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文档简介
帕斯卡与前n个自然数的平方和十七世纪的法国数学家帕斯卡(Pascal B.,1623.6.191662.8.19)想出了一个新的很妙的方法能求出前n个自然数的平方和。这个方法是这样的:利用和的立方公式,我们有(n1)3n33n23n1,移项可得(n1)3 n33n23n1,此式对于任何自然数n都成立。依次把n1,2,3,n1,n代入上式可得23 13312311,33 23322321,43 33332331,n3(n1)33(n1)23(n1)1,(n1)3 n33n23n1,把这n个等式的左边与右边对应相加,则n个等式的左边各项两两相消,最后只剩下(n1)3 1;而n个等式的右边各项,我们把它们按三列相加,提取公因数后,第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和,第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和,第三列是n个1。因而我们得到(n1)3 13Snn,现在这里Sn1222n2。对这个结果进行恒等变形可得n33n23n3Snn,2n36n26n6Sn3n23n2n移项、合并同类项可得6Sn2n33n2nn(n1)(2n1),Snn(n1)(2n1),即122232n2n(n1)(2n1)。这个方法把所要计算的前n个自然数的平方和与已知的前n个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来,然后解方程求出所希望得到的公式,确实是很妙的。前n个连续自然数的平方和公式的最新证明方法袁志红关于前n个连续自然数的平方和:的证明方法很多,这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式,我现在用一种比较合适的方法,方便孩子们理解和掌握,同时发现这个方法教学效果很好.我们先来计算:=11+22+33,即1个1与2个2与3个3的和。为此我们把这些数排列成下面等边三角形的形状的数表: 12 2 3 3 3把这个等边三角形数表顺时针旋转120度得到数表: 33 2 3 2 1 再把数表顺时针旋转120度得到数表: 32 3 1 2 3观察、三个数表对应位置的数字,看看它们之间有什么规律?不难发现:最顶层的三个数字是:1、3、3;第二行左侧三个数字是:2、3、2;第二行右侧三个数字是:2、2、3;第三行最左侧三个数字是:3、3、1;第三行中间三个数字是:3、2、2;第三行最右侧三个数字是:3、1、3.通过简单地计算发现,上面每一组数字之和都是7.每个数表都是6个位置,所以三个数表数字之和:共6个7,而这三个数表的数字都是一样的(因为都是旋转得到的,只是改变了位置关系,数字不变),所以每个数表数字之和为:673.而数表中数字的个数可以这样计算:第一行排1个数,第二行排2个数;第三行排3个数,所以共排了:1+2+3=6个数字。所以=(1+23)3(3+1)6;同理也可以采用上面的方法推导出来: 1 2 2 3 3 3 n n n nn n n n n n顺时针旋转120度,得到: n n n-1 n n-1 n-2 n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3 4 3 2 1把数表再顺时针旋转120度,得到: n n-1 n n-2 n-1 n n-3 n-2 n-1 n 1 2 3 n-1 n三个数表对应位置数字之和都是:1+n+n=2n+1,每个数表共排数字:1+2+3+4+n=n(n+
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