高等数学微积分上复习题及答案.pdf

高等数学第一高等数学第一学期复习学期复习 一一、选择题、选择题 (每小题每小题 2 分分) 1. 函数 1 0 ( )ln01 1 1 1 x ex f xxx x x = ,当( C )时无穷大量. (A) x (B) x + (C) 0 x (D) 1x 2. 下列函数中,在, 上满足罗尔定理的条件是( C ). (A) 2 1 ( )f x x = (B) ( )sinf xx= (C) ( )cosf xx= (D) ( )cosf xxx= 3. 曲线 2 1 2 2 arctan (1)(2) x xx ye xx = + 有( B )条渐近线. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 4. 若( )f x为奇函数, ( )g x为偶函数,则( B )为奇函数. (A) ( )f g x (B) ( )ff x (C) ( )g f x (D) ( )g g x 5. 函数( )f x在( , )a b内连续,则( C )也在( , )a b内连续. (A) 1 ( )f x (B) ln( )f x (C) 2 3 ( )fx (D) arcsin( )f x 6. 若()( )()fxf xx= (C) ( )0,( )0fxfx,且 0 ()0fx=,则( )f x 在 0 x处( A ). (A) 取极大值 (B) 取极小值 (C) 不一定取到极值 (D) 一定不取到极值 8. 函数( C )的需求价格弹性 EQ Ep 与价格无关. EQP Q EpQ = (A) Qabp= (B) 2 Qabpcp= (C) A a Qp= (D) A Q pa = + 9.下列不等式中,( B )成立. (A) 2 11 lnln ee xdxxdx (B) 22 2 lnln ee ee xdxxdx (C) 32 11 x dxx dx + (D) 22 43 11 x dxx dx 10.下列广义积分收敛的是( D ). (A) ln e x dx x + (B) ln e dx xx + (C) ln e dx xx + (D) 2 ln e dx xx + 11、 x lim 2 22 )sin( 1cos xx xx + + ( B ) （A）0 （B）1 （C）不存在 （D） 12、函数)(xf= = 12 1 1 1 2 x x x x 在点 x = 1 处 ( A ) （A）不连续 （B）连续但不可导 （C）可导但导数不连续 （D）可导且导数连续 13、=+dyexye y 所确定的隐函数的微分由方程0( C )。 （A）dx ey x x + （B）dx ex y y + （C）dx ex y y + （D）dx ex y y + 1 14、设函数)(xf二阶可导且处处满足方程 0)(2)(3)( 2 =+ xfexfxf x ，若 0 x是该函数的一个驻点且)( 0 xf 0 时, 曲线 x xy 1 sin= ( A )。 （A）仅有水平渐近线 （B）仅有铅直渐近线 （C）既有水平还有铅直渐近线 （D）既没有水平也没有铅直渐近线 17、设)(xf是 x 2 sin 的一个原函数，则 )( 2 xdf= ( A )。 （A）dxxx 22 sin2 （B）dxx4sin （C）dxxx 2 sin2 （D） 22 sindxx 18、)(cos) 1 cos 1 ( 2 xd x = ( D ) （A）cxx+tan （B）cxx+costan （C）cx x + cos 1 （D）cx x +cos cos 1 19、设)(xf单调可导，)(xg是)(xf的反函数，则 )( 1 sin )( xf tdt t tg dx d = ( C )。 （A）)()(sin( )( xfxf x xf （B）)(sin( )( xf xf x （C）)()(sin( )( xfxf xf x （D）)(sin )( xf x xf x 20、下列广义积分收敛的是 ( C )。 （A） + e dx x xln （B） + e dx xxln 1 （C） + e dx xx 2 ln 1 （D） + e dx xx ln 1 21、若当x时 1 1 1 2 +xcbxax ，则 a、b、c 的值一定是( B )。 （A）a0，b1，c1 （B）a0，b1，c 任意 （C）a0，b、c 任意 （D）a、b、c 都任意 22、设)(xf = = 00 0 1 2 x x x e x , 则 )0( f = ( D )。 （A）0 （B） 2 1 （C）1 （D）1 23、设)(xf是可导函数, 则 ( A ) （A）若)(xf为奇函数, 则)(x f 为偶函数 （B）若)(xf为奇函数, 则)(x f 亦为奇函数 （C）若)(xf为单调函数, 则)(x f 亦为单调函数 （D）若)(xf为非负函数, 则)(x f 亦为非负函数 24、设)( xfy= 可导，则 y ( D )。 （A）)(x f （B）)(x f （C）)( xf （D）)( xf 25、)( 0 x f = 0 且 )( 0 x f 0 是 )(xfy = 在点 0 x 处有极值的( B )条件。 （A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）无关 26、若点（1, 3）是曲线 23 bxaxy+=上的拐点，则 a, b 分别为 ( B )。 （A）3/2，9/2 （B）3/2，9/2 （C）3/2，9/2 （D）3/2，9/2 27、已知 )(xF 是 )(xf 的原函数, 则 + x a dtatf)(=( C )。 （A）)()(aFxF （B）)2()(aFatF+ （C）)2()(aFaxF+ （D）)()(aFtF 28、设+=)(,)( 22 xfcexdxxf x 则 = ( D ) 。 （A） x xe22 （B） x ex 22 2 （C）)2( 2 xxe x + （D）)1 (2 2 xxe x + 29、设 )(xf 连续且不等于零, 若 +=cxdxxxfarcsin)(, 则 )(xf dx = ( D )。 （A）Cx+ 2/32) 1 ( 3 2 （B）Cx+ 2/32) 1 ( 3 1 （C）Cx+ 2/32) 1 ( 3 2 （D）Cx+ 2/32) 1 ( 3 1 30、当 ( C ) 时，广义积分 0 dxe kx 收敛。 （A）k0 （B）k0 （C）k (B) 至少存在一点,使得( )0f (C) 任一点处,总有( )0f= (D) 任一点处,总有( )0f 35. 设(0)0,f= 2 0 ( ) lim1 x f x x = ,则函数( )f x在0 x =处( B ). (A) 可导,且(0)0 f (B) 取得极大值 (C) 取得极小值 (D) 不可导 36.设( )f x是(,) +上奇函数，且对任意实数x有：(2)( )(2)f xf xf+=成 立, 则当( )f x是以 2 为周期的周期函数时,必有(1)f= ( B ). (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 37. 32 yaxbxcxd=+在同一x处有一拐点和一水平切线,则, ,a b c应满足关 系式为( C ). (A) ac= (B) 0abc+= (C) 2 30bac= (D) 2 40bac= 38. (1ln ) x xx dx+= ( B ). (A) 1 1 ln 1 x xxC x + + + (B) x xC+ (C) lnxxC+ (D) 1 ln 2 x xxC+ 39. 111 lim() 12 n nnnn += + ( A ). (A) ln2 (B) e (C) 0 (D) 1 40. 设 sin 0 ( ) 0 x x f xx kx = = 的定积分 1 0 ( )f x dx ( C ). (A) 不存在 (B) 存在且与k有关 (C) 存在且与k无关 (D) , ,A B C都不对 41. 设 10 ( ) 10 xx g x xx = + ， 2 0 ( ) 0 xx f x xx = ，则( )g f x=( B ). (A) 2 10 10 xx xx + (B) 2 10 10 xx xx + + (C) 2 10 10 xx xx =+ ，则( D ). （提示：Lagrange 定理） (A) 1 21 T N (B) 1 21 T N (D) 1 2 T N ，则( )ln x f xxk e =+在(0,)+内零点的个数是( C ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 46. 设 1 ( )ln( ) e f xxf t dt=+，则( )f x=( C ). (A) ln(1)xe+ (B) ln xC+ (C为任意常数) (C) 1 ln 2 x e + (D) ln x 47. 设 sin 2 0 ( )sin x f xt dt=，( )tang xxx=，则当0 x 时( A ). (A) ( ) ( )f xg x (B) ( )( ( )f xO g x=但( )f x不等价于( )g x (C) ( )( ( )f xO g x= (D) ( )( ( )g xO f x= 48. 设 2 cos0 ( ) 20 xx f x xx = ，则 4 0 (1)f xdx= ( A ). (A) sin1 3 (B) sin1 3 (C) sin1 3+ (D) sin1 15+ 49. 