高中理科数学解题方法篇简化解几运算.pdf

减少解析几何运算量的若干方法 在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量 过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。 那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种 减少计算量的常用方法。 1、 回归定义，以简驭繁 圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。解题时，应善于运用圆锥 曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来， 则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。 例1、在面积为1的PMN中，=,建立适当的坐标系，求以M、 N为焦点且过点P的椭圆方程(93年高考题) 分析：在该题的题设条件中，其实是给出了PMN的两内角的大小 及它的面积。因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解 决。 解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为，则由椭圆定义 有，过点向轴作垂线，垂足为， ，。由平面几何知识有: ,， 。 所求的椭圆方程为 说明：在上述解题过程中，是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量 的关键。 例2、长度为a的线段AB的两端点在抛物线=2py(a2p0)上运动，以 AB的中点C为圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径（85年湖 北省六市高考预选题）。 分析:这里其实就是要求定长弦AB的中点C到准线的最小距离。由于 AB中点到准线的距离等于AB两端点到准线的距离的算术平均值，所以 问题就进一步转化为求A、B两点到准线距离之和的最小值。由抛物线 的定义知：A、B两点到准线的距离分别等于它们到焦点的距离，所以 当线段A、B过焦点时，A、B两点到焦点的距离之和取得最小值，这时 A、B两点到准线的距离之和也取得最小值，所以点C到准线的距离取得 最小值。 图2 解：如图2，过弦AB的两端分别作准线的垂 线，垂足为G、H,又设圆C与抛物线的准线切于 D,设抛物线的焦点F,连CD、AF、BF。由抛物线 的定义，且 a。上式中的等号当且仅当AB过焦点F时成 立。所以圆C的最小半径是a. 说明：因为过抛物线焦点的弦中，弦长最小的是通径（即过焦点且 与对称轴垂直的弦），由于通径长为，所以抛物线的定长弦的长度大于 等于时，本例的上述解法才成立，如果时，弦AB就不可能经过抛物线 的焦点，这时应该是当AB与轴垂直时，AB中点C到准线的距离最小。 设AB所在直线方程为，将它代入抛物线方程，得：， ，故点C到准线的距离为。所以这时圆C的最小半径为 例3、设是曲线上三点，求证：的垂心也在该曲线上。 分析：证垂心在曲线上，故只需求之值，而无需求、。 解：、。则从而知 同理， 故有， 并消去得： 2、 设而不求，整体运算 在某些解析几何问题中，灵活把握曲线方程的特点，采用设而不求、 整体代入、整体运算等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并 从中感到整体思维的和谐美。 例4、椭圆上有两点P、Q，是原点，若OP、OQ斜率之积为。（1） 求证：|OP|2+|OQ|2为定值。（2）求PQ的中点M的轨迹方程。 解：（1）设P、Q的两点坐标分别为、Q,P、Q分别在椭圆上，且， 得 （3）代入（4）得，（1）+（2）得 。 （2）设P、Q的中点M的坐标为M，则有， （1）+（2）+（3）得，。 即：，中点M的轨迹方程为 3、 充分运用图形几何性质，简化（或避免）计算 解析几何中，曲线或图形都具有某些特殊的几何性质，若能发掘并充 分运用这些几何性质，往往能简化运算或避免运算。 例5、已知圆，动圆与轴相切，又与圆外切，过作动圆的切线，求切 点的轨迹。 解：设动圆与轴切于点，动圆与定圆切于 点，切点在，故=，从而=，、共 线。由切割线定理，（9）。又在中，故 （10）。由（9）、（10），知。故的轨迹为圆 （） 图3 说明：该题解题过程简捷，运算量小，主要得益于 利用平几知识推导出 例6、已知是圆内的一定点，以为直角顶点作直角，、在圆上。求 的中点M的轨迹方程。 解：如图所示，设，连结在中，是的中点，。在中，。 点的轨迹方程为。 图4 说明：这里利用直角三角形斜边上的中线等于 斜边长的一半，因此有。从而不必进行复杂的运 算就可将问题解决。 