《新学案》2015年春高中数学苏教版必修一名师导学：第二章-函数(含解析).doc

第2章函数第1课时函数的概念和图象(1) 教学过程一、 问题情境在现实生活中,我们可能会遇到下列问题:1. 估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国19491999年人口数据资料如下表所示,你能根据该表说出我国人口的变化情况吗?年份194919541959196419691974人口数/百万542603672705807909年份19791984198919941999人口数/百万97510351107117712462. 一物体从静止开始下落,下落的距离y(单位:m)与下落时间x(单位:s)之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2s,你能求出它下落的距离吗?3. 图1为某市一天24小时内的气温变化图.(图1)(1) 上午6时的气温约是多少?全天的最高气温、最低气温分别是多少?(2) 在什么时刻,气温为0?(3) 在什么时段内,气温在0以上?二、 数学建构(一) 生成概念问题1用怎样的模型来刻画上述问题中两个变量之间的关系?问题2如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点?(每一个问题都涉及两个非空数集A, B;存在某个对应法则,对于A中任意元素x,在B中总有一个元素与之对应)函数的定义:设A, B是两个非空数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,记为y=f(x), xA.其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,所有的输出值y组成的集合叫做函数y=f(x)的值域.(二) 理解概念1. 集合A和集合B都是非空数集.2. 对应法则的方向是从A到B.3. “每一个”:对于集合A中的每一个元素,集合B中都有元素和它对应;“唯一”:对于集合A中的每一个元素,集合B中都是唯一的元素和它对应.4. 函数是从一个非空数集到另一个非空数集的单值对应.5. f(x)是一个抽象的符号,是对函数概念的深化,可以理解成对应法则f对自变量x的作用.(三) 巩固概念问题3函数的构成要素是什么?(三要素:定义域、值域、对应法则)三、 数学运用【例1】(教材P25例1)判断下列对应是否为函数:(1) x, x0, xR;(2) xy,这里y2=x, xN, yR.(见学生用书课堂本P1112)处理建议首先要弄清楚怎样判定一个对应是否是函数;注意函数定义中的“非空”、“每一个”和“唯一”等词.规范板书解(1) 对于任意一个非零实数x, 被x唯一确定,所以当x0时x是函数,这个函数也可以表示为f(x)=(x0). (2) 考虑输入值为4,即当x=4时输出值y由y2=4给出,得y=2和y=-2.这里一个输入值和两个输出值对应(不是单值对应),所以xy(y2=x)不是函数.题后反思解本题的关键是抓住函数的定义,在定义的基础上输入一些数字进行验证,当不是函数时,只要列举出集合A中的一个x即可.变式判断下列对应是否为从A到B的函数:A=B=N*,对任意的xA, x|x-3|.规范板书解考虑输入值为3时,即当x=3时输出值y由y=|x-3|给出,得y=0.这里一个输入值没有输出值与之对应,所以x|x-3|(y=|x-3|)不是函数.【例2】求下列函数的定义域:(1) f(x)=;(2) g(x)=.(见学生用书课堂本P12)处理建议求函数y=f(x)的定义域时通常有以下几种情况: 如果f(x)是整式,那么函数的定义域是R; 如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合; 如果f(x)为二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合; 如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各个部分的式子都有意义的实数的集合.规范板书解(1) 当2x-10时,即x时,在实数范围内有意义;当2x-10时,即x时,在实数范围内没有意义.因此,这个函数的定义域是.(2) 当2x+10时,即x-时,有意义;当2x+1=0时,即x=-时,没有意义.因此,这个函数的定义域是.题后反思函数定义域的求解关键在于根据函数解析式的特点列出不等式组.变式求下列函数的定义域:(1) f(x)=;(2) f(x)=-1;(3) f(x)=+.规范板书解(1) 由题意可得解得 这个函数的定义域是(-4, -2)(-2, +).(2) 由题意可得解得-3x1. 这个函数的定义域是-3, 1.(3) 由题意可得解得x -1且x3. 这个函数的定义域是-1, 3)(3, +).【例3】试判断下列各组函数是否表示同一函数:(1) f(x)=, g(x)=;(2) f(x)=, g(x)=(见学生用书课堂本P12)处理建议对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.若定义域、值域、对应法则有一个不相同时,则y=f(x)和y=g(x)就不是同一函数.规范板书解(1) 因为f(x)=|x|, g(x)=x,所以它们不是同一函数.