《二次函数》知识点归纳

1 / 3 二次函数知识点归纳 m 二次函数知识点归纳 一、定义与定义表达式一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a0)，则称 y 为 x 的二次函数。 二、二次函数的三种表达式一般式： y=ax2+bx+c(a0)顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)，此时抛物线的顶点坐标为 P(h， k)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)仅用于函数图像与 x轴有两个交点时，x1、 x2 为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为 A(x1，0)和 B(x2， 0)，对称轴所在的直线为 x=注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系： h=-， k=;x1,x2=;x1+x2=- 三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。 四、抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x=-，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点 P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴 (即直线 x=0) 2.抛物线有一个顶点 P，坐标为 P(-， )。当 x=-时， y 最值 =，当 a0 时，函数 y 有最小值 ;当 a0 时，函数 y 有最大值。当-=0时， P 在 y 轴上 (即交点的横坐标为 0);当 =b2-4ac=0时，P 在 x 轴上 (即函数与 x 轴只有一个交点 )。 3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小 (即形状 )。当2 / 3 a0 时，抛物线开口向上 ;当 a0 时，抛物线开口向下。 |a|越大，则抛物线的开口越小。对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则 a 相等 ;若形状相同，开口方向相反，则 a互为相反数。 4.二次项系数 a 和一次项系数 b 共同决定对称轴的位置，四字口诀为 “ 左同右异 ” ，即：当对称轴在 y 轴左边时， a 与b 同号 (即 ab当对称轴在 y 轴右边时， a 与 b 异号 (即 ab0)。 5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置，抛物线与 y 轴交 于点 (0， c)。 6. 抛物线 y=ax2+bx+c(a0) 与 x 轴 交 点 个 数 与 方 程ax2+bx+c=0 的根的判定方法： =b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2个交点，对应方程有两个不相同的实数根 ;=b2-4ac=0时，抛物线与 x 轴有 1 个交点，对应方程有两个相同的实数根。=b2-4ac0时，抛物线与 x 轴没有交点，对应方程没有实数根。 五、二次函数与一元二次方程 二次函数 (以下称函数 )y=ax2+bx+c(a0)，当 y=0时，二次函数为关于 x 的一元二次方程，即 ax2+bx+c=0，此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。 (参考四 -6) 六、常用的计算方法 1、求解析式的时候：若给定三个普通点的坐标，则设为一般式 y=ax2+bx+c(a0)，分别将三点坐标代入组成三元一次方3 / 3 程组，然后解此方程组求出 a、 b、 c，再代回设的一般式中即可求出解析式 ;若给定有顶点坐标或对称轴、最值，则设为顶点式 y=a(x-h)2+k(a0)，再找一点坐标代入即可求出 a，再代回设的顶点式即可求出解析式 ;若给定有与 x 轴的交点坐标，则设为交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a0)，再找一 点坐标代入即可求出 a，再代回设的交点式即可求出解析式。以上方法特别要注意括号内的正负号。 2、若求函数与 x 轴的交点坐标，让 y=0，解一元二次方程所得的根就是交点的横坐标 ; 3、若求函数的顶点坐标，用配方的方法或者直接套用顶点坐标的公式 ; 4、若求函数的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式 (同顶点坐标 )。 5、当需要判定函数 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴没有