数理统计答案汪荣鑫.pdf

第一章第一章抽样和抽样分布抽样和抽样分布33.子样平均数和子样方差的简化计算如下：子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值设子样值x1x2xn的平均数的平均数为和方差为为和方差为作变换作变换，得到，得到y1y2yn它的平均它的平均数为数为和方差为和方差为。试证：。试证：。x2xsy2ys222xyxacyscsiixayc解：由变换解：由变换，即，即iixayciixayciixacy2222222()11()()()iiiiiiiyiiixacynxnacnyxacycxxacyacyyycsnnnx而s12.在五块条件基本相同的田地上种植某种在五块条件基本相同的田地上种植某种农作物农作物，亩产量分别为亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤单位：斤），求子样平均数和子样方求子样平均数和子样方差差。解：作变换解：作变换11100100005100iiiiyxayynxay22222222211(8)(6)3560345xyiissyyn1212.设设X1X2Xn是参数为的泊松分布的母体是参数为的泊松分布的母体的一个子样，是子样平均数，试求的一个子样，是子样平均数，试求E和和D。解：解：XX111()()iiiixpxExnnnn22111()iiiiiDxDxDxDxnnnn1313.设设X1X2Xn是区间（是区间（-1，1）上均匀分）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。均值和方差。解：解：21121(11)02123xUExDx11()0111()3iiiiiixxnnDxDxDxnnn1414.设设X1X2Xn是分布为的正态母体的一是分布为的正态母体的一个个子样，求子样，求的概率分布。的概率分布。解：解：2211()niiYX21()(01).iinxXNNYY则y且之间相互独立22221()()iiiiiixYxy由分布定义，Y服从自由度为n的分布。22()Yn215.设母体设母体X具有正态分布具有正态分布N(01)，从此母体从此母体中取一容量为中取一容量为6的子样的子样（x1x2x3x4x5x6）。又设又设。试决定常数试决定常数C使使得随机变量得随机变量CY服从服从分布分布。解：解：22123456()()YXXXXXX21123(01)(03)XNZXXXN22111(01)(1)33ZZN2456ZXXX亦服从N(03)且与Z1相互独立，2222(01)(1)33ZZN且与相互独立。由分布可加性，22222221212111()(2)33333ZZZZYc117.7.已知已知，求证，求证证明：令证明：令()Xtn2(1)XFn2()(01)UXtnUNn其中2222()nUU2且与独立亦与独立2222(1)UXFXFnn由分布定义8设母体从中抽取容量n的样本求（1）n=36时，解：2(405)XN(3843)Px25(40)64xN38404043403843565656xPxP2.43.6(3.6)(2.4)(2.4)0.9918PU（2）n=64时，求401Px25(40)64xN解：40184015858582()10.89045xPxPpU第二章第二章参数估计参数估计1.1.设母体设母体X具有负指数分布，它的分布密度具有负指数分布，它的分布密度为为f(x)=000 xexx其中其中。试用矩法求的估计量。试用矩法求的估计量。解：解：f(x)=（）0()xe000 xexx001()xExxfxdxxedx用样本估计Ex，则有x11xx2.设母体设母体X具有几何分布具有几何分布它的分布列为它的分布列为PX=k=(1-p)k-1pk=12先用矩法求先用矩法求p的估计量的估计量再求再求p的最大似然估的最大似然估计计.解解:(1)矩法估计矩法估计12111(1)(1)kkkkEXkppppppp1px2111(1)()1(1)iixxxxxx(2)极大似然估计极大似然估计11(1)(1)iiinxnxniLppppln()ln(1)lniiLxnpnpln101iinxdLnpdpppx3.设母体设母体X具有在区间具有在区间ab上的均匀分布上的均匀分布其其分布密度为分布密度为f(x)=10axbba其他其中其中ab是未知参数是未知参数试用矩法求试用矩法求a与与b的估计的估计量量.解解:用用和和分别估计分别估计EX和和DX得得21()212abXUabEXDXbaX2S222()12abXbaS33aXSbXS4.设母体设母体X的分布密度为的分布密度为f(x)=其中其中(1)求求的最大似然估计量的最大似然估计量(22)用矩法求用矩法求的估计量的估计量.