(2) 因为函数f(x)=的定义域为(-, 0)(0, +),而函数g(x)=的定义域为R,所以它们不是同一函数.题后反思若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然.变式试判断函数f(x)=x2-2x-1和g(t)=t2-2t-1是否表示同一函数.规范板书解这两个函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.题后反思该变式易错判断成它们是不同的函数,原因在于对函数的概念理解不透.要知道,在函数的定义域及对应法则f不变的条件下,自变量变换字母,甚至变换成其他字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如f(x)=x2+1, f(t)=t2+1, f(u+1)=(u+1)2+1都可视为同一函数.*【例4】求下列函数的值域:(1) f(x)=(x-2)2+3, x-1, 0, 1, 2, 3;(2) f(x)=(x-2)2+3.处理建议引导学生从定义域的不同进行分析.规范板书解(1) 函数f(x)的定义域为-1, 0, 1, 2, 3, 函数f(x)的值域为3, 4, 7, 12.(2) 函数f(x)的定义域为R,(x-2)2+33, 函数f(x)的值域为3, +).题后反思对应法则相同的函数,不一定是同一函数.变式函数y=与y=3x是不是同一个函数?为什么?规范板书解它们不是同一函数,因为这两个函数的定义域不同.四、 课堂练习1. 已知集合A=x|0x6, B=y|0y3,给定下列从A到B的三个对应: xy=x ; xy=x; xy=x.其中是函数的对应为.(填序号)提示利用函数的定义可得.2. 函数f(x)=的定义域为x-2且x2.提示由-20可得x-2且x2.3. 函数f(x)=+的定义域为.提示由可得x=1.4. 函数f(x)=x-1(xZ且x-1, 4)的值域为.提示由xZ且x-1, 4,可得x=-1, 0, 1, 2, 3, 4,再代入函数解析式即可.五、 课堂小结本节课学习了函数的概念及其三要素.第2课时函数的概念和图象(2) 教学过程一、 问题情境问题试比较下列两个函数的定义域和值域:(1) f(x)=x2+1, x-1, 0, 1;(2) f(x)=x2+1.讨论:自变量x的限制条件即为函数的定义域,函数值y的取值范围即为值域,值域由定义域内的变量对应而得到,因此研究函数的定义域更为必要.对于一般性的函数,其定义域又该如何求得呢?它有哪些限制条件呢?二、 数学建构(一) 生成概念1. 函数的定义域:所有输入值构成的集合.2. 函数的值域:所有输出值构成的集合.(二) 理解概念1. 给定函数时要指明函数的定义域.2. 对于用解析式表示的函数,如果没有指明定义域,那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合.3. 对于从A到B的函数f,如果值域是C,那么CB,不能将B当成函数的值域.(三) 巩固概念求函数的定义域一般要注意考虑分母、偶次根式等有意义.三、 数学运用【例1】求下列函数的定义域:(1) f(x)=; (2) f(x)=.(见学生用书课堂本P13)处理建议考虑式子本身的意义,并根据有意义的条件列式.规范板书解(1) 要使函数有意义,必须4-x20,即-2x2. 函数f(x)=的定义域为-2, 2.(2) 要使函数有意义,必须即解得x-3或-3x-1或x4. 函数f(x)=的定义域为 x|x-3或-3x-1或x4.题后反思求函数定义域的步骤如下:列不等式(组) 解不等式(组).变式已知函数y=f(x)的定义域为0, 1,求函数y=f(x-1)的定义域.规范板书解 函数y=f(x)的定义域为0, 1, 0x1. 0x-11,即1x2, 函数y=f(x-1)的定义域为1, 2.题后反思求抽象函数的定义域时应遵循两点原则:定义域都是相对于自变量x而言的;相同对应法则下的作用对象的取值范围相同.【例2】(教材P25例3)求下列函数的值域:(1) f(x)=(x-1)2+1, x-1, 0, 1, 2, 3;(2) f(x)=(x-1)2+1.(见学生用书课堂本P14)处理建议引导学生从定义域的不同进行分析.规范板书解(1) 函数f(x)的定义域为-1, 0, 1, 2, 3,因为f(-1)=(-1)-12+1=5,同理f(0)=2, f(1)=1, f(2)=2, f(3)=5,所以这个函数的值域为1, 2, 5.(2) 函数f(x)的定义域为R,因为(x-1)2+11,所以这个函数的值域为y|y1.变式1求函数y=x2-2x的值域.规范板书解y=x2-2x=-1-1,所以这个函数的值域为.题后反思本题可以让x取不同的范围,然后和学生一起讨论如何求函数的值域.【例3】求下列函数的值域:(1) y=3x+2(-1x1);(2)f(x)=2+.(见学生用书课堂本P14)处理建议先提出问题:“如何求给定区间上一次函数的值域?”然后学生讨论,教师点评,最后示范解题.规范板书解(1) -1x1, -33x3, -13x+25,即-1y5, 这个函数的值域是-1, 5.(2) 0, +), 2+2, +), 这个函数的值域是y|y2.题后反思第(1)题也可以结合一次函数的图象来解决;第(2)题从根式的特点入手就变得很简单.变式求函数y=2x-5+的值域.