毕业论文-基于Matlab的加窗FFT电力系统谐波分析.docx

山东农业大学毕 业 论 文 基于Matlab的加窗FFT电力系统谐波分析 院 部 机械与电子工程学院 专业班级 电气3班 届 次 2015届 学生姓名 学 号 指导教师 二一五 年 五 月 二十九 日目 录摘要：11绪论错误!未定义书签。1.1课题背景、研究意义错误!未定义书签。1.2 谐波的危害与来源错误!未定义书签。1.2.1 谐波来源错误!未定义书签。1.2.2 电力系统谐波的危害31.3 谐波检测错误!未定义书签。1.4 谐波的标准与指标错误!未定义书签。1.5 国内外关于谐波的研究现状52谐波分析测量错误!未定义书签。2.1 傅里叶级数与系数错误!未定义书签。2.2 傅里叶级数的复指数形式错误!未定义书签。2.3 谐波相量的卷积92.4 傅里叶变换错误!未定义书签。2.5 快速傅里叶算法错误!未定义书签。2.6 傅里叶变换基本思想错误!未定义书签。2.7几种傅里叶变换的介绍142.7.1 基-2 FFT错误!未定义书签。42.7.2 实值FFT错误!未定义书签。2.7.3 局部FFT错误!未定义书签。3基于FFT谐波法研究检测方法错误!未定义书签。3.1 FFT算法存在的问题错误!未定义书签。3.1.1 奈奎斯特频率和混叠错误!未定义书签。3.1.2 栅栏效应193.1.3 频谱泄露错误!未定义书签。03.2 算法的优化错误!未定义书签。03.2.1 窗函数错误!未定义书签。03.2.2 窗函数的选择错误!未定义书签。3.3 FFT问题的优化错误!未定义书签。44 仿真实验与分析错误!未定义书签。4.1仿真的理论依据错误!未定义书签。4.2仿真实验与分析错误!未定义书签。5参考文献错误!未定义书签。8致谢280附录错误!未定义书签。基于Matlab的加窗FFT电力系统谐波分析孙传森（山东农业大学 机械与电子工程学院 泰安 271018）摘要：随着电力系统中非线性电力元件的增多，电网中谐波分量大大增加，谐波污染的情况也日益严重，对电力系统的安全经济运行造成了极大的影响。谐波测量是谐波问题研究的主要依据，实时测量电网中的谐波含量，确切掌握电网中谐波的实际情况，对于防止谐波危害，维护电网的安全运行是十分必要的。对于谐波的分析，常用的分析方法有快速傅里叶变换（FFT），沃尔什变换（Walsh）,哈里特变换（Harley）和小波变换（Wavelets）等。快速傅里叶变换方法因为具有实现简单，精确度较好，功能较为丰富等优点，所以被用来作为常用的谐波检测方法，但是由于谐波分析时同步采样的难度较大，造成采样频谱泄露、栅栏效应，频率混叠等问题，使得算出的谐波精度不高。针对快速傅里叶变换测量谐波精度不足的缺点，通常采用加窗值FFT和全相位FFT等方式进行FFT的优化。本文的重点工作是：分析FFT算法存在的缺陷以及针对这些缺陷进行的改进，分析了多种窗函数的特性，并根据多种穿函数的优缺点，适当的将多个窗函数组合起来，达到更高的精度，仿真的结果表明，这种方法是切实可行的，能够达到足够的精度要求。关键词：电力系统，谐波，FFT，窗函数，加窗。Harmonic analysis of power system based on Matlab for FFT power systemChuansen Sun(Mechanical Electrical Engineering College of Shandong Agricultural University, Taian, Shandong 271018)Abstract：With the increase of power system nonlinear electric elements, harmonic component is greatly increased, harmonic pollution is becoming more and more serious, the safe and economic operation of power system caused a great impact. Harmonic measurement is a main basis in the study of harmonic problems, real-time measurement in power grid harmonic content, the