解解:1010 xx其他0()xfx1010 xx其他0()1最大似然估计最大似然估计1111nnniiiiLxxlnln(1)lniiLnxlnln0lniiiidLnnxdx2矩法估计用估计EX110()1EXxfxdxxxdxX1XX5.设母体X的密度为试求的最大似然估计并问所得估计量是否的无偏估计.解：1()2xfxex1111()()22iixxnnniiiLfxeelnln2lniixLnn2ln0iixdLnd得1iixn0()11222ixxXxfxdxxedxxedx11()iiiiExnn是的无偏估计.6.设母体X具有分布密度f(x)=其中k是已知的正整数试求未知参数的最大似然估计量.解:似然函数10(1)!0kkxxexk其他11111()()(1)!(1)!iiiknnxxknnkkiiiiLxkk11lnln(1)!lnln()nkiiiiLnknkxxln0iidLnkkkxdxx或7.设母体X具有均匀分布密度从中抽得容量为6的子样数值1.30.61.72.20.31.1试求母体平均数和方差的最大似然估计量的值.解:，的最大似然估计1()0fxx(0)XUmax2.2ix1.122EX222210.40331212DX8.设母体X的分布密度为f(x)=()00 xexx试求的最大似然估计。解：()Xfx()00 xexx似然函数()11()innxiiiLfxelnln()0iidLLxnd无解为了使L达到最大，尽可能小，尽可能大，而0iixn(1)1miniiinxxx12设母体X服从正态分布是从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三个估计量（1）12(1)()NXX1122133XX（2）2121344XX（3）3121122XX都是的无偏估计，并求出每个估计量的方差。问哪一个方差最小？解：11212212121()333333EExxx同理：都是的无偏估计。23和222222123215135111()()()()()()339448222DDD3方差最小为有效对形如11niiiiixxxEx且时以为最有效2Dxn13.设X1X2Xn是具有泊松分布母体的一个子样。试验证：子样方差是的无偏估计；并且对任一值也是的无偏估计，此处为子样的平均数()P2S201(1)XSX解：2()XPEXDXS22(1)(1)(1)EXSS14.设X1X2Xn为母体的一个子样。试选择适当常数C使为的无偏估计。解：2()N1211()niiiCXX22211221()()()()2()()()iiiiiiiiiiiiixxxxxxxx1()()0iiExx1122211111()()2()()()nniiiiiiiiiiExxxxEx222(1)0(1)2(1)nnn212()12(1)2(1)iiixxEcnn18.从一批电子管中抽取100只若抽取的电子管的平均寿命为1000小时标准差s为40小时试求整批电子管的平均寿命的置信区间(给定置信概率为95%).解:n=100小时s=40小时用估计构造函数1000 xx(01)xuNsn近似给定置信概率有121Puu即22()1ssPxuxunn224010001.96992.2104010001.961007.810sunsun置信下限x置信上限x整批电子管的平均寿命置信概率为95%的置信区间为(992.21007.8)小时.19.随机地从一批钉子中抽取16枚测得其长度(单位:cm)为2.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11。设钉长分布为正态的，试求母体平均数的置信概率为90%的置信区间：（1）若已知（2）若未知。解：n=16(1)若已知，构造函数0.01()cm2.1250.017xs0.01()cm(01)xuNn给定置信概率90%，有21Puu即0022()1Pxuxunn02()(2.1250.0041)xun置信区间为为（2）若未知构造函数(1)xTtnSn给定置信概率90%，查得，有0.05(15)1.7531t2(1)1pTtn母体平均数的置信概率为90%的置信区间为，即（2.1250.0075）0.05(15)sxtn21.假定每次试验时，出现事件A的概率p相同但未知。如果在60次独立试验中，事件A出现15次，试求概率p的置信区间（给定置信概率为0.95）。解：n=60m=15x“0-1”分布，(1)mmmxsnnn构造函数(01)xpuNsn近似给定置信概率95%，有21Puu即2211(1)(1)1mmmmmmpupunnnnnnnn故p的置信概率为95%的置信区间为（0.250.11）22.