处理建议对形如y=ax+b+(ac0)的无理函数,一般采用换元法(令t=)求解,换元时抓住一点:换元不能改变元的范围.规范板书解设 t=,则 t0, x=(15-t2). y=-t2+t+=-(t-1)2+3. t0, y3. 这个函数的值域是y|y3.题后反思利用换元法把原函数化为二次函数之后,再根据图象来求二次函数的值域.*【例4】求下列函数的值域:(1) y=;(2) y=.处理建议通过对解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,求出所求函数的值域.规范板书解(1) y=2-, 0, 2-2, 该函数的值域为yy2.(2) y=, x2=. x20, 0,即0, -y. 该函数的值域为.题后反思在求形如f(x)=的函数的值域时,一般的处理方法是常数分离法(即想办法把分子上的x化掉);对于像x2类有限制范围的变量,可反解,再利用其限制范围求函数值域.变式求函数y=(x3)的值域.规范板书解y=3+, x3, x+25, 0-, 33+. 该函数的值域为.题后反思在求形如f(x)=的函数的值域时,若定义域有范围,应先把函数解析式进行常数分离,然后再具体分析.四、 课堂练习1. 若函数f(x)=(x-1)2+1, x-1, 0, 1, 2, 3,则ff(0)=2.提示ff(0)=f(2)=2.2. 函数f(x)=+的定义域为-2, 2,值域为0.提示由题意得解得x-2, 2.f(-2)=f(2)=0.3. 函数y=x+的值域为.提示令t=(t0),则x=3-t2, y=3-t2+t=-+, t0, y.五、 课堂小结本节课归纳了简单函数的定义域和值域的求法.第3课时函数的表示方法 教学过程一、 问题情境问题1教材P23中的3个函数问题在表示方法上有什么区别?回顾教材第2.1.1节开头的3个函数问题:(1) 在第一个问题中,只要知道某个年份,就能从下表中查得相应的人口数.年份194919541959196419691974人口数/百万542603672705807909年份19791984198919941999人口数/百万9751035110711771246这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.(2) 在第二个问题中,下落的距离y(单位:m)与下落时间x(单位:s)之间近似地满足关系式y=4.9x2(x0).这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.(3) 在第三个问题中,我们用图象(如图1)表示时刻和气温的关系.这种用图象来表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.(图1)问题2观察3个函数问题,你能说出各种函数表达形式上的特点吗?问题3如何用数学语言来准确地描述函数表示法?问题4你能说出几种函数表示法的优缺点吗?二、 数学建构(一) 生成概念函数的三种表示方法:(1) 解析法:将两个变量的函数关系用一个等式来表示,如y=3x2+2x+1, S=r2, c=2r, S=6t2等.(2) 列表法:列出表格表示两个变量的函数关系,如平方表、三角函数表、利息表、列车时刻表、国民生产总值表等.(3) 图象法:用图象来表示两个变量的函数关系,如图2.(图2)(二) 理解概念解析法的优点:简明,全面地概括了变量之间的关系;可以通过解析式求出自变量的任意一个值所对应的函数值.列表法的优点:不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.图象法的优点:直观形象地表示了变化趋势.三、 数学运用【例1】(教材P33例1)购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x1, 2, 3, 4)的函数,并指出该函数的值域.(见学生用书课堂本P15)(例1)处理建议以前初中所学的函数图象通常是一条连续的线,但是函数图象具有多样性,也可以是一些孤立的点.引导学生体会函数的对应关系以及实际问题的定义域.规范板书解(1) 解析法:y=2x, x1, 2, 3, 4. (2) 列表法:x/听1234y/元2468(3) 图象法:图象由点(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)组成,如图,函数的值域是2, 4, 6, 8.题后反思函数的图象可以是不连续的散点,实际问题要考虑自变量的实际意义.变式 小明粉刷他的卧室共花去10h,他记录的完成工作量的百分数如下表:时间/h12345678910完成的百分数/%52535505065708095100(1) 5h他完成工作量的百分数是50%;(2) 小明在第 2 h内的工作量最大.题后反思充分体现了列表法的优点:不需要计算,就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.【例2】(教材P34例2)画出函数f(x)=|x|的图象,并求出f(-3), f(3), f(-1), f(1)的值.(见学生用书课堂本P15)处理建议对于含有绝对值的函数解析式,通常通过去绝对值符号写成分段形式,然后再分别处理.去绝对值通常采用“零点”分类法,即使绝对值里的式子为0,从而解出对应的x的值作为分点,再进行讨论.