高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布课件 湘教版.ppt

11.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理11.2排列与组合11.3二项式定理11.4随机事件的概率11.5古典概型、几何概率11.6离散型随机变量及其分布列11.7二项分布及其应用11.8离散型随机变量的均值与方差11.9正态分布,第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布,知识点,考纲下载,两个原理,1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题,排列组合,1.理解排列、组合的概念2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公3.能解决简单的实际问题,二项式定理,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.,随机事件的概率,1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.理解随机事件的关系与运算.3.理解两个互斥事件的概率加法公式.,古典概型与几何概型,1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.4.初步体会几何概型的意义.,离散型随机变量及其分布列、期望与方差,1.掌握取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性.2.了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.,二项分布及其应用,了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题,正态分布,利用实际问题的直方图，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.,11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理,1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有N_种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法,mn,mn,1从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A24B18C12D6【解析】分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有32212（个）奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3216（个）奇数根据分类加法计数原理，知共有12618（个）奇数【答案】B,2正五棱柱中，不同在任一侧面且不同在任一底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A20B15C12D10【解析】如图，在正五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1、AD1.同理从B、C、D、E点出发的对角线也都有两条，故一共2510（条）【答案】D,3.设东西南北四面通往某山顶的路分别有k、l、m、n条（klmn），要使从某一面上山，再从任意方向下山的走法最多应为()A.从东面上山B.从西面上山C.从南面上山D.从北面上山,解析:分别从东西南北方向上山，再从任意方向下山，有k(lmn)、l(kmn)、m(kln)、n(klm)种走法.由klyx，所以x1/2，故图中阴影部分符合构成三角形的条件因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的，故这三条线段能构成三角形的概率为.,与定积分相结合的古典概型,2概率的一般加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)公式使用中要注意：(1)公式的作用是求AB的概率，当AB时，A、B互斥，此时P(AB)0，P(AB)P(A)P(B)；(2)要计算P(AB)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件AB，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一,3应用几何概型注意的问题(1)对于一个具体问题能否应用几何概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域(2)由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关,古典概型与几何概型是概率知识的基础，近两年的高考试题中，古典概型一般与抽样方法、统计等内容结合出现在解答题中，几何概型与函数、方程、不等式等联系多出现在客观题中古典概型是高考的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计或随机变量的分布列一起考查，属容易或中档题以考查基本概念、基本运算为主,【规范解答】(1)X的所有可能取值为2，1，0，1.,【阅后报告】(1)为了列举各种结果，把向量终点A1，A2，A3，A4，A5，A6的坐标写出来，分别计算数量积，再分类整理，写在卷面上，可使解题过程规范，条理清晰(2)“不去唱歌”，即“X0”的事件数较多，故利用对立事件的来求,1（2014广东卷）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为【解析】本题主要考查古典概型概率的计算，注意中位数的求法从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C710种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5中选三个，从7，8，9中选三个不同的数即可，有C36C33种方法故这七个数的中位数是6的概率.【答案】,2（2014福建卷）如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为,【解析】因为函数ylnx的图象与函数yex的图象关于正方形的对角线所在直线yx对称，则图中的两块阴影部分的面积为故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率【答案】2/,4（2014天津卷）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望,【解析】(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为49/60.(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.,课时作业,11.6离散型随机变量及其分布列,1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母_表示所有取值可以_的随机变量称为离散型随机变量,2离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表,称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式_表示X的分布列,3常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布像,这样的分布列叫做两点分布列如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从_分布，而称_为成功概率,1p,两点,pP(X1),为超几何分布列如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布,1袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()A25B10C7D6,答案：C,2若P(x2)1，P(x1)1，其中x1x2，则P(x1x2)等于（）A(1)(1)B1()C1(1)D1(1),【解析】由分布列性质可有：P(x1x2)P(x2)P(x1)1(1)(1)11()【答案】B,设离散型随机变量X的分布列为,求随机变量Y|X1|的分布列,【解析】由分布列的性质，知020.10.10.3m1，m0.3.列表,P(Y1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(Y0)P(X1)0.1，P(Y2)P（X=3）=0.3，P(Y3)=P（X=4）0.3.因此Y|X1|的分布列为：,【变式训练】1.(1)随机变量X的分布列如下,其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1).,(2)设随机变量的分布列为P(k/5)ak(k1,2,3,4,5)，则常数a的值为，P(3/5).,(2)由题意可得a2a3a4a5a1，a1/15，.【答案】(1)(2),离散型随机变量的分布列,超几何分布列,对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数,2014哈尔滨调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物根据现行国家标准GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：,(,(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列,【解析】(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则.,(2)依据条件，X服从超几何分布，其中N10，M3，n3，且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.，因此X的分布列为,【变式训练】3.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1分现从盒内任取3个球(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列,【解析】(1).(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则,(3)可能的取值为0,1,2,3，服从超几何分布，.故；.