对于方差为已知的正态母体，问需抽取容量n为多大的子样，才使母体平均数的置信概率为的置信区间的长度不大于L解：2122()XN已知构造函数(01)xuNn给定置信概率，有，使12u21Puu即22()1Pxuxunn置信区间长度22uLn22224nuL23.从正态母体中抽取一个容量为n的子样，算得子样标准差的数值。设（1）n=10=5.1(2)n=46=14。试求母体标准差的置信概率为0.99的置信区间。解：（1）n=10sss22()XN未知25.1s用估计构造函数给定置信概率=99%查表得2s22222(1)(1)nsn1220.0050.995(9)23.589(9)1.735使2220.9950.005(9)(9)0.99p母体的置信概率为0.99的置信区间是2212233()(9)ss即(3.15011.62)(2)n=46时所求的置信区间是14s22220.0050.995(1)(1)()(45)(45)nsns即(10.97919.047)25.设母体X服从正态分布和是子样X1X2Xn的平均数和方差又设且与X1X2Xn独立试求统计量的抽样分布.解:2()NX2nS21()nXN111nnXXnSn12221()01()(1)nnEXXDXXnn又1nXX服从正态分布故1(01)11nXXNn222(1)nnSn又2nS与1nXX独立根据t分布定义1122211(1)11(1)nnnnnXXXXUnnTtnnSSnnnSnn26.设X1X2Xm和Y1Y2Yn分别是从分布为两个母体中抽取的独立随机子样分别表示X和Y的子样平均数和分别表示X和Y的子样方差.对任意两个固定实数和试求随机变量2212()()NN和XY和xSyS122222()()2xyXYYmSnSmnmn的概率分布.解:是正态变量线性组合仍服从正态分布.XY122221222()()()()()(01)EXYDXYmnXYUNmn又222222(1)(1)yxnSmSmn且相互独立由分布可加性22222(2)xymSnSmn且与XY独立根据t分布定义122222222()()(2)(2)2xyxyXYUTtmnmSnSmSnSmnmnmn27.从正态母体中抽取一个n45的大子样利用第一章2.2中分布的性质3证明方差22的置信区间(给定置信概率为)是12222()221111SSuunn证明:对正态母体的置信概率为的置信区间是212222122(1)(1)()(1)(1)nSnSnn当n45时2()2nnnu222(1)(1)2(1)nnnu211222(1)(1)2(1)(1)2(1)nnnunnu(1)代入(1)式即2222()221111SSuunn证毕.29.随机地从A批导线中抽取4根从B批导线中抽取5根测得其电阻(单位:欧姆)并计算得:220.142530.0000250.139240.000021AABBxsxs设测试数据分别具有分布21()N和22()N.试求的置信概率为95%的12置信区间.解:2212()()ABXNXN45ABnn220.142530.0000250.139240.000021AABBxsxs121(2)(2)11ABABXXTtnnSnn构造函数给定置信概率95%查得使0.025(7)2.3646t0.025(7)95%PTt所求置信下限为:0.02511(7)0.00330.004060.0007645ABxxts置信上限为:0.0033+0.00406=0.00736(-0.000760.00736)为的置信概率为95%的置信区间.1231.两台机床加工同一种零件分别抽取6个和9个零件测得其长度计算得22120.2450.357ss假定各台机床零件长度服从正态分布.试求两个母体方差之比的置信区间(给定置信概率为95%).2122解:22112260.24590.357nsns构造函数2212212212(11)FFnnSS给定置信概率有195%2221112121222122222(11)(11)1SSPFnnFnnSS查表0.0250.02511(85)6.76(58)4.82FF所求置信区间的置信下限为10.2450.1424.820.357置信上限为0.2456.764.640.35734.从一批某种型号电子管中抽出容量为10的子样计算得标准差(小时).设整批电子管服从正态分布.试给出这批管子寿命标准差的单侧置信上限(置信概率为95%).45s解:n=10(小时)45s构造函数2222(1)(1)nSn给定置信概率95%查20.95(9)3.325使221(1)1Pn即2220.95(1)0.95(9)nsP故所求的置信概率为95%的置信上限为294534574.053.3251.8231.从已知标准差的正态母体中抽取容量为n=16的子样由它算得子样平均数.试在显著水平0.05下检验假设H0:2.556.27x26解:1.建立原假设H0:2.在H0成立前提下构造统计量26)10(0Nnxu3.