规范板书解因为f(x)=|x|=(例2)所以函数f(x)的图象为过原点且平分第一、二象限的一条折线,如图.其中f(-3)=3, f(3)=3, f(-1)=1, f(1)=1.题后反思通过本例我们可以发现,有些函数在它的定义域中,对于自变量x的不同取值范围,对应法则不同,这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数,而不是几个函数. 变式作出分段函数y=|x-1|+|x+2|的图象.规范板书解根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即y=|x-1|+|x+2|=作出图象如下:(变式)【例3】某市郊区空调公共汽车的票价按下列规则制定:(1) 5 km以内,票价2元;(2) 5 km以上,每增加5 km,票价增加1元(不足5 km按5 km计算).已知两个相邻的公共汽车站台之间相距约为1 km,如果沿途(包括起点站和终点站)共20个汽车站,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.(见学生用书课堂本P16)处理建议分段函数是函数表示的另一种形式,它在定义域内不同部分上有不同的解析式,其中定义域是自变量在不同部分上取值的并集,要从整体上把握分段函数.本例是一个实际问题,有具体的实际意义.根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.规范板书解设里程为x km时,票价为y元,根据题意,如果某空调公共汽车运行路线中共20个汽车站(包括起点站和终点站),那么该车行驶的里程约为19 km,所以自变量x的取值范围是x| x19, xN*.由空调公共汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:y=(xN*).根据这个函数解析式,可画出函数的图象,如下图所示:(例3)题后反思 本题具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义; 本题可否用列表法表示函数?如果可以,应怎样列表?变式如图,在梯形ABCD中,B=C=90, D=45, AB=BC=2cm.现有一动点Q从B点出发沿BCDA的方向移到A点.若Q点经过的路程为xcm, QAB的面积为ycm2,试写出y与x之间的函数关系式,并画出该函数的图象.(变式)处理建议引导学生写出动点Q在BC段、CD段、DA段这三段上的函数关系式,并注意x的范围.规范板书解如图,作AECD于点E,于是DE=AE=2cm, DA=2cm.(1) 当点Q在线段BC上运动时,y=ABQB=2x=x,其中0x2;(2) 当点Q在线段CD上运动时,y=ABBC=22=2,其中2x6;(3) 当点Q在DA上运动时,过点Q作GFBC并交BA的延长线于点G,交CD于点F,则AQ=BC+CD+DA-x=6+2-x, GQ=AQsin45=(6+2-x), y=ABGQ=2(6+2-x)=2+3-x,其中6x6+2.综上,y与x之间的函数关系式为y=该函数的图象如下题后反思对于此类图形面积的问题,常常需要画出图形,分析情况,分类讨论才能解决;最后要写成一个函数的形式.【例4】已知函数f(x)= 求f, fff(-2)的值.(见学生用书课堂本P16)处理建议题中f(x)为分段函数,应分段求解.规范板书解 1-=1-(+1)=-1,即x, f(3x-1)=1+=;若-13x-11,即0x, f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2;若3x-1-1,即x0, f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1. f(3x-1)=(2) f(a)=, 当a1时,有1+=, a=2;当-1a1时,a2+1=, a=.综上所述, a=2或.题后反思处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值属于哪个区间段,然后选取相应的对应法则,离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.*【例5】已知函数y=f(x)满足f=,求函数y=f(x)的解析式.规范板书解 f=, 0, f(x)=(x0).题后反思 本题将原解析式右边配凑变量,并看成整体替换成变量x,从而得到f(x)的解析式. 本题也可以运用换元法求解,其过程如下:设=t,则x=,代入f=,得f(t)=.又t=0, f(x)=(x0). 需要注意的是,无论是用“配凑法”,还是用“换元法”,在求出y=f(x)的解析式以后,都需要指出其定义域.变式已知f(x)-f=x2,求函数f(x)的解析式.规范板书解因为f(x)-f=x2,将中的x换为,得f-f(x)=.由和两式,消去f,得f(x)=x2+.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2+.题后反思对于在已知式中,含有两个不同变量的函数关系时,常常采用“方程组消参法”解决,即依据两个变量的关系,重新产生一个关于两个变量的同等式,再联立方程组而得函数解析式.四、 课堂练习1. 已知函数f(x)=若f(x)=3,则x=.提示分三段求解.2. 