的分布列为：,1对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率2求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列、组合和概率知识求出取各个值的概率3分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的，每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率,从近两年的高考试题来看，离散型随机变量的分布列是考查的热点，题型为解答题，分值为12分左右，属中档题，分布列常与排列组合、概率、均值与方差等知识结合考查，以考查基本知识，基本概念为主,(2013全国新课标卷)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品以X(单位：t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润,(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100,110)则取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求T的数学期望,【规范解答】(1)当X100,130)时，T500X300(130X)800X39000，当X130,150时，T50013065000.所以,(2)由(1)知利润T不少于57000元，当且仅当120X150.由直方图知需求量X120,150的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为,所以ET450000.1530000.2610000.3650000.459400.,【阅后报告】（1）本题考查了统计、概率及函数的知识，考查了学生运用统计、函数和数学期望解决实际问题的能力，求解中运用分类讨论的思想.（2）在离散型随机变量及其分布列有关的问题中，应用分类讨论思想常见的题目类型：根据随机变量的不同取值，进行分类讨论求其概率值；求概率时，可依据题设中的限制条件，进行分类讨论求解；像“至少”“至多”等问题，往往要进行分类讨论求解.,1（2014江西卷）10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是【解析】由超几何分布的概率公式可得P(恰好取到一件次品)【答案】1/2,2（2014安徽卷）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为2/3，乙获胜的概率为1/3，各局比赛结果相互独立(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望),【解析】用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)23，P(Bk)13，k1，2，3，4，5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4).,3（2014福建卷）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(i)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由,【解析】(1)设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意，得即顾客所获的奖励额为60元的概率为12，(ii)依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X60)12，即X的分布列为,E(X)200.5600.540(元),(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元所以，先寻找期望为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.,对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X1的期望为，X1的方差为,对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2的期望为X2的方差为由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.,课时作业,11.7二项分布及其应用,P(A1)P(A2)P(A3)P(An),答案：B,4某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为.【解析】依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P10.20.80.80.128.【答案】0.128,5从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A).【解析】，【答案】,条件概率,相互独立事件的概率,(1)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；(2)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X(元)，求随机变量X的分布列,所以，随机变量X的分布列为,1独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的,2二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的(2)各次试验中的事件是相互独立的(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数,从近两年的高考试题来看，相互独立事件的概率、n次独立重复试验的概率是考查的热点，题型为解答题，属中档题，主要考查对基本知识的应用及运算能力,(3)随机变量可能的取值为0,1,2,3.故的分布列为,即的数学期望为1.,【阅后报告】(1)独立重复试验的特点：每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生；任何一次试验中事件发生的概率都是一样的(2)二项分布满足的条件：每次试验中，事件发生的概率是相同的；各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数,1.（2014全国新课标卷）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A0.8B0.75C0.6D0.45【解析】设“第一天空气质量为优良”为事件A，“第二天空气质量为优良”为事件B，则P(A)0.75，P(AB)0.6，由题知要求的是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，根据条件概率公式得P(B|A)P（AB）/P（A）0.6/0.750.8.【答案】A,3.（2014山东卷）乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图所示，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为1/2，在D上的概率为1/3；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为1/5，在D上的概率为3/5.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望,4（2014辽宁卷）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X),课时作业,11.8离散型随机变量的均值与方差,1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为,(1)均值称E(X)_为随机变量X的均值或_，它反映了离散型随机变量取值的_,平均偏离程度,2均值与方差的性质(1)E(aXb)_.(2)D(aXb)_(a，b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)_，D(X)_(2)若XB(n，p)，则E(X)_，D(X)_,2已知随机变量的分布列为,若E()15/8，则D()等于（）,A.33/64B.55/64C.7/32D.9/32,【解析】由分布列的性质得xy0.5，又E()15/8，所以12+2x3y15/8，解得x1/8，y3/8.所以D()【答案】B,3已知随机变量服从二项分布，即B(n，p)，且E()7，D()6，则p等于（）A.B.C.D.,【解析】根据服从二项分布的随机变量期望和方差的计算公式，可得np7，np(1p)6，解之得p，故选A.【答案】A,答案：1.51.4775,离散型随机变量的数学期望,离散型随机变量的方差,【变式训练】2.A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的概率分布分别为,(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差V(Y1)，V(Y2)；(2)将x(0x100)万元投资A项目，100x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值.,【解析】(1)由题设可知Y1和Y2的概率分布为,E(Y1)50.8100.26，V(Y1)(56)20.8(106)20.24，E(Y2)20.280.5120.38，V(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.,(2)当且仅当x600/(24)75时，f(x)3为最小值.,离散型随机变量分布列综合问题,1.离散型随机变量的均值（1）均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.（2）E（X）是一个实数，由X的分布列唯一确定，它描述X取值的平均状态.（3）教材中给出的E（aX+b）=aE(X)+b,说明随机变量X的线性函数Y=aX+b的均值等于随机变量X均值的线性函数.,从近两年的高考试题来看，离散型随机变量的均值与方差是高考的热点，题型为填空题或解答题，属中档题.常与排列组合、概率等知识综合命题，既考查基本概念，又注重考查基本运算能力和逻辑推理、理解能力.,(2013浙江卷)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E()5/3，D()5/9，求abc.,【规范解答】(1)由题意得2,3,4,5,6.所以的分布列为,(2)由题意知的分布列为所以E()，D()化简得2ab4c0，a4b11c0，解得a3c，b2c，故abc321.,【阅后报告】（1）D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，