 22 coth 22 k K K B T B U T K T qTx NK Tx dx = = ( ) ( ) 0 U TdE P drr U T P r = + =+ 取 D =时 lnln lnlnrr = = 为正值（Grneisen 常量） 22 伊犁师范学院物理科学与技术学院 2011 届物理专业毕业生论文 3.10 科恩（Kohn）反常. 假定作用在 l 平面上总的力为方程 () LPP ss P FCUU + = 其中晶面间的力常量 P C为 0 sin P K Pa CA Pa = 式中 A 和 0 K为常数，p 取遍所有整数.在金属中可能有这种形式.利用 此式和晶格振动方程证明其色散关系为( )() 2 2 1 cos P P qCqpa M = = 计算 ( ) 2 q q 的表达式.证明当 0 qK=时， ( ) 2 q q 为无穷大，并讨论 ( ) 2 q的变化情况. 解：若力常数为 P C代入() sPp ss P mUCUU + = 令： ()i qnat s UAe = 得： () () 2 0 0 0 2 1 cos