毕业设计（论文）-方阵高次幂的若干算法.doc

毕业论文题 目 学 院 姓 名 专 业 学 号 指导教师 提交日期 原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名: 年 月 日论文指导教师签名: 目录1 基础知识.1 1.1 矩阵的幂的定义.1 1.2 方阵的幂.12 n阶矩阵的A的幂的若干算法.1 2.1 数学归纳法求矩阵的幂.1 2.2 利用矩阵的乘法结合律求矩阵的幂.2 2.3 利用二项式展开法就矩阵的幂.3 2.4 相似变换法.3 2.5 利用哈密顿凯莱定理求矩阵的幂.4 2.6 特殊矩阵法求矩阵的幂.4 2.61 对合矩阵.4 2.6.2 幂等矩阵.5 2.6.3 分块对角矩阵.63 结束语.7参考文献.8致谢.9 方阵高次幂的若干算法 (天水师范学院,数学与统计学院,甘肃,天水,741000)摘 要: 方阵的高次幂计算量较大，本文针对不同类型的方阵给出了计算其高次幂的方法，并对其应用进行举例.关键词:数学归纳法；矩阵的乘法结合律；项式展开法；相似变换法Several algorithms for matrix high power (School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,China)Abstract :This paper shows the different types of matrix method for calculating its high power, and an example of its applications.Key Words: mathematical induction, binding matrix multiplication law, polynomial expansion method, similar transformation数学与统计学院2014届毕业论文方阵高次幂的若干算法1 基础知识1.1 矩阵的乘法的定义 定义1 设 ，那么矩阵 ，其中 ，称为与的乘积，记为 .1.2方阵的幂 定义2 设是一个n级方阵，m是正整数，则 称为的m次幂 相关运算律 ，.2 阶方阵的的幂的若干算法2.1 数学归纳法求方阵的幂 这种方法的计算步骤为：先算，考察其特点，再对进行猜想. 例1 设，求. 解 ， .猜想 数学归纳法证明：当时显然成立假设当时猜想成立，即.则 ，即n=k+1时猜想等式也成立故猜想成立于是有2.2 利用矩阵乘法结合律求方阵的幂对于阶矩阵，若，则矩阵至少有一行元素不为零，且其余各行元素都是它的倍数，于是秩为1的的矩阵的一般形式为，若设，均为非零实数，则，记，则有这种方法就称矩阵的乘法结合律 例2 已知矩阵，求（为自然数） 解 对施行初等变换，不难发现，考虑用乘法结合律：取，则，且，于是2.3 利用二项式展开法就方阵的幂若阶矩阵可分解为,且矩与的高次幂容易计算， （即与可交换，否则二项展开公式不成立），则有例3 设，求解 其中，且有，从而2.4 相似变换法 若已知矩阵可以经过相似变换化为对角阵时，即存在可逆矩阵，使，其中为对角阵，其对角线上元素为矩阵的特征值由上可得，于是求的方幂就转化为求过渡矩阵和对角阵，而对于和阵，我们应用代数知识要好求得多了，具体如下： 例4 已知，求 解 经过计算，矩阵的特征值和，对于特征值有线性无关特征向量和对于特征值有特征向量令，即可逆，且有 ，于是，。计算得 2.5 利用哈密顿凯莱定理求方阵的幂 哈密顿凯莱定理：若为矩阵的特征多项式，即，则：=0 例5 若，求 解 由利用哈密顿凯莱定理知:故=2.6 特殊矩阵法求方阵的幂2.6.1 对合矩阵 定义3 设为阶矩阵，若有，则称为对合矩阵 性质 （1） （2）满足的一切二阶方阵为，其中例6 设，试求（为自然数）解 记，易知，即为对合矩阵，故，由得 特别地 时，有； 时，有. 推论 若有，则 时，有2.6.2 幂等矩阵 定义4 设为阶矩阵，若有，则称为幂等矩阵 性质 (1)；(2)满足的一切二阶方阵有：及形如的矩阵 推论 若有，则 例7 已知，求 解 由，故为幂等矩阵，由其性质知 2.6.3 分块对角矩阵 当一个阶矩阵的阶数比较大时，可以通过用一些横线和竖线将矩阵分成许多小块，这些小块称为矩阵的子阵若阶矩阵可分成分块对角阵形式，则可以将高阶矩阵的高次幂计算问题转化为简单子阵的高次幂计算问题，从而达到简化计算的目的即对于分块对角矩阵，有，其中均为方阵 例8 已知，求（为自然数） 解 矩阵可分块为,其中于是，下面求与，由于，其中，于是.又有,其中，且，由二项式展开公式得故3 结束语根据方阵的不同特征采用不同的运算方法是方阵高次幂计算的关键步骤，上面介绍的几种方法是针对不同的方阵提出来的，有时候需要相互配合起来使用在具体的使用过程中要充分利用方阵的具体特征寻求最佳的计算方法，这样既能提高运算速率，也能使我们在计算能力方面得到提高参考文献1 余跃玉n阶方阵高次幂的计算方法J四川文理学院学报2011,21(2): 22-242 严文利求矩阵幂的几种方法J淮阴工业专科学校1994，10(1)：189-1913 邓勇关于方阵高次幂计算方法的一个注记J大学数学2010,4: 98-1014 程云鹏矩阵论M2版西北工业大学出版社2005，9：52-575 尤青方阵高次幂求解方法的探讨J连云港职业技术学院学报2010,3: 33-386 李志慧，李永明高等代数中的典型问题与方法M科学出版社2008：205-2117 王萼芳，石生明高等代数M3版高等教育出版社2003：164-172 致谢 我的毕业论文是在xxx老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。x老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向x老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和