exact grasp the actual conditions of power network harmonic, to prevent the harm of harmonics, maintenance and the safety operation of the power grid is very necessary. For the harmonic analysis, the common methods of analysis are fast Fourier transform (FFT), Walsh transform (Walsh), Harriet transform (Harley) and wavelet transform (Wavelets), etc. Fast Fourier transform method for its realization is simple, good accuracy and more feature rich and advantages, it is used for as a commonly used harmonic detection methods, but due to the harmonic analysis of synchronous sampling difficulty is greater, cause sampling frequency spectrum leakage and picket fence effect, frequency mixed stack and other issues, making the calculated harmonic precision is not high. In view of the shortcomings of the fast Fourier transform for measuring harmonic accuracy, the optimization of FFT by adding window value FFT and full phase FFT is usually used. The focus of this paper is: analysis of FFT algorithm in the presence of defects and improvement for these defects, analysis the characteristics of various window functions, and according to the advantages and disadvantages of wearing a variety of functions, appropriate the multiple window function combination, achieve higher accuracy. Simulation results show that, this method is feasible and can meet the requirement of sufficient accuracy.Keywords: power system, harmonics, FFT, Window function, plus window1 绪论1.1 课题背景、研究意义通过示波器，我们可以观测到一个电气信号的、波形，每个时刻的电气信号的幅值。如果把该电气信号加到一个高保真的放大器上面，可以听到一个各种频率的混合音调，所以，电气信号既可以用时域，同样也可以用频域的数据来表示。现代社会，经济的发展离不开能源的供应，大量的电能需求是当今社会的现状。随着越来越多的非线性元件在电力系统中的投入使用，电能质量不可避免的受到影响，大量谐波的存在使得电能质量不能够满足一些用户的需求，对电力系统的安全经济稳定运行带来的是潜在的威胁，同时对电力电子技术的发展同样有着不利的影响。所以，谐波检测作为我们对谐波问题研究的出发点，成为我们重要的研究课题。1.2谐波的危害与来源1.2.1 谐波来源 电力系统谐波的定义为电源所产生的频率（或者成为基波频率）的整数倍频率的正弦电压和正弦电流，谐波构成了电源电压和负荷电流的波形的主要畸变成分。