在初中平面几何中详细介绍过直线与圆的位置 关系、圆与圆的位置关系以及圆的一些性质，所 以在解有关直线与圆、圆与圆的有关问题时更要 注意充分利用图形的几何性质，这样必将大大减 少运算量。 4、 用“降维法”减少计算量 变量的个数也称“维数”。确定直角坐标平面上的点只需两个量，因 而直角坐标平面称为二维空间；但确定直线上的点只需一个量，直线称 为一维空间。某些解析几何问题能通过投影等方法化为只与横坐标（或 纵坐标）有关的问题，这种把高维空间问题转化为低维空间的方法称为 降维法。 例7、已知；直线和曲线交于、两点，是这条直线上的点，且。求当 变化时，点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（85年上海考题） 解：设、在轴上的射影分别是、，这里是直线的倾斜 角，。，即，（此式只与有关）也就是（1）将代入得：（2），。将 它们代入（1），得（3）再将代入（3）以消去，即得轨迹方程。由于 方程（2）当且仅当0时有实根（即直线与二次曲线有交点），因此 。所以所求的轨迹是夹在两条平行直线和之间的椭圆的一部分，以 及点。 例8：如图，给出定点和直线，B是直线上的动点，的角平分线交AB 于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系。 解：设点C的坐标为，则AC的方程为：，于是B。由角平分线性质 知：。设C在轴上的射影为，于是AC与CB之比等于它们在轴上的射影 之比，即。又由于OB有。 点C的轨迹方程为：。（）当时，点C的轨迹为椭圆；（）当 时，点C的轨迹为抛物线（）当时，点C的轨迹为双曲线。 说明：将AC与CB之比转化为它们在轴上的射影之比，从而转化为 A、C、B三点横坐标有关的比值，是该例解题过程中能够减少运算量的 关键。 5、 利用韦达定理化繁为简 某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式 计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名 坐标为方程的根，由韦达定理求出两根间的关系或有关线段长度间的关 系。后者往往计算量小，解题过程简捷。 例9、一直线截双曲线和它的渐近线，证明夹在渐近线与双曲线间的 线段相等。（数学通报80年第6期） 分析：如图，要证夹在渐近线间的线段相等，即证，只要证，即 证：，于是只要证：AD的中点与BC的中点重合即可 证明：如图设双曲线方程为（），则它 的渐近线方程为设直线与双曲线的两支和它 的两条渐近线交于（从左到右）、。 由，消去得：。设其两根为、，依韦达定 理，有：。由，消去得：。 图5 设其两根为、，依韦达定理，有：。因此，即。由于， 。当直线 垂直于轴时结论显然成立。 说明：A、D两点是直线与双曲线的两交点，所以将直线方程与双曲 线联立，不解方程可以求出AD中点的坐标；而B、C两点是直线与双曲 线两渐近线的两交点，方程是两渐近线的合成，因此只要将直线方程与 两渐近线的合成方程联立，不解方程可以求出B、C中点的坐标，而不 必分别求直线与两条渐近线的交点。 例10、已知圆，及直线交于、，圆的动弦的中点在上，是否存在抛 物线，恒与直线相切。 解：连。令,则,。 图6 故。 （1）视（1）为的一元二次方程，点在直线上 0（2）。由（2）知直线上的点在抛物线的外 部区域（不含焦点的区域）或在抛物线上。 将的方程代入中得，。故存在抛物线恒与相切。 6、 换元引参，功于渗透 换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不 等式问题等换元引参，往往起到化难为易、事半功倍之效。在换元过程 中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或变 原题条件。 例11、已知椭圆，、是椭圆上的两点，线段的垂直一平分线与轴交于 点，证明（92高考题） 分析：要证的是不等差数列式，由此联想到正余弦函数的有界性， 联想到三角换元。 证明：、两点在椭圆上，设、，则 中点,又,故，的垂直平分线的方程为。点在直线上，其坐标满足上面的 方程， ，又，且。，又因，从而 7、 选用方程适当形式，减少运算量 例12、离心率为的圆锥曲线中，过焦点F的对称轴与相应准线交于， 过F的弦交曲线于M、N两点，过A而平行于MN的直线交曲线于B、C两 点。求证：（摘自数学通报） 解：设圆锥曲线的方程为：（1） MN的方程为：（为参数）（2）将（2）代入（1），有：，设AC的 方程为（为参数）（3）将（3）代入（1）有：，。 。 例13、过椭圆（）的中心O作互成角的三条半径、，求证：为定 值。 图7 解：椭圆的普通方程化为极坐标方程：。设 与轴所成的角为，由题意知、与轴分别成、的 角。 （定值）。 由例12、例13可见，方程形式的选择要适当（读者可对照数学通 报85年第3期第15页的解法）。