组合数学习题答案部分.pdf

期末总复习期末总复习nn阶阶幻方的构造幻方的构造分分三种情况：三种情况：nn为奇数、为奇数、nn为为44的倍数、的倍数、nn为其它偶数为其它偶数(4n+2(4n+2的形式的形式)nn为奇数时，最简单为奇数时，最简单(1)(1)将将11放在第一行中间一列放在第一行中间一列(2)(2)从从22开始直到开始直到nnnn止各数依次按下列规则存放：止各数依次按下列规则存放：按按4545方向行走，方向行走，（如向右上如向右上）每一个数存放的行比前一个数的行数减每一个数存放的行比前一个数的行数减11，列数加，列数加11(3)(3)如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。例如例如11在第在第11行，则行，则22应放在最下一行，列数同样加应放在最下一行，列数同样加11(4)(4)如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第11行行第第nn列时，列时，则把下一个数放在上一个数的下面。则把下一个数放在上一个数的下面。采用对称元素交换法。采用对称元素交换法。1.1.把数把数11到到nnnn按从上至下，从左到右顺序填入矩阵按从上至下，从左到右顺序填入矩阵2.2.将方阵的所有将方阵的所有4444子方阵中的两对角线上位置的数关子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对于方阵中心作对称交换，即称交换，即a(ij)a(ij)与与a(na(n+11-inin+11-j)j)交换，所有其它位置上的数不变。交换，所有其它位置上的数不变。(或者将对角线或者将对角线上上的的数数换成换成和和它它互补互补的的数数)互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和（即即12n），称为互补称为互补。n为4的倍数时人们很早就掌握了奇数阶和阶数人们很早就掌握了奇数阶和阶数n=4kn=4k的幻方的构造方法，而阶数的幻方的构造方法，而阶数n=4k+2n=4k+2的幻方的构造是直到的幻方的构造是直到19181918年才由数学家年才由数学家R.StracheyR.Strachey给出。给出。（11）令令m=n2m=n2将将nn的幻方格分成的幻方格分成44个个AA、BB、CC、DD区域，其中的区域，其中的每个区域由每个区域由mm的方格组成。的方格组成。（22）分别用数字分别用数字11mm22mm22+1+122mm2233mm22+1+144mm22构造构造mm阶幻方添入阶幻方添入44个区域个区域。（33）在在AA区的中间一行从第区的中间一行从第22个元素始选定个元素始选定kk（n=4k+2n=4k+2）个元素，在）个元素，在AA区区其他行从第一个元素始选定其他行从第一个元素始选定kk个元素；个元素；在在DD区选定与区选定与AA区相应位置的元素。区相应位置的元素。在在CC区的最后一列始，在每行选定区的最后一列始，在每行选定kk-11个元素，在个元素，在BB区选定与区选定与CC区相应位区相应位置的元素。置的元素。（44）调换）调换AA区和区和DD区，区，BB区和区和CC区中选定的对应元素。区中选定的对应元素。（3）阶数n=4k+2时3030393948481110101919282838384747779918182727292946466688171726263535373755141416162525343436364545131315152424333342424444442121232332324141434333121222223131404049492211112020第一章第一章鸽巢原理鸽巢原理81416第二章第二章排列与组合排列与组合12.比5400大的四位整数中，数字27不出现，且各位数字不同的整数有多少个？34567.8个棋子大小相同，其中个棋子大小相同，其中5个红的，个红的，3个蓝的。把它们放在个蓝的。把它们放在88的棋盘上，每行、每列只放一个，问有多少种方法？若放的棋盘上，每行、每列只放一个，问有多少种方法？若放在在1212的棋盘上，结果如何？的棋盘上，结果如何？891012.14.15.21.31.第三章第三章二项式系数二项式系数7.利用利用求求8.13.14.19.用牛顿二项式定理近似计算用牛顿二项式定理近似计算1013.解解：3110=rrr41312)411(2031)41!3)231)(131(31412)131(3141311(2321522.2)0069.0083.01(2)161911211(2第四章第四章容斥原理容斥原理2.4.5.6.7.7.求集合求集合11，22，nn的排列数，使得在排的排列数，使得在排列中正好有列中正好有kk个整数在它们的自然位置上。个整数在它们的自然位置上。8.13.14.16.17.第五章第五章生成函数生成函数7.4.5.18.19.第六