谐波产生的机理可以这么来进行简单的阐释：发电部分通常在频率为50Hz或者60Hz的稳定频率下发电，发电机产生的电压的波形在实际生产中可以认为是正弦的。但是当若干个非线性电力元件负荷加入电力系统时，产生的电流并非完全是正弦形的，因为系统阻抗的存在，会造成一个非正弦的电压降，由此，在负载侧所产生的电压畸变，也就是我们所说的电压中含有谐波。电力系统谐波的来源有三个部分:因为发电系统的质量不高而产生含有谐波的电压源；在供配电部分中产生的谐波；在负荷端产生的谐波。对于发电部分的谐波，由于发电机的制作过程中一些发电绕组，铁芯的制作存在些误差，会产生一些谐波，但是当我们对发电机的结构和接线方式做一些处理后，发电端的电压波形基本可以认为是标准的正弦电压波形。供配电部分产生谐波的主要原因是由于变压器的存在，变压器的绕组、铁芯的设计选择，工作磁密的选择，使得磁化电流含有高次谐波。谐波的主要来源是负荷端的各种非线性元件，主要分为以下几种：电弧加热设备，如电弧炉、电焊机等。开关电源设备，如中频炉、彩色电视机、电脑、电子整流器等。交流整流的直流用电设备，如电镀、电解设备、电动机车等。交流整流再逆变用电设备，如变频空调，变频调速机等。1.2.2 电力系统谐波的危害电力系统谐波的危害主要体现在以下方面： （1）谐波的存在使得电网中的一些组件产生了附加的损耗，影响了发输变电以及用电的效率，大量的奇次谐波的存在使得流过中性线时线路发热甚至引起火灾。（2）大量谐波的存在会使得各种用电设备的正常工作受到影响。对于发电机，因为谐波的存在，引起附加损耗外，还会引起机械振动，过电压等危害，降低发电机的使用寿命.对于电力变压器、电容器、电缆也有着过热，绝缘老化，从而影响设备的使用寿命。（3）电力系统谐波的存在还会造成部分电网谐振，从而加大谐波污染对电力系统的危害。（4）谐波会造成电力系统二次侧误动，使得二次侧的设备不能准确的测得系统的运行情况。（5）电力系统谐波会干扰附近通信系统的正常工作。轻则影响人们日常通话活动，降低通话质量。重则导致通信系统的崩溃，使得通信系统无法正常工作。1.3 谐波检测谐波检测是对谐波问题进行分析、研究的基础。只有准确的对谐波进行检测，才能更好的应对谐波污染的问题。谐波检测的主要作用是：（1）对电力系统中谐波进行检测，判断系统中的谐波水平是否符合关于谐波水平的规定。（2）确保电气设备投入后能够正常运行。（3）当系统由于谐波的影响不正常运行时及时检测的系统异常的原因，减少因为谐波造成的损失。（4）关于谐波的指标测试,如谐波阻抗、谐波谐振等。1.4 谐波的标准与指标 国际电工委员会（IEC）制订了一系列关于电磁兼容的标准，用以处理电能质量问题。IEC 61000系列是国际电工委员会制定的关于谐波标准的指导性文件，是国际上认可的控制电力系统谐波畸变的资料，其他的还有IEEE 519-1992文件，也为谐波处理问题提供了导则。电压波形常用的谐波指标是THD，即以基波分量百分数表示的谐波有效值。Hn=2NUn2U1 (1-1)公式中相应符号意义为：Un为n次谐波电压有效值，N是所采集到的最高谐波次数，U1是基波电压的有效值。但是当使用表征电流畸变水平时，因为负荷电流较小使得所测结果造成一定的误差，采用总需求畸变因数（）取代。表达式如下：n=2NIn2Ir (1-2)公式相应符号意义：In是n次谐波电流有效值，N为所采集到最高谐波次数，Ir为额定电流。表1-1 IEC规定的系统谐波电压兼容值奇次谐波（非3的倍数）奇次谐波（3的倍数）偶次谐波谐波次数（h）谐波电压含有率（%）谐波次数（h）谐波电压含有率（%）谐波次数（h）谐波电压含有率（%）5635227591.541113.5150.360.5133210.280.5172210.2100.5191.5-120.2231.5-120.2251.5-250.2+12.5h-表1-2公用电网谐波电压限值电网标称电压（kv）电压总谐波畸变率（%）各次谐波电压含有率（%）奇次偶次0.385.04.02.00.64.03.21.6104.03.21.6353.02.41.2663.02.41.21102.01.60.81.5 国内外关于谐波的研究现状从交流电投入使用开始，电力系统的设计已经把降低电压和电流的波形畸变作为一项重要内容，使其在一个可以接受的范围内。早在1945年，J.C.Read发表的有关变流器谐波的论文是早期人们对于谐波研究的经典论文之一。