函数恒成立存在性问题1.doc

函数恒成立存在性问题知识点归纳梳理1、恒成立问题的转化：恒成立；2、能成立问题的转化：能成立；3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M 另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.4、 设函数、，对任意的，存在，使得，则5、设函数、，对任意的，存在，使得，则6、设函数、，存在，存在，使得，则7、设函数、，存在，存在，使得，则8、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；9、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方； 例 题 讲 解： 题型一、常见方法1、已知函数，其中， 1）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； 2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；2、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围3、已知两函数，对任意，存在，使得，则 实数m的取值范围为 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。2、已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数， ()求的值； ()若上恒成立，求的取值范围； 题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）1、当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）1、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是_2、已知函数，在恒有，求实数的取值范围。 题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法： 方法： 若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上； 若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.1、存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为_。2、已知函数存在单调递减区间，求的取值范围恒成立与有解的区别： 恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。 不等式对时恒成立，。即的上界小于或等于； 不等式对时有解，。 或的下界小于或等于； 不等式对时恒成立，。即的下界大于或等于； 不等式对时有解，.。 或的上界大于或等于；课后作业：1、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（ ）（A） （B） （C） （D）2、若任意满足的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是 _ . 3、不等式有解，则的取值范围是 4、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。5、已知两函数，。 （1）对任意，都有)成立，求实数的取值范围； （2）存在， 使成立，求实数的取值范围； （3）对任意，都有，求实数的取值范围； （4）存在，都有，求实数的取值范围；6、设函数. （）求函数的单调区间和极值； （）若对任意的不等式成立，求a的取值范围。7、已知A、B、C是直线上的三点，向量，满足：. （1）求函数yf(x)的表达式； （2）若x0，证明：f(x)； （3）若不等式时，及都恒成立，求实数m的取值范围8、设，且（e为自然对数的底数） (I)求 p 与 q 的关系； (II)若在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围； (III)设，若在上至少存在一点，使得成立, 求实数 p 的取值范围.参考答案：题型一、常见方法。1、分析：1）思路、等价转化为函数恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决 2）思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值，即只需满足即可简解：（1）由成立，只需满足的最小值大于即可对求导，故在是增函数，所以的取值范围是 2、 分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决 方法1：化归最值，； 方法2：变量分离，或； 方法3：变更主元，简解：方法1:对求导，由此可知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意，得的取值范围是3、 解析：对任意，存在，使得等价于在上的 最小值不大于在上的最小值0，既，题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)。1、 解：不等式即,设，则在-2,2上恒大于0， 故有：或O2、 ()分析：在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。()略解：由()知：，在上单调递减，在上恒成立，只需，（其中）恒成立，由上述结论：可令,则，而恒成立，。题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）1、当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .解析: 当时，由得.题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）1、解析：对,不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知，即。2、分析：为了使在恒成立，构造一个新函数，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。解：令，则对恒成立，而是开口向上的抛物线。当图象与x轴无交点满足，即，解得。 当图象与x轴有交点，且在时，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得： 解得，故由知。小结：若二次函数大于0恒成立，则有，同理，若二次函数小于0恒成立，则有。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法。 若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上； 若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.1、解：设，由有解，又，解得。2、解： 因为函数存在单调递减区间，所以有解.即能成立, 设.由得, .于是,由题设,所以a的取值范围是课后作业：1、B由得，对任意的，得，故。2、 答案：。解析：由不等式可得，由线性规划可得。3、解：原不等式有解有解，而，所以。xy034、解：画出两个凼数和在上的图象如图知当时，当，时总有所以5、 解析：（1）设，问题转化为时，恒成立，故。令，得或。由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，由，得。（2） 据题意：存在，使成立，即为：在有解，故，由（1）知，于是得。（3） 它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，的取值在上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是：。 ，在区间上只有一个解。，即.（4） 存在，都有，等价于，由(3)得， 点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。6、解：（）（1分）令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（，a）和（3a，+）（4分）当x=a时，极小值=当x=3a时，极小值=b. （6分） （）由|a，得ax2+4ax3a2a.（7分）0a1，a+12a.上是减函数. （9分）于是，对任意，不等式恒成立，等价于 又 7、解：(1)y2f /(1)ln(x1)0，y2f /(1)ln(x1)由于A、B、C三点共线即y2f /(1)ln(x1)12分yf(x)ln(x1)12f /(1)f /(x)，得f /(1)，故f(x)ln(x1)4分（2）令g(x)f(x)，由g/(x) x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函数6分故g(x)g(0)0 即f(x)8分（3）原不等式等价于x2f(x2)m22bm3令h(x)x2f(x2)x2ln(1x2)，由h/(x)x10分 当x1，1时，h(x)max0，m22bm30令Q(b)m22bm3，则得m3或m312分8、解：(I) 由题意得 而，所以(II)由 (I) 知 ， 4分令，要使在其定义域 (0,+) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+) 内满足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 当时，所以在 (0,+) 内为单调递减，故； 当时，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，只需，即p1时， h(x)0，f (x) 在 (0,+) 内为单调递增，故 p1适合题意. 综上可得，p1或 p0另解：(II)由 (I) 知 f (x) = px2ln x f(x) = p + = p (1 + )要使 f (x) 在其定义域 (0,+) 内为单调函数，只需 f(x) 在 (0,+) 内满足：f(x)0 或 f(x)0 恒成立. 由 f(x)0 p (1 + )0 p p()max，x 0 = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ()max = 1p1由 f(x)0 p (1 + )0 p p()min，x 0而 0 且 x 0 时， 0，故 p0综上可得，p1或 p0(III)g(x) = 在 1,e 上是减函数x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e即g(x) 2,2e 10分 p0 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 递减 f (x)max = f (1) = 0 2，不合题意。 0 p 1 时，由x 1,e x0f (x) = p (x)2ln xx2ln x右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 1,e 递增 f (x)x2ln xe2ln e = e2 2，不合题意。 p1 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 连续递增，f (1) = 0 2，又g(x) 在 1,e 上是减函数本命题 f (x)max g(x)min = 2，x 1,e f (x)max = f (e) = p (e)2ln e 2 p 综上，p 的取值范围是 (,+) 其他特殊型:二次函数型利用判别式,韦达定理及根的分布求解例1：不等式对于恒成立,求的取值范围 . 变式1：存在，使得不等式 成立, 则的取值范围是 . 变式2：方程有解，则的取值范围是 .现实生活中存在与恒成立问题：1、 在某次考试中，我们班有同学数学分数大于120分最高分大于120分。2、 在某次考试中，我们班每一位同学数学分数都高于60分最低分大于60分。3、 在某次考试中，我们班同学数学成绩没有高于130分的最高分小于等于130分。、推理：对有:1）、符号语言：不等式恒成立图象语言：的图象在直线y=a的上方最低点都在直线的上方 日常用语:每一个值都大于3） 、符号语言：方程有解（解集非空）4） 图象语言：的图象与直线有交点 5） 日常用语：求函数的值域 2） 、符号语言：存在,使得不等式不等式，有解不等式，解集非空3） 图象语言：的图象有点在直线y=a的上方最高点都在直线的上方4） 日常用语：有值比大、结论：对有:、恒成立问题 符号语言： 函数恒成立 函数 恒成立2、存在性问题 符号语言： 存在,使得函数 存在 ,使得函数3、有解问题 符号语言：不等式有解（解集非空） 不等式解集为空集 方程有解（解集非空）思考：若对又有怎么样的结论呢？例1：不等式对于xR恒成立,求a的取值范围 .变式1：存在xR，使得不等式 成立, 则a的取值范围是 .变式2：方程有解，则a的取值范围是 .变式3：解集不空, 则a的取值范围是 .变式4：不等式 解集为空集, 则a的取值范围是 .例2：已知函数,若存在使得,试求实数的取值范围。解：法一：，所以对,均存在使得.法二：原题同解于：当时，, 即： 或 代入可得:或 解得或 例3：方程在区间内有解，则实数a的取值范围是 。 解：原题同解于：，的值域。a即,请比较此题的有解问题与上题的有解问题的区别.例4：A=x|x2-mx+1 0,B=R+,AB=B, 求的取值范围。分析：AB=B可得BA。即:x0时, x2-mx+1 0 解略法二：原题同解于：x2-mx+1 0在(0,+)上恒成立, 求的取值范围。例5：不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。分析： 对而言，已知参数范围，求定义域。设 ,则转化为已知定义域求参数范围。即：1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 当| x | 2，上式恒成立，求实数m的取值范围 ； 当| m | 2，上式恒成立，求实数x的取值范围 .2、若不等式ax2-2x+20 对x(1,4)恒成立，求实数a的取值范围。3、设不等式对一切实数x都成立,则k的范围是 。 可以等价转化为一次型的函数（利用单调性直接求解） 对于一次函数有：例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，解出即可。三、数形结合（对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例10 (07安徽理科3)若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是O(A) (B) (C) （D） 解析：对,不等式恒成立则由一次函数性质及图像知，即。四、赋值型利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a=（ ）.A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，则f(0)=f(),即a=-1，故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想. 利 用 导 数 求 参 数 的 取 值 范 围一已知函数单调性，求参数的取值范围.类型1 参数放在函数表达式上.略解：（）由（）方法：方法：方法 解题方法 总结：求后，若能因式分解则先因式分解，讨论=0两根的大小判断函数的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题.类型2参数放在区间边界上例已知函数过原点和点(-1,2), 若曲线在点P处的切线与直线且切线的倾斜角为钝角. （1）求的表达式 （2）若在区间2m-1,m+1上递增,求m的取值范围.