高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义课件新人教B版.ppt

2.3平面向量的数量积,2.3.1向量数量积的物理背景与定义,1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.知道平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的运算性质,并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.,1,2,3,4,1.两个向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a,b(如图所示),作=b,则AOB称作向量a与向量b的夹角,记作.(2)范围:0,并且=.(3)当=时,称向量a和向量b互相垂直,记作ab.在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直.(4)当=0时,a与b同向;当=时,a与b反向.【做一做1】在等腰直角三角形ABC中,C=90,则答案:90135,1,2,3,4,2.向量在轴上的正射影(1)已知向量a和轴l(如图所示),作=a,过点O,A分别作轴l的垂线,垂足分别为O1,A1,则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影),该射影在轴l上的坐标,称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量,记作al,向量a的方向与轴l的正向所成的角为,则有al=|a|cos.(2)当为锐角时,al0;当为钝角时,al0;当=0时,al=|a|;当=时,al=-|a|.,1,2,3,4,名师点拨向量a在轴l上的正射影是向量a在轴l上的分向量;向量a在轴l上的数量是其正射影在轴l上的坐标,与向量a与轴l所成的角有关,与具体位置无关.【做一做2】已知|p|=2,|q|=3,且p与q的夹角为120,则向量p在q方向上的正射影的数量为;向量q在p方向上的正射影的数量为.解析:向量p在q方向上的正射影的数量为|p|cos=2cos120=-1.同理,q在p方向上的正射影的数量为|q|cos=3cos120=.,1,2,3,4,3.向量的数量积(内积)(1)定义:|a|b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos.(2)理解两个向量的内积是一个实数,可以等于正数、负数、零.【做一做3】若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135,则ab等于()答案:B,1,2,3,4,4.向量数量积的性质设a,b为两个非零向量,e是单位向量.(1)ae=ea=|a|cos;(2)abab=0,且ab=0ab;(3)aa=|a|2或|a|=;(5)|ab|a|b|.,1,2,3,4,【做一做4-1】若mn0,则m与n的夹角的取值范围是()答案:C【做一做4-2】若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60,则aa+ab等于()答案:B,向量的数量积与实数的乘法的区别剖析(1)若两个实数满足ab=0,则a与b中至少有一个为0.而若向量a,b满足ab=0则可推导出以下四种可能:a=0,b=0;a=0,b0;a0,b=0;a0,b0,但ab.(3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,不可混淆.(4)向量线性运算的结果是一个向量,而数量积运算的结果是实数.,知识拓展1.两个向量a,b的数量积ab是一个数量,当a,b均为非零向量时,这个数量的符号与其夹角的大小有关.当00;当=90时,ab=0;当90180时,ab0;当a,b中至少有一个为0时,ab=0.2.数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.知道了数量积的几何意义,可以帮助大家正确认识向量的数量积.如:当a0时,由ab=0不能推出b一定是零向量,这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有ab=0.,题型一,题型二,题型三,【例1】已知|a|=4,|b|=5,当(1)ab;(2)ab;(3)a与b的夹角为60时,分别求a与b的数量积.分析解答本题可利用平面向量数量积的定义直接运算.解:(1)设a,b的夹角为,ab,若a与b同向,则=0,ab=|a|b|cos0=45=20;若a与b反向,则=180,ab=|a|b|cos180=45(-1)=-20.(2)设a,b的夹角为,当ab时,=90,故ab=|a|b|cos90=0.(3)当a与b的夹角为60时,题型一,题型二,题型三,反思1.求平面向量数量积的步骤是:(1)求a与b的夹角,0180;(2)分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即ab=|a|b|cos.要特别注意,书写时a与b之间用实心圆点“”连接,而不能用“”连接,也不能省去.2.非零向量a和b,abab=0.3.非零向量a与b共线ab=|a|b|.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】(1)已知向量a和向量b的夹角为30,|a|=2,|b|=,则向量a和向量b的数量积ab=.(2)若|a|=5,|b|=2|a|,且a与b反向共线,则ab=.解析:(1)ab=|a|b|cos=2cos30=(2)由已知可得|a|=5,|b|=10,=180,于是ab=|a|b|cos=510cos180=-50.答案:(1)3(2)-50,题型一,题型二,题型三,【例2】已知a,b是两个非零向量.(1)若|a|=3,|b|=4,|ab|=6,求a与b的夹角;(2)若|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.分析(1)利用向量数量积的公式求解;(2)利用向量的几何意义求解.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思求向量的夹角可应用数量积的变形公式,一般要求两个整体ab,|a|b|,不方便求出时,可寻求两者之间的关系,转化条件解方程组,利用向量的几何意义简捷直观地得出答案.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,答案:(1)120(2)45,题型一,题型二,题型三,易错点1:不理解正射影的定义致错【例3】已知|a|=3,|b|=4,且=60,试求a在b方向上正射影的数量.错解:根据正射影的定义可知所求数量为ab,即ab=|a|b|cos60=6.错因分析把ab错误地理解成了a在b方向上正射影的数量,实际上要使用内积形式必须为ae才表示a在e方向上正射影的数量.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60,则b在a方向上的射影是.解析:b在a方向上的射影是|b|cos=2cos60=2=1.答案:1,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,答案:-9,1,2,3,4,5,6,1.若|a|=3,|b|=2,=30,则ab=()答案:B,1,2,3,4,5,6,答案:A,1,2,3,4,5,6,A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析:cosA0,cosA0.角A是钝角.ABC是钝角三角形.答案:C,1,2,3,4,5,6,4.已知a,b