一般地，涉及过定点的同一直线上的 线段的和、差、积等问题，用直线的参数方程较好；涉及过圆锥曲线的 焦点（或中心）的线段问题，曲线用极坐标方程为好。 八、巧用圆心，避免复杂运算 当我们需求解圆周上一动点到二次曲线上一动点距离的最值问题时，如 用“心”去解，则可避免复杂运算，达到化繁为简的效果。 例14、己知点P是椭圆上一动点，点Q是圆上一动点，试求|PQ|的最 大值。 P Q O Q x y O 图8 分析：如图8，当点、Q不共线时，因 此，要求|PQ|的最大值，就应该使达到最大， 即圆的圆心到椭圆上的动点P之间距离达到最 大，将该最大值加半径就得所求。 解：先求点到椭圆上任一点P的距离的最 大值。 设，于是, = 当时，取最大值，取最大值，于是。 说明：、若该题直接设、，则是一个含有与的二元最值问题，我们不易 对它作进一步的运算，因此不能直接计算。 、若我们从图形的特点出发，认为图8中（即圆与轴上方的交点）十 分特殊，它与椭圆上点P的距离，则会产生错误，所以在该题求解过 程中，没有利用价值。 、若在例题中增加求当达到最大值时，P、Q两点的坐标，则应先求P 点坐标。的延长线与圆的交点就是达到最大值时Q点的坐标。 、从本例题的求解过程中，可以发现圆心的作用十分突出。当我们 求解这类最值时，就应用“心”去解，才能避免复杂运算，化繁为简。 练习： 1、己知为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦AB。 （1）求证：的周长为常数（2）若的周长为16，椭圆离心率，求椭圆的 方程。 2、已知双曲线上的三点、的横坐标、成等差数列，求证：、到 焦点（右焦点）的距离也成等差数列。 x y O A B 图9 3、设A，B是抛物线上的点，且满足（是坐 标原点，见图9）。 求证：直线AB过定点，并求该定点的坐 标。 4、在中，在直线上移动，求外心的轨迹方程，并说明是什么图 形？ 图10 5、若抛物线上存在两点关于直线对称，求 的取值范围。 6、如图10，已知曲线，直线，、从左到 右的交点依次是、， （1） 求证：是定值； （2）为何值时，有最小值，最小值是多 少？ y x O Q R P 图11 7、如图11所示，己知椭圆，直线。P是 上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在 OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q 的轨迹方程。 8、己知：点P是椭圆上一动点，点Q是圆上一动点。试求的最小值。 9、己知：点P是抛物线上一动点，点Q是圆上一动点。试求|PQ|的最小 值，及达到最小值时P、Q的坐标。 练习解答： 1、（1）证明：由椭圆定义，得的周长=（常数） x y P3 P2 P3 O 图12 （2）解：由第（1）小题结论知：，。 又有，。 所求椭圆方程为。 2、证明：如图12,设点、到右准线的距离分 别为、，椭圆的离心率为，则由双曲线的第 二定义，得， 。， 。故、成等差数列 3、证：设，则，即。，。过，的直线AB：，AB：， , ,故直线AB恒过定点。 4、解：设为的外心，又，是等腰三角形，过作于，则，。 ，。 外心的轨迹为双曲线的左支。 上述解法利用了平几知识大大减少了运算量给人耳目一新之感。 5、解：如图13，设抛物线上两点关于直线对 称，AB中点为，显然。， x y O A B 图13 -， ， 中点在直线上，。，- 由、并根据韦达定理的逆定理知：是方程两相异实根，有，即， 整理得：。 6、解：本题涉及上的线段的和、差问题，的方程宜选用参数方程。 设（为参数）代入中得：，。代入中得：，。图中， （1）为定值。令，则。0。当时，有，从而。故的最小值为， 对应的的值为。 7、解：以直角坐标原点为极点，轴正方向为极轴，建立极坐标系， 则。于是椭圆的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：；由于，。 故Q点的极坐标方程为：，配方得：。这就是Q点的轨迹方程。 8、解：先求圆心到椭圆上一点距离的最小值。设，。当时，取最小 值。取最小值。故|PQ|最小值为。 9、解：设，圆心。 （当时）。|PQ|的最小值为。当时，即时，|PQ|达到最小值。 这时P点的坐标为或。 （）当P点的坐标为时，与P所连线段与圆相交于。 （）当P点的坐标为时，与P所连线段与圆相交于。 综合（）（）知：当|PQ|取最小值时，P、Q两点的坐标分别为P、 Q或P、Q。 例谈解析几何中减少运算量的几种策略 江苏省姜堰中学 张圣官（225500） 2004年上海高考数学第11题是：教材中“坐标平面上的直线”与“圆 锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质 是_。