给定显著水平有使05.096.12u2uuP即05.096.100nxP4.由样本n=1656.27x代入96.12.142.52656.272uu接受H02.从正态母体中取100个样品计算得)1(N32.5x(1)试检验H0:(2)计算上述检验在时犯第二类错误的概率.5是否成立)01.0(8.4解:(1)1.建立原假设H0:2.在H0成立前提下构造统计量5)10(0Nnxu3.给定显著水平有使01.0575.22u2uuP即01.0575.200nxP代入575.22.3101532.5u拒绝H0(2)真实时8.4719.0)575.0()575.0()575.4()575.21018.45()575.21018.45()()(212102102)(002021ununxdenHnx接受域3.某批砂矿的5个样品中的镍含量经测定为x(%)3.253.273.243.263.24设测定值服从正态分布。问在下能否接受假设：这批矿砂的(平均)镍含量为3.25。解：设，未知，计算.252，=0.013。（1）建立假设：（2）在假设成立的前提下，构造统计量01.0)(2Nx2xs0H25.3xu)1()(0nttnsx（3）给定查得=4.6041（4）由样本计算，=0.34=5p414341243413434125681建立假设：母体X的分布律为上述分布律在成立的前提下，构造统计量给定显著水平，查得0H)4(25122iiiinpnpm）（0H)4(22568125681362562725627286492006492003216320016320048505056)4(2222222）（由样本计算，使p02488.9405.760.026.253.094.272.0H接受）（方差分析习题方差分析习题1.为了对一元方差分析表作简化计算，对测定值作变换，其中b、c是常数，且。试用表示组内离差和组间离差，并用他们表示F的值。ijx0bijyijijybxc解：由第一章习题3可知组内离差组间离差ijijybxc2221xyssb222211AiiAiijQnixxniyQbby22221111rniEijiijiEijijQxxyyQbb11AAEEQrQrFFQnrQnr2.有四个厂生产1.5伏的3号电池。现从每个工厂产品中各取一子样，测量其寿命得到数值如下：生产厂干电池寿命（小时）A24.7，24.3，21.6，19.3，20.3B30.8，19.0，18.8，29.7C17.9，30.4，34.9，34.1，15.9D23.1，33.0，23.0，26.4，18.1，25.1问四个厂干电池寿命有无显著差异（）？5%解：1.建立假设：四个水平下母体2.在成立前提下构造统计量3.给定显著水平，查，使4.有样本计算列出方差分析表0H12342iixN0H11AEQrFFrnrQnr1Frnr1pFFrnr来源离差平方和自由度均方离差F组间r-1=320.230.5366组内n-r=1637.7总和663.924160.7AiiQnixx2411603.2niEijiijQxx3163.24FF1接受，四个厂的干电池寿命无显著差异0H3.抽查某地区三所小学五年级男学生的身高，得如下数据：小学身高数据（厘米）第一小学128.1，134.1，133.1，138.9，140.8，127.4第二小学150.3，147.9，136.8，126.0，150.7，155.8第三小学140.6，143.1，144.5，143.7，148.5，146.4试问该地区三所小学五年级男学生的平均身高是否有显著差异（）？5%解：，I=1231.建立假设：2.在成立前提下构造统计量3.给定显著水平，查，使4.有样本计算列出方差分析表2iixN0H1230H11AEQrFFrnrQnr1Frnr1pFFrnr来源离差平方和自由度均方离差F组间r-1=2233.084.375组内n-r=1553.28总和21466.16rAiiQnixx2799.3EijiijQxx0.052153.68F，所以拒绝，认为三所小学五年级男生平均身高有显著差异0.05215FF0H4.在一元方差分析中，而，试求的无偏估计量及其方差。1212ijiijxjnir10riiini解：在第i水平下估计量为而总的平均的估计量为的估计量为是无偏的1212ijiijxjniriixxiiiixxiiiExi211222122222222212221111122iirriijjijjjjriijjjrjjiiiDDxxnDxnxDxDnxnnnnDxnjinnnnnnnnnnnnnn1.通过原点的一元回归的线形模型为其中各相互独立，并且都服从正态分布。试由n组观察值，用最小二乘法估计，并用矩法估计12iiiYxini20N12iixyin2回归分析习题回归分析习题解：；的矩法估计12iiiYxin20iN21min