在50年代和60年代，高压直流输电技术的产生和发展使得人们对于电力系统谐波的研究更进一步深化，发表的大量关于变流器引起的电力系统谐波问题的研究论文，70年代以来，电力电子技术的发展，电力电子器件的投入使用，电力系统谐波污染的情况也日趋严重。大多数国家制订了各自的谐波标准或推荐规程适应本国的条件，但是随着经济全球化，各国制作的设备彼此交流的需要，促进共同努力制定谐波方面的国际标准。国内关于电力系统谐波研究起步较晚，我国关于谐波研究较有影响力的一部著作是1988年由吴竞昌等人出版的电力系统谐波。近年来关于谐波研究的代表作1994年夏道止等人出版的高压直流输电系统的谐波分析及滤波，其他较为有影响力的著作有唐统一等人翻译外国学者J.Arrillaga的电力系统谐波等。有关谐波问题的研究主要分为以下几个方面：（1）与谐波相关的功率定义和功率理论的研究（2）谐波分析以及谐波危害的研究（3）关于谐波的抑制与补偿（4）和谐波有关的测量问题及限制谐波标准的研究2 谐波分析测量 通过适当的传感器测量或者根据给定的运行条件，通过电气设备的非线性特性计算可以得到该电气设备的电压电流的波形。数学家傅里叶于1822年提出周期为T 的连续函数，可以通过直流分量、正弦基波分量与一系列高次的正弦分量之和来表示。谐波分析是计算周期性波形的基波和高次谐波的波形幅值与其相角的过程。谐波分析所得到的结果称之为傅里叶级数，并通过该过程简历时域函数与频域函数之间的关系。2.1 傅里叶级数与系数常用的傅里叶级数表达式如下：ft=a0+n=1ancos2ntT+bnsin2ntT （2-1）上式表达式中各项参数为：a0函数f(t)的平均值an，bn是谐波的两个分量当谐波用矢量表示是，可以表示为 Ann=an+jbn （2-2）An为该波形的幅值，其值为an2+bn2，n是该波形的相角，其值为tan-1bnan。对于给定的函数f(t),将式（2.1）的两边在一个周期内进行积分，通常取-T/2到T/2，可以求出来f(t)的平均值a0:-T/2T/2f(t)dt=-T/2T/2a0+n=1ancos2ntT+bnsin（2ntT）dt (2-3)对上式等式右边逐项积分可以求得： a0=1T-T/2T/2ftdt (2-4)用语言描述即为a0为在一个周期内函数f(t)下面的面积除以该波形的周期T。对式（2-1）进行变形处理，表示出an，bn。等式两边乘以cos(2mtT)，同样在一个周期内进行两边积分运算，如下：-t/2T/2f(t)cos(2mt/T)dt=-T/2T/2a0+n=1ancos2ntT+bnsin2ntTcos2mtTdt = a0-T/2T/2cos2mtT+n=1an-T/2T/2cos2ntTcos2mtTdt+ bn-T/2T/2sin(2nt/T)cos(xmt/T)dt （2-5） 由数学运算可得，等式右边第一项关于余弦函数在一个周期内的积分为0，bn项所乘系数，对于所有的n、m值，由于正余弦函数正交，其积分结果亦为0。所以，所有bn项为0。当n、m值相等时，由于正交，含有an的因数也是0.在n=m的情况下，式（2-5）可以化简为：-T2T2ftcos2ntTdt=an-T2T2cos22ntTdt =an2-T/2T/2cos(4nt/T)dt+an2-T/2T/2dt (2-6)所以，系数 an=2T-T/2T/2f(t)cos(2nt/T)dt n1 (2-7)对于系数bn同样有，对（2-1）式进行变换，等式两边同乘以sin(2mt/T)，即可确定系数bn,其表达式如下： bn=2T-T/2T/2f(t)sin(2nt/T)dt n1 (2-8)对于积分区间的选择，由于上述若干式的对称性，积分区间可以任取t(t+T)，通常，我们用角频率表示式（2-4）、（2-7）、（2-8），取T=2，=2/T=2f,所以，上述三式表达如下：a0=12-ftd(t) (2-9)an=1-f(t)cos(nt)d(t) (2-10)bn=1-f(t)sin(nt)d(t) (2-11)综上，有f(t)=a0+n=1ancosnt+bnsin(nt) (2-12)由积分运算法则可知，积分区间-T/2,T/2可分解为-T/2,0,0,T/2两个积分区间，所以，式（2-7）（2-8）可以分解变换为以下形式：an=2T0T/2f(t)cos(2nt/T)dt+2T-T/20f(t)cos(2nt/T)dt (2-13)bn=2T0T/2f(t)sin(2nt/T)dt+2T-T/20f(t)sin(2nt/T)dt (2-14)应用积分运算的性质，将（2-13）式第二个积分中t用-t代换，可以得到以下表达式:an=2T0T/2f(t)cos(2nt/T)dt+2T-T/20f(-t)cos(-2nt/T)d(-t) =2T0T/2ft+f(-t)cos(2nt/T)dt (2-15)相应，可以对bn表达式进行变换：bn=2T0T/2ft-f(-t)sin(2nt/T)dt (2-16)关于波形的分类，可以分为奇对称和偶对称，另外还有半波对称几种，当波形为奇对称波形时，有以下关系：f(t)= -f(-t)则不论n取何值，an项的结果均为0，而bn=4T0T/2ftsin2ntTdt (2-17)所以，若函数为奇函数，则奇傅里叶级数中只含有正弦项。当波形为偶对称时，即f(t) =f(-t)，则对于任意一个n值，都有bn = 0 ，而 an=4T0T/2f(t)cos(2nt/T)dt (2-18)所以对于偶函数，傅里叶级数只含余弦项。当选择不同的时间参考点的时候，一些波形可以为奇函数或者偶函数，如图：图2-1 信号波形该波形为奇函数，若将参考点（即原点纵轴）平移Y/2。则可以将该波形函数看作为偶函数。关于半波对称，本文不做过多描述。2.2 傅里叶级数的复指数形式为了从理论上的傅里叶级数分析过渡到对电网实际波形实用而快速的谐波分析,这需要利用傅里叶级数的指数形式，直接计算各次谐波的幅值和相位。公式参考如下：ejnt= cosnt+jsin(nt)e-jnt=cosnt-jsin(nt)所以，式（2-12）可以表示为f(t)=a0+n=1(an-jbn2ejnt+an+jbn2e-jnt) （2-19）2.3 谐波相量的卷积通过一个完整周期T的信号采集来观察该函数。等效于用一个长度为T的矩形脉冲乘以该时域信号，在频域中与之对应的是这两个函数频谱的卷积。可以通过下图来更为形象地理解上述过程。图2-2 卷积傅里叶级数的离散卷积，即两个时域波形函数的逐个点的乘积。当两个谐波相量（不同频率）进行卷积时。其结果为两个谐波相量，频率分别为原相量的和、差。通过三角变换公式，可以计算两个正弦波形之积，再通过变换转回相量的形式。假设谐波次数为k，m的两个相量Ak、Bm，利用三角变换式积化和差，可得以下等式：|Ak|sin（kt+Ak）|Bm|sin(mt+Bk)=12|Ak|Bm|sin(k-m)t+Ak+Bm+/2)-sin(k+m)t+Ak+Bm+/2) （2-20）对上式进行欧拉变换，转换为相量形式，所化简过程如下：AkBm=12|Ak|Bm|ej(Ak-Bm+/2)（k-m）-ej(Ak+Bm+/2)k+m =12j(AkBm*)k-m-(AkBm)k+m (2-21)由于k，m的取值不同，频率之差有存在负值的可能，为了避免出现负值，从而产生负谐波，所以有以下公式表达：AkBm=12j(AkBm*)k-m-(AkBm)k+m km AkBm=12j(AkBm*)*m-k-(AkBm)k+m km (2-22)经研究可得，两个非正弦的波形信号的乘积，对应的是这两个谐波相量傅里叶级数的离散卷积。fa(t)fb(t)=0nh|Ak|sin（kt+Ak）0nh|Bm|sin(mt+Bm)=0nh0nh|Ak|sin（kt+Ak）|Bm|sin(mt+Bm) (2-23)对（2-23）进行改写，可以得出：FAFB=0nh0nhAkBm (2-24)2.4 傅里叶变换经由上述描述可知，对于一个连续的时域信号，可以通过傅里叶级数这个工具在频域中得到一个离散的频率序列。因为T、二者的关系成负相关，当T趋于无穷大的时候。谐波频率间隔也就无限趋于0。则傅里叶变换与其相应的傅里叶逆变换表达如下：傅里叶变换：X(f)=-x(t)e-j2ftdt (2-25)傅里叶逆变换:x(t)=-X(f)ej2ftdt (2-26)对于表达式X(f),一般使用复数表达式：X(f)=ReX(f)+jImX(f) (2-27)由三角函数性质可得，X(f)的实部：ReX(f)=-x(t)cos(2ft)dt (2-28)同理可知，X(f)的虚部：ImX(f)=-x(t)sin(2ft)dt (2-29)所以，由相量表示方式可知，该信号幅值为：|X(f)|=（Re(X(f)）2+(Im(X(f)2 (2-30)该信号对应幅角：(f)=tan-1Im(X(f)Re(X(f) (2-31)由（2-27）（2-31）式可知傅里叶反变换表达式可以写成幅值与相位分量的函数：x(t）=-Xfcos2ft-fdf (2-32)傅里叶变换按照函数的不同分为连续傅里叶变换（FT）和离散傅里叶变换（DFT）两种。