下列广义积分发散的是( C ). (A) 2 1 (1)(3) dx xx (B) 0 100 x edx (C) 2 ln dx xx + (D) 1 0 lnxxdx 二、二、填空题填空题 (每小题每小题 2 分分) 1. 已知(1)21 x f ex+=, 则( )2ln(1) 1f xx=, 其定义域是(1,)+ 2. 3 cos lim0 1 x xx x = + 3. 设 2 ( )cos 2f xx=, 则(2 )2sin8fxx= 4. 设)(xf可导，)(cos)(sin 2 xfxfy+=， 则 dx dy 2 (sin )cos(cos)2cos sinfxxfxxx 5.设)()( 0 2 12 += xdtexf xt , 则(1)( )f x的奇偶性为奇函数. (2)( )f x 的单调性为单调上升. (3) ( )f x的图像之凹向是 6. 设 2 ( ) x x dxeC f x =+ (C为任意常数), 则 21 ( ) 2 x f xe= 7. 已知 2 (1) x fxe=,且 1 ( 1) 2 f =, 则 22 1 ( ) 2 x f xe + = 8. 已知 ( )f x 的一个原函数是 sin2x, 则 4 0 (2 )2fx dx = 9. 在 sin5x 的麦克劳林展开式中 3 x 前的系数是 3 5 3! 10. 设 0 ( )( )() x F xf txt dt= , 则( )( )Fxf x= 11. 设 34 ()fx dxxxC=+ , 则 2 ( )2f xxxC=+ 12. 假设当0x时 3 1 2) 1 (ax+11cosx，则 =a 3 2 13. 已知 3 1 () d f x dxx = , 则 1 ( ) 3 fx x = 14. 已知 0 (2 ) lim3 x fx x =, 则 0 2 lim (3 )9 x x fx = 15. 5030 80 80 (32) (35)3 lim( ) (811)8 x xx x + = 16. 已知 2 12 ( )02 12 xx f xx xx + , 则 1 lim( )3 x ff x = 17. 若+=cxdxxxfarcsin)(, 则 2 1 1 ( ) xx f x = 18. 2 0 3 0 sin 1 3 lim x x t dt x = 19. 函数 lim0 ( ) 1 sin0 n n n x x f x x xx = + , 仅有一个间断点是1x = 20. 设( )sincos2 2 x f xx=+,则 (27)( ) 0f= 21. 设2)( 0 = x f，则 = + h hxfhxf h )()( lim 00 0 4 22. 设 2 2 0 ( ) x t f xedt =, 则 4 0 ()() lim4 x a f xaf xa xe a + = 23. 设 2 ( )max( ,)f xx x=,在区间(0,2)内 101 ( ) 212 x fx xx = ， 21 ( ) 21 x g x x = ，则( )2g f x= 38. 由曲线 2 ) 1(1=xy 与直线 xy = 所围平面图形绕 y 轴旋转一周得到的 旋 转 体 的 体 积 V 的 积 分 表 达 式 为 11 222 00 (11)y dyydy （不必计算） 。 39. 设( )f x是连续函数，且lim( )1 x f x + =，则 2 3 lim(sin ) ( )6 x xx tf t dt t + + = （利用 积分中值定理即可） 40.设( )f x是连续函数， 2 0 ()1 x x f tx dte=+ ，则 2 ( )2 x f xxe=（令 txu=） 42. () 1 lim 201020112012 nnn n n +=2012 三、计算题三、计算题 (每小题每小题 10 分分) 1. 计算 2 0 coscos1 lim sin4 x xx x = . 2. 24 ln(cos1 cos)yxx=+, 求 4 sin2 1 cos x dydx x = + . 3. 设 2 2 0 2 (1 cos )0 ( )10 1 cos0 x xx x f xx t dtx x , 讨论( )f x在0 x =点的连续性和可导性： 连续且可导. 4. 求不定积分 1 2 (1) (1) x x x xe dxxde e = + + . 分部积分 5. 计算定积分 2 2 2 2 8 cos (cos ) 23 x xx dx += . 6. 设 2 1 ( ) x t f xedt =, 求 1 0 ( )f x dx x . ( 1 0 ( ) (2)f x dx=分部积分) 7. 若 2 2 sin 00 1 lim1 sin x t x t dt xx e + = , 求,. 