高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式举例课件新人教A版.ppt

二用数学归纳法证明不等式举例,【自主预习】贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数,且x-1,x0,n为大于1的自然数,则有_.,(1+x)n1+nx,【即时小测】1.用数学归纳法证明不等式成立,起始值至少应取为()A.7B.8C.9D.10,【解析】选B.左边的和为=2-21-n,当n=8时,和为2-2-7,2.用数学归纳法证明:(n2,nN*)时第一步需要证明(),【解析】选C.用数学归纳法证明(n2,nN*),第一步应验证不等式为:,【知识探究】探究点贝努利不等式1.在应用贝努利不等式时应注意什么?提示:在应用贝努利不等式时要注意应用条件x-1,且x0,n是大于1的自然数.,2.在利用数学归纳法证明贝努利不等式时n的初始值应选什么?提示:因为n为大于1的自然数,故n的初始值为2.,【归纳总结】1.贝努利不等式成立的两个条件一是x的范围是x-1且x0,xR.二是n为大于1的自然数.,2.贝努利不等式的推广当指数n推广到任意实数时,x-1时,若01,则(1+x)1+x.当且仅当x=0时等号成立.,类型一用数学归纳法证明有关函数中的不等关系【典例】已知f(x)=.对于nN+,试比较f()与的大小并说明理由.,【解题探究】解答本例的解题方向是什么?提示:先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明.,【解析】根据题意f(x)=所以要比较f()与的大小,只需比较2n与n2的大小即可,当n=1时,21=212=1,当n=2时,22=4=22,当n=3时,23=852=25,当n=6时,26=6462=36.,故猜测当n5(nN+)时,2nn2,下面用数学归纳法加以证明.(1)当n=5时,2nn2显然成立.(2)假设n=k(k5,且kN+)时,不等式2nn2成立,即2kk2(k5),则当n=k+1时,2k+1=22k2k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2(k+1)2(因为(k-1)22).由(1)(2)可知,对一切n5,nN+,2nn2成立.综上所述,当n=1或n5时,f();当n=2或n=4时,f()=;当n=3时,f().,【方法技巧】利用数学归纳法解决比较大小问题的方法利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.,【变式训练】1.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立.那么下列命题总成立的是(),A.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立,则当k8时,均有f(k)42,故可推得k4时,f(k)k2,故只有D正确.,2.(2016淮南高二检测)已知函数f(x)=(其中e为自然对数的底数).证明:当x0时,对任意正整数n都有f0时,f(x)=,所以f=x2e-x考虑到:x0时,不等式fn!x2-n等价于x2e-xn!x2-n,即xn0).因为x0时,g(x)=ex-10,所以g(x)在(0,+)上是增函数,故g(x)g(0)=10,即exx(x0),所以,当n=1时,不等式(*)成立.,(2)假设n=k(kN+)时,不等式(*)成立,即xk0),有h(x)=(k+1)!ex-(k+1)xk=(k+1)(k!ex-xk)0,故h(x)=(k+1)!ex-xk+1(x0)为增函数,所以h(x)h(0)=(k+1)!0,即xk+11,nN+),求证:(n2,nN+).,【解题探究】本例能否先求Sn,再证明不等式?提示:不能.若先求Sn再证明会比较困难.,【证明】(1)当n=2时,S4=即当n=2时命题成立.(2)假设n=k(k2,nN+)时命题成立,即当n=k+1时,故当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对nN+,n2,都成立.,【延伸探究】1.将本例中所要证明的不等式改为:(n2,nN+),如何证明?,【证明】(1)当n=2时,左边=因为所以左边右边,原不等式成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即则当n=k+1时,左边=,所以,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)可知,对n2,且nN+,不等式都成立.,2.若在本例中,条件变为“设f(n)=(nN+),由f(1)=1,f(3)1,f(7),f(15)2,”.试问:f(2n-1)与大小关系如何?试猜想并加以证明.,【解析】数列1,3,7,15,通项公式为an=2n-1,数列,1,2,通项公式为an=,所以猜想:f(2n-1).,下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,f(21-1)=f(1)=1,不等式成立.(2)假设当n=k(k1)时不等式成立,即f(2k-1),则f(2k+1-1)=f(2k-1)+,所以当n=k+1时,不等式也成立.据(1),(2)知对任何nN+原不等式均成立.,【方法技巧】用数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时,由n=k到n=k+1时的推证过程与证明等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n=k时的假设,所以需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.,(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等,才能完成证明过程.,【变式训练】1.已知f(n)=1+(nN*),经计算得:f(4)2,f(8)f(16)3,f(32)观察上述结论,可归纳出一般结论为_.,【解析】将已知计算结果变形为归纳结论为f(2n)答案:f(2n),2.证明:(nN+,n2).【证明】(1)当n=2时,左边=1+,右边=2-,由于,故不等式成立.,(2)假设n=k(kN+,k2)时命题成立,即则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.由(1),(2)知,原不等式对一切nN+,n2都成立.,【补偿训练】数列an中,a1=1,an+1=1+求证:当n2且nN+时,【证明】(1)当n=2时,a2=1+1=2,且不等式成立.,(2)假设当n=k(k2)时,有则当n=k+1时,ak+1=(分析法证明)要证只需证ak即aka4a6,猜想:数列a2n是递减数列.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,已证命题成立.(2)假设n=k(k1)时命题成立,即a2ka2k+2,易知an0,那么:即a2(k+1)a2(k+1)+2也就是说,当n=k+1时,命题也成立.综上(1)(2)可知,命题成立.,【方法技巧】求解数学归纳法与数列的综合问题的策略(1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识,这是解决这类问题的基础.,(2)这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关,有时要证明的式子是直接给出,有时是根据条件从前几项入手,通过观察、猜想,归纳出一个式子,然后再用数学归纳法证明.,【变式训练】1.(2014赣榆县校级期末)已知f(n)=(nN+),用数学归纳法证明f(2n)时,f(2k+1)-f(2k)等于_.,【解析】因为假设n=k时,f(2k)=当n=k+1时,f(2k+1)=所以f(2k+1)-f(2k)=答案:,2.已知数列,Sn为该数列的前n项和,计算得观察上述结果,推测出Sn(nN+),并用数学归纳法加以证明.,【解析】推测Sn=(nN+).用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,S1=,等式成立;(2)假设当n=k时等式成立,即Sk=,那么当n=k+1时,Sk+1=Sk+,也就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2),可知一切nN+,等式均成立.,自我纠错用数学归纳法证明不等式【典例】用数学归纳法证明:(其中n