对于连续傅里叶变换，若连续非周期信号f(t)的傅里叶变换存在，需要满足以下两个条件：（1）f(t)满足狄利克雷（Dirichlet）条件：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；在一周期内，信号是绝对可积的（2）f(t)在有限区间上绝对可积则定义该函数的傅里叶变换为： F()=-f(t)e-jtdt (2-33)对应的傅里叶逆变换表达式为：f(t)=12-F()ejtd (2-34)上述两个变换，即为一个函数的时域频域之间的变换。离散傅里叶变换是信号处理中最常用最基本的运算，其定义为：给定的离散时间序列，x0 x1xN-1,该序列可以绝对求和。则由离散分量构成的傅里叶变换对如下：X(fk)=1Nn=0N-1x(tn)e-j2kn/N (2-35)及相应的傅里叶逆变换：x(tn)=k=0N-1X(fk)ej2kn/N (2-36)假定上两式时域函数与频域函数都是周期的，每个周期由N个采样值，如下图所示：图2-3 DFT频域、时域图由于实际采样的数据众多，计算量较大，通常借助于计算机完成这一工作过程。对式（2-35）变换，令W=e-j2/N,则(2-35)可变为如下：X(fk)=1Nn=0N-1x(tn)Wkn (2-37)上式可用下图所示矩阵表表示，结果如下： 图2-4 DFT转换矩阵或者简写为：X(fk)=1NWknx(tn) (2-38)X(fk):频域内N个函数分量的一个矢量 x(tn)：时域内N个采样函数的一个矢量 由上可知，当N值取值过大时，计算量较为繁琐，需要很快的计算速度才能完成该变换需要的计算量。所以此方法并没有获得较为广泛的应用。2.5 快速傅里叶算法N值取值的不同，傅里叶变换的算法运算量也不同，当N取值较大时，运算量较大，需要的代价也较大，甚至说难以办到。为了解决这一问题，引出了快速傅里叶算法（FFT），FFT并不是一个新型的算法。由上述矩阵可知，X(fk)中元素有许多相似的特点，利用其元素的周期性，对称性和正交性，可以使运算量大大减少。2.6 傅里叶变换的基本思想WNk是一个周期函数，利用它的基本性质，可以减少运算量。1对称性：WNk+N/2=-WNk (2-39)2周期性：WNk+N=WNk (2-40)3可约分性： WNnk=WmNnmk (2-41)利用上述性质，可以对离散傅里叶变换中某些因子进行合并，并且可以把输入信号分解为点数更小的组，是运算难度降低。基于上述思想，FFT基本上可以分为两类：按时间抽取（DIT）、按频率抽取（DIF）。2.7 几种傅里叶变换的介绍2.7.1 基-2FFT该方法是FFT算法的标准版本。通常应用基2-FFT来处理数字信号。虽然目前已经开发出各种更为先进的算法，但是基-2FFT仍然使用较为广泛。其原理是将输入信号进行分解，使之成为点数更小的组，进而再对该信号进行傅里叶变换。这样的分解过程是持续进行的，一直到最后把该信号分解成为没两点为一组的信号。该方法要求信号的输入点数N为2 的指数幂，即N=2m，这样的信号分解需要经过m步的分解过程。图2-5 基-2FFT分解上图是基-2FFT算法中8点DFT分解到2点DFT。根据上图可以更为直观的理解基-2FFT算法的运算过程。2.7.2 实值FFT通常FFT算法处理的数据为复乘、复加的运算，但是输入的数据有可能是实数。为此，通过一个N点的FFT计算两个长度为N 的DFT，其理论依据是DFT的线性特性和实数频谱的复共轭特性，即： X(k)=X*(N-K),k=1,N2-1 (2-42)X(0) X(N2)均为实数，将一个复数序列用两个实数序列表示:Xn=x1n+jx2n (2-43) 由DFT可得:X(k)=X1(k)+jX2(k) (2-44)由傅里叶复数表达方式可得：X1(k)=12X(k)+X*(N-k) X2(k)=12jX(k)-X*(N-k) (2-45)由（2-45）可知，还原DFT所需的额外计算量较小因为X1(k)，X2(k)代表了实数的DFT，实数序列必须具有复共轭的性质（参见（2-42）式）。因为当k=0或者k=N2时，所以计算结果为实数所以对于两个长度为N的实数序列来说，总的计算量为一个N点的FFT另外有2N-4加法，即相对于标准FFT来说，计算量为原来的一半。