1,ln2= 8. 设 11 0 1 ( ) 1 0 2 x x xe f x x = = , 讨论0 x =点的连续性和可导性. 连续且可导 9. 0= + xye yx ，求 dx dy x y x y ye ex + + = 10. 设 2 3 1 ( )01 00 x ax f xxx x = 求 2 2 00 ( )301 2ln1 x x fxxx aax ，由0sin1)( =xaxf， 得到)(xf在)2 , 0(内的驻点为 0 1 arcsin(0,) 2 x a =或 0 (, ) 2 x 。 又因为( )cosfxax= ，所以 0 ()0fx。 从而( )f x 在 0 x取得极小值 0，即 00000 ()cos0cosfxxaxxax=+=； ( )f x在 0 1 arcsinx a =取得极大值 0，极大值为 000 ()cosf xxx=+=。 20 求极限 0 1cos1 lim 2(1 cos) x x xx + = . 21. 设 1 2 0 1 ( )( )2 1 x xef x dxf x x += + ， 求 1 0 )(dxxf 两边取定积分后得： 1 8 = 22. 111 11 ( )( )(0) xa axx yxaxa ax =+，求 y . 1 11 1 1 222 111111 ( ) ln( )()ln ()(1 ln ) x xa ax x xaaax aaaxxxx =+ 23. 设D1是由曲线 2 2xy =、ax =、2=x及0=y所围平面区域；D2 是由曲线 2 2xy =、0=y、ax = 所围平面区域（20时 ln(1) 1 x xx x ),并求这条切线与x轴 及直线4y =的交点；切线： 2 111 (4)2 ()yxx xx= ，与 x 轴交点： 2 1 1 4 ,0 2 x x + ，与 4y = 交点： 1 ,4 2 x (3) 如果(2)中P点处切线与曲线及x轴和4y =所围图形面积最小，则P点应 在何处？面积 2 1 1 4216 3 x S x + =，P点 ( 2,2) 33设曲线 )0(),4( 2 =axay，过此曲线与 x 轴交点 )0, 2(及 )0, 2( 作曲线的两条法线， 求曲线与这两条法线所围成的平面图形面积的最小值 34求 6 lim3() 6 x tg x tgx （换元： 6 xt =） 35. 设 1 1 =x， n n x x + = + 1 1 2 1 ，,.2 , 1=n，求证：数列 n x 的极限 存在并求其极限 15 2 + =（数列单调上升、有上界 2） 36求 a，b 使得函数 212 2 ( )lim 1 n n n xaxbx f x x = + 是连续的 37设 222 2 xba x y =，求 )(n y 先用综合除法 38设 2 lim( 221)0 x xxaxb + + =，试确定 ba,之值 （分子有理化） 39求 8 (5) dx x x + （= 88 8 (5) 5 (5) xx dx x x + + ） 40. 设 ：设 00 (0,1) |()|xf xM= （1） 0 1 0 2 x：由 L. 定理 0 00 |()(0)| |( )| |1/ 2 f xfMM f xx = （2） 0 1 1 2 x：类似 2. 设( )f x在01 ，上连续, 且 1 0 ( )0f x dx = ，证明至少存在一点0,1，使 (1)( )ff= 因为 11 00 0( )(1)f x dxft dt= （令 1xt= ） 所以 1 0 ( ) (1)0f xfx dx+= ，再由积分中值定理即可 3. 设 2 0 ( )(2 ) x t F xxt edt = ，证明：(1) ( )F x是偶函数；(2) ( )F x在(0,)+上 是增函数. 4. 函数( )f x在0,1上有定义，且单调不增，证明对任何(0,1)a有 1 00 ( )( ) a f x dxaf x dx . （令 = 1 0 0 )( )( )(dxxf a dxxf xF a ，则由积分中值定理可得 0)( xF） 5用极限定义证明： 2 1 32 1 lim 2 2 = + + nn n n 6设 2 sin) 1 1 ( n n xn +=，证明：数列 n x 没有极限 子列 2 4 00 k x=， 2 (41) 1 11 41 k x k + = + + 7用极限定义证明： 0 2 1 lim 1 = x x x 8 设 0x 且 10xf ，求证：)(2)()(afhafhaf+， )0( h （将 ()f ah+，()f ah 分别在 xa= 处作展开） 15设 )(xf 在 ,ba 连续且)()(bfaf=，)( xf在 ),(ba 内存在且 0)( + af，)( xf在 ),(ba 内存在，