这是一道不需“解”而需“理解”的 问题，很有新意，要求学生能够从解析几何的内容中概括出“解析 法”，即“用代数方法研究几何的图形性质”这一本质。确实的，解析 几何就是在建立坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通 过代数运算处理几何问题的一门数学。但是，一味强调解析几何中的代 数运算有时会导致烦琐的过程，而如果在进行计算的同时综合考虑几何 因素的话，设计合理的运算途径，选择适当的数学方法，往往能够简化 运算过程获得优解。下面介绍几种解析几何中减少运算量的策略，供同 学们学习时参考。 一追根溯源，回归定义 定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派 生出来的。对某些圆锥曲线问题，若采用“回归定义”的策略，把定量的 计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属 性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的。因此，定义是解决问 题的原生力量，不可忽视定义在解题中的作用。 例1F是椭圆 的左焦点，过F且倾斜角为600的直线交椭圆与A、B两 点，若AF=2BF，则椭圆的离心率e=_。 B y x A M N F O Q 常规思路分析：直接计算，若设出直线AB方程，代入椭圆 进行消 元，消去x得到关于y的一元二次方程。利用韦达定理，将条件AF=2BF 转化为，求出有关a、b的关系式，从而得出椭圆的离心率e。然而其运 算将是一件非常烦琐的事情。 优解：作出椭圆的左准线，过A、B分别作左准线的垂线，垂足记为 M、N，根据条件AF=2BF设AF=2k,BF=k，则，过B作BQAM于Q， 则。在ABQ中，AB=3k，BAQ=600，因此，。 小结：以上解法采用“回归定义”的策略，简捷运算，是“数”与“形”有 机结合的典范。 例2坐标平面上一点P到点A（,0）,B(a,2)及到直线x=的距离都相 等。如果这样的点P恰好只有一个，那么实数a的值是（ ） A B C 或 D 或- 常规思路分析：设出点P的坐标(x,y)，根据其到点A（,0）,B(a,2) 及到直线x=的距离都相等列出关系式，然后由“这样的点P恰好只有一 个”逼出实数a的值。可是要真正实施起来运算量太大了，根本不可 行。从抛物线定义出发可得简解。 优解：平面上到点A（,0）及到直线x=的距离相等的点的轨迹是抛 物线y2=4x。本题实质上就是该抛物线上有且只有一个点到点 A（,0）,B(a,2)的距离相等，有两种情况：一是线段AB的垂直平分线与 抛物线相切，一是线段AB的垂直平分线与抛物线的对称轴平行。可得结 果实数a的值为或-。正确答案为（D）。 小结：获得题目所固有的本质属性，需要把定量的计算和定性的分 析有机地结合起来。 例3已知椭圆内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，M为椭圆上 一点， （1）求|MP|+2|MF|的最小值； （2）求|MP|+|MF|的最小值。 常规思路分析：如果设出M点的坐标，无论是设为(x,y)，还是都不 太好操作，太繁琐了！可以考虑运用定义。然而两小题中|MF|的系数一 个为2，一个为1，这就导致了所用知识的不同。注意到椭圆的离心率 为，则第（1）小题可运用椭圆的第二定义来解，而第（2）小题则需要 通过椭圆的第一定义求解。 优解：（1）椭圆的离心率为，右准线为L：x=4，过M作MNL于 N， 则|MP|+2|MF|=|MP|+|MF|=|MP|+|MN|（根据椭圆第二定义）， 当P、M、N三点共线时，即M（，-1）时， |MP|+2|MF|的最小值 为4-1=3。 （2）设椭圆左焦点为F1，则|MF|+|MF1|=4（椭圆第一定义）， 所以|MP|+|MF|=|MP|+4 -|MF1|=4 -（|MF1|-|MF|）， 当M在F1P延长线上时|MF1|-|MF|取最大值|F1P|=，此时|MF1|-|MF|取最 小值。 小结：椭圆两种定义的合理运用，使问题的解决方法得到了最优 化。 二平几渗透，数形结合 解析几何首先是几何问题。一味强调解析几何中的代数运算有时会导 致烦琐的过程，而如果在进行计算的同时综合考虑几何因素的话，即在 用代数方法研究曲线间关系的同时，充分利用好图形本身所具有的平面 几何性质，常可得简捷而优美的解法。 例4 已知A（3，0）是圆x2+y2=25内的一个定点，以A为直角顶点 作直角三角形ABC，且点B、C在圆上，试求BC中点M的轨迹方程。 常规思路分析：B、C都为圆x2+y2=25上的动点，可引进角参数，设 出B、C的坐标，然而这将导致繁复的运算。如果注意到由“垂径定 理”知OMBC（O为原点），那么再结合CAB=900， AM=BM=CM=BC，即可迅速解题。 