2.7.3 局部FFT当对一个输入序列分析时，我们并不是需要对全部的序列进行分析而是只对其中部分一个窄带感兴趣，即对于长度为N的输入序列，只需要小于N的输出值，由此亦可以减的运算量。常用的方法有以下几种：（1） 数字滤波器直接利用数字滤波器，数字滤波器在我们要研究的频率点产生谐振，单独分析该序列部分。（2）FFT剪枝图2-6 FFT剪枝图上图中实数用x表示，复数用O表示。通过弧线连接的复数互为共轭。实线所表示的是需要计算的蝶形。该方法是通过FFT剪枝将上述流程图中不需要输出的分支除去，从而减少大量的计算量。（3） 转换分解（TD）法有下列表达式N=P*Q，即将N点的离散傅里叶变换分解为Q个P点的DFT,对每个P点进行DFT的重组计算（乘以相应因子并求和）来得到S个输出当然，这S个输出点不一定在一个序列中。例：N=8的DFT旋转分解变换框图：图2-7 TD法图解上图表示的是八点的DFT变换分解法。其中Q=2，P=4，只需要计算S=3个输出。TD法的计算量如下： #mul=4QS #add=4QS-2S #total=8QS-2S (2-45)为了获得TD全部的计算量，Q个长度为P的分裂基数的运算量需要加进去。当考虑分裂基之后，总的运算量：#total=2Nlog2P-2+(3+4S)/P-2S （2-46）下表列出几种FFT算法计算不同输入输出DFT的运算量，数据表示TD节省的计算量超过75%。表2-8 不同FFT算法的输出DFT计算量的对比DFT的点数计算量减少计算量（%）输入（N）输出S(0-5HZ)标准FFT分裂基RFFTTD+RFFT5129230407174430281.310241751200163901043079.6204833112640368902473478.04096652457608192657438766819212953248018023013103875.43 基于FFT谐波检测方法3.1 FFT 算法存在的问题3.1.1 奈奎斯特（Nyquist）频率和混叠假定一个连续时间信号x（t），其含有最高频率为fmax，采样频率为xn=x(nTs)。假定采样频率为fs=1Ts,大于2fmax，则可以从x（n）中准确重构x（t）。最低采样频率2fmax叫做奈奎斯特Nyquist采样率图3-1 采样案例采样定理包括了两点:首先,它指出信号可以从采样序列来重构,虽然没有规定重构的算法;其次,它给出了由连续吋间信号x(t)含频率成分决定的最低采样率2fmax。即若要正确传递被采样系统信息，采样频率至少为原信号最高频率的两倍。研究中人们将采样频率一半的频率，称为奈奎斯特频率。将频率高于奈奎斯特频率的频率表示成负频率，这意味着如果采样速率低于波形中最高频率的二倍，那么，这些较高频率分量将以低于奈奎斯特频率的面貌出现，使分析发生误差。由于只在离散时间点上采样，有可能在两个采样点之间有些高频分量变化许多周期，这些高频分量的信息，就会因为离散采样而丢失。高于奈奎斯特频率的分量错误地在低频中出现，称之为混叠，如下图：（a）（b）（c）图3-2 混叠现象上图中图像表示函数是：（a）xt=k (b)xt=kcos(2nft) 对于图a，图b，这两种信号都可以解释为直流（c）图的采样表示在奈奎斯特或者采样频率之上或之下两种不同频率的信号。 为了避免“混叠”现象，通常我们让时域信号通过有限带宽的低通滤波器，该低通滤波器的理想情况如下图：图3-3 低通滤波器滤波波形假定该滤波器的截止频率fc与奈奎斯特频率值相等。因此，如果对滤波后的信号采样并作DFT， 则其频谱没有混叠效应，原信号中频率低于奈奎斯特频率的分量能得到准确表述。但是，在低通滤波器滤波的过程中，高于奈奎斯频率的信息却因为“混叠”而消失掉了。3.1.2 栅栏效应栅栏效应，也称栅栏效应，对任意一函数进行采样操作，即抽取采样点上对应的函数值。其效果如同透过栅栏的缝隙观看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余的景象均被栅栏挡住而是为零，这种现象称为栅栏效应。图3-4 采样实例上图所示:在进行谐波分析吋,通过信号釆样和截断,其频谱在频域上是连续的。N点DFT式在频率区间0,2上对信号频谱进行N点的等间隔采样,使用FFT计算频谱,只能得到若干个离散的频谱点x(k),这些点一般取在基频的整数倍上,因而不可得到连续的频谱函数。