优解：设M(x,y),连结OC，OM，MA， 则由“垂径定理”知，M为BC的中点 OMBC，OM2+MC2=OC2， 在直角ABC中，AM=BM=CM=BC， OM2+AM2=OC2，即x2+y2+(x-3)2+y2=25， M点的轨迹方程为x2+y2-3x-8=0 。 小结：“垂径定理”的使用，让我们在寻找M的坐标中的x与y的关系 时，跳过了两个动点B、C，而直达一个非常明确的结果OM2+AM2=OC2。 这大大减少了运算量。 例5 设直线L：3x+4y+m=0与圆C：x2+y2+x-2y=0相交于P、Q两 点，则当m为何值时，OPOQ？ 常规思路分析：基本思路是直线方程代入圆方程，消元后利用来求 m值。现借助于圆的几何性质可有如下巧解。 优解：如图，因为圆C：x2+y2+x-2y=0过原点O，则 POQ是圆C的圆周角，且为直角。根据“圆中900的圆周角所对的弦是 直径”可知PQ为圆C的直径，即直线3x+4y+m=0过圆心C（，1），代入 直线L方程得， 。 小结：将直线方程3x+4y+m=0代入圆方程，消元后利用来求m值，也 是切实可行的。而借助圆的几何性质来解题，则令人拍案叫绝！ 三巧用向量，辩证求解 解析几何与向量是高中数学新课程方案中两个重要的分支学科，数 形结合是这两个学科的共同特点。由于向量既能体现“形”的直观的位置 特征，又具有“数”的良好的运算性质，因此，向量是数形结合和转换的 桥梁。对于解析几何中图形的重要位置关系（如平行、垂直、相交、三 点共线等）和数量关系（如距离、角等），向量都能通过其坐标运算来 进行刻划，这就为在解析几何解题中充分运用向量方法创造了条件。 例6已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，求 证：两条对角线互相垂直。 常规思路分析：这是高中数学（必修本）第二册（上）第88页中的 一道习题。其解析法证明：如图，建立坐标系，设四边形的四个顶点为 A（a，0）、B（b，c）、C(0，d)、D(e，0)， |AD|2+|BC|2=|AB|2+|DC|2，（ae）2+(cd) 2+b2=(ba) 2+c2+d2+e2， 化简得，abae=ad，即cd=a(be) 可假定a0，be0（因为如果a=0或be=0，有c=0或d=0，与 四边形ABCD矛盾），将式两边同除以a(be)得，就是KBDKAC= 1，ACBD。 优解：（向量法）设以O为起点，A、B、C、D为终点的向量分别 记为、，则， 可得，即 ，。 小结：向量证法一气呵成，对称、和谐、统一，给人以美的享受， 由证明过程可以发现其逆命题亦为真，并且结论立即可以推广到空间四 边形中。原因在于向量法显现了问题的内在本质。 例7（1995年全国高考题）已知椭圆，直线：=1。P是上一点，射 线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|=|OR|2。当点P在上 移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 常规思路分析：设P、R、Q的坐标分别为(xP,yP)、(xR,yR)、(x,y)， 则，=1（2），。然后消去xP、yP、xR、yR，得关于x、y的方程。 现注意到OPQR共线，可有如下向量解法。 优解：设 、同向，且|OQ|OP|=|OR|2 ， 代入l方程，得 同理，、同向， 代入椭圆方程，得 比较、 得 （x、y不全为0）， Q点轨迹为椭圆（去除原点）。 小结：用向量法解题，避免了繁琐的运算，并且得出了Q点轨迹方 程恰为这一非常奇妙的结论。事实上，这一结论还可推广到其它椭圆或 双曲线。 例8设G、M分别是三角形ABC的重心和外心，A（-1，0）、B（1， 0），且。 (1)求点C的轨迹E的方程； (2)已知点D，是否存在直线L，使L过点（0，1）并与曲线E交于P、Q 两点，且PDQ为锐角或直角。若存在，求出直线L的斜率k的取值范 围；若不存在，说明理由。 常规思路分析：设点C(x,y)，由条件求其轨迹。第（2）问先设直 线L代入轨迹E的方程，将PDQ为锐角或直角与韦达定理结合，利 用“到角公式”可得直线L的斜率k的取值范围。不过以下将条件“PDQ 为锐角”转化为更为简捷。 优解： (1)设C(x,y)，则G()，M()，AC中点F， 由， 所以点C轨迹E的方程为：3x2+y2=3(y0) 。 （2）将直线L的方程y=kx+1代入曲线E的方程得， (k2+3)x2+2kx- 2=0， 设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则， 依题意，PDQ为锐角或直角，即， 所以， 整理得，所以 。 但是，当k= -1时，直线L恰过点A（-1，0）而A不在E上，故舍 去， 因此，符合条件的直线L存在，所求斜率k的范围为 。 小结：向量与解析几何的结合，将传统知识与新课程内容组合，是 目