就像通过一个栅栏观看信号的频谱,只能看到上信离散点号的频谱,其余部分的频谱成分被遮挡,而不能观察到。3.1.3 频谱泄露对于频率为fs的正弦序列，它的频谱应该只是在fs处有离散谱。但是，在利用DFT求它的频谱时，时域做了一个截断处理，结果使信号的频谱不只是在fs处有离散谱，而是在以fs为中心的频带范围内都有谱线出现，它们可以理解为是从fs频率上“泄漏”出去的，这种现象称为频谱“泄漏”。3.2 FFT算法的优化3.2.1 窗函数在对时域信号的实际测量中，所取得信号观测时间总是有限的。通常将该过程称作“加窗”。在对于非稳态信号测量时，通常采用此方法。将非稳态信号分成若干准稳态信号，是准稳态信号具有无限周期的性质。对于窗函数的作用，可以这么理解：将连续时域函数限制于有限的时间段内，将这有限时间段之外的信号当作零。相当于将时域信号与对应时间点的窗函数相乘。下图给出矩形窗函数和其频谱： 矩形窗时域波形 矩形窗频域波形图3-5 矩形窗时域、频域波形3.2.2 窗函数的选择为了减少频谱泄露这一问题的影响，我们通常要选择合适的窗函数对信号进行处理。窗函数的基本要求是：窗函数主瓣尽量窄，其旁瓣要尽量小。通过选择窗函数，让我们感兴趣的频谱分量所占比重尽可能大，减少其他频谱分量的影响。下面给出几个典型的窗函数对于矩形窗的定义：Wt=1，对于-T2tT20 ， 其他， (3-1)具有1T的噪声或有效带宽，T是窗口宽度。由上图可知，矩形窗旁瓣的峰值较大，它们岁频率的衰减速度较慢。即用矩形穿函数对信号进行分析时，与基波相近的频谱分量对基波干扰较大。针对矩形窗函数缺陷，采用三角窗函数做进一步优化。三角窗的定义是：Wt=1+2tT,对于-T2t01-2tT,对于0tT20, 其他 (3-2)三角形窗是对矩形窗的一个简单改进，二者幅值都是从窗的中心到窗边衰减，但是这种减少的代价是主瓣的宽度的增加，同时频率的分辨率也会随之下降，下面给出三角窗，矩形窗的时域、频域的波形对比：图3-6 矩形窗和三角窗的时域、频域波形前两图为矩形窗时域、频域波形，后两图为三角窗的时域、频域波形。在实际频谱分析中应用较为广泛的是国际标准窗函数，即余弦平方或汉宁窗，定义如下：Wt=12（1-cos（2tT）,对于-T2TT2 (3-3)式（3-2）中两项可以变换为余弦的平方。正弦函数较易产生该函数，分析中利于余弦数值表得此函数该函数主瓣较矩形窗打，但旁瓣的衰减速度比矩形窗快，因此，此窗函数使得信号频谱泄露较小。下图为国际标准窗函数时域频域图：图3-7 国际标准窗函数时域频域图对标准窗进行变换，将其放在一个小的矩形底座上，就得到了哈明窗（Hamming）。哈明窗的表达式如下：Wt=0.54-0.46cos2tT，-T2tT2 (3-4)图3-8 哈明窗函数的时域频域波形为了更直观的表现矩形窗与标准窗的优缺对比，可借助下图：图3-9 不同窗函数波形的对比上图中所选用函数为:实线表示矩形窗函数，虚线表示的函数是汉宁窗函数，点化线是所表示的函数是哈明窗。矩形窗的第二个旁瓣与汉宁窗的第一个旁瓣位置相同但相位相反，二者可以按比例相互抵消，从而使最大旁瓣谱峰降低。理想的窗函数：我们定义具有单一主瓣没有旁9瓣的函数为理想窗函数，即高斯函数。高斯函数形式： Wt=exp（-t222） (3-5)高斯函数通过傅里叶变换，得到另一高斯函数。它形状为一个倒置的抛物线，并且越来越陡，实际运用中只截取高斯函数三倍的半幅宽，即标准差的7.06倍。结果是在频率分析谱上出现了旁瓣，但是均低于-44dB，主瓣的宽度比上述窗函数要宽，大约为1.9/T。反双曲线余弦定义：csch-1x=2-tan-1x1-x2 对于x1.0lnx+x2-1 对于x1.0 (3-6)该函数的特性为：假定旁瓣峰值给定，则此函数能提供最窄的主瓣带宽。3.3 FFT算法的优化减少“混叠”（1）对采样频率进行修改，适当提高信号采样频率，在提高采样频率的同时，要注意硬件设施的选择，同时要考虑到存储器容量和分辨率的要求。（2）采用抗混叠滤波器。对频率大于fs2的频率部分进行滤波，使其消除。但此方法需要较多的硬件，由于滤波器滤阻带的存在，并不能完全消除频率大于fs2的部分，同时采用此方法会造成部分信号不能被有效采集。减少栅栏效应（1）在信号长度N不变的条件下，适当提高采样频率fs。此方法同样要考虑到硬件设备的选择。对存储器容量有较高要求，同时降低运算的速度。（2）假定采样频率fs不变，增