已知函数f(x)=则fff(-1)=+1.提示fff(-1)=ff(0)=f()=+1.3. 已知函数f(x), g(x)分别由下表给出:x123f(x)131x123g(x)321则fg(1)的值为1;满足fg(x)gf(x)的x的值是2.五、 课堂小结本节课归纳了函数的三种表示方法及优缺点,讲述了分段函数的概念,了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线.第4课时函数的图象 教学过程一、 问题情境情境1:回忆初中学习过的函数y=2x-1, y=, y=x2的图象.情境2:在教材第2.1.1节开头的第一个问题中,如果把人口数y(百万)看做是年份x的函数,那么根据教材P23中表2-1-1画出的函数图象就是11个点(如图1).(图1)二、 数学建构(一) 生成概念函数f(x)的图象即集合P=(x, y)|y=f(x), xA内的所有的点.(二) 理解概念问题设函数y=f(x)的定义域为A,则集合P=(x, y)|y=f(x), xA与Q=y|y=f(x), xA相等吗?请说明理由.解不相等.集合P是坐标平面内的一个点集,表示函数y=f(x)的图象;集合Q是一个数集,表示函数y=f(x)的值域.(三) 巩固概念图象可以帮助我们研究函数的性质、值域等.三、 数学运用【例1】(教材P27例4)试画出下列函数的图象:(1) f(x)=x+1;(2) f(x)=(x-1)2+1, x1, 3).(见学生用书课堂本P1718)处理建议让学生独立完成,并请两位学生板书.函数f(x)=(x-1)2+1, x1, 3)的图象为函数g(x)=(x-1)2+1, xR的图象上x1, 3)的一段.其中,点(1, 1)在图象上,用实心点表示;而点(3, 5)不在图象上,用空心点表示.规范板书解描点作出图象,如图所示:(1)(2)(例1)题后反思作函数图象时要注意端点是空心点还是实心点.变式试求出例1中函数的值域.处理建议由例1的图象即得.规范板书解(1) f(x)=x+1的值域是R.(2) f(x)=(x-1)2+1, x1, 3)的值域为1, 5).【例2】(教材P28例6)试画出函数f(x)=x2+1的图象,并根据图象回答下列问题:(1) 比较f(-2), f(1), f(3)的大小;(2) 若0x1x2,试比较f(x1)与f(x2)的大小.(见学生用书课堂本P18)处理建议让学生自己作图,并从图形中观察出函数值的大小.规范板书解函数的图象如图所示:(1)(2)(例2)(1) 根据图(1),容易发现f(-2)=f(2), f(1)f(2)f(3),所以f(1)f(-2)f(3).(2) 根据图(2),容易发现,当0x1x2时,f(x1)0)的图象可由函数y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位长度得到;(2) 竖直平移:函数y=f(x)b(b0)的图象可由函数y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位长度得到.变式作出函数y=|x-2|(x+1)的图象.规范板书 解函数解析式可化为y=其图象如图所示.(变式)题后反思含有绝对值的函数的图象的画法是:先通过去绝对值,得到分段的几个函数,然后画出所有分段的函数的图象,再取有效图象.四、 课堂练习1. 函数y=(k0)的图象在第二、四象限.2. 若把函数f(x)=x2-1的图象作平移变换,使原图象上的点P(1, 0)变换成点Q(2, -1),则变换后所得新图象对应的函数解析式为y=(x-1)2-2.提示图象平移变换的规则:左加右减,上加下减.3. 若0a1,则函数y=ax+5的图象不经过第四象限.五、 课堂小结作函数图象的步骤:列表、描点、连线.第5课时函数的单调性(1) 教学过程一、 问题情境引入教材P23中函数起始课的第3个问题,气温是关于时间t的函数,记为=f(t),观察这个气温变化图(如图3).(图3)二、 数学建构(一) 生成概念问题1你能说出气温的变化趋势吗?3问题2怎样用数学语言刻画上述时段内“气温随时间的增大而上升”这一特征?4问题3我们是否能说“在区间0, 14上气温随着时间的增大而上升”?5问题4如何用数学语言刻画“在0, 4上气温随着时间的增大而下降”?6通过讨论,先结合图4给出函数f(x)在区间I上是单调增函数的定义,再结合图5给出函数f(x)在区间I上是单调减函数的定义.(图4)(图5)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个值x1, x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说y=f(x)在区间D上是单调增函数,D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个值x1, x2,当x1f(x2),那么就说y=f(x)在区间D上是单调减函数,D称为y=f(x)的单调减区间.如果函数y=f(x)在区间D上是单调增函数或单调减函数,那么我们就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性.区间D叫作y=f(x)的单调区间.(二) 理解概念1. 判断函数的单调性必须在指定区间内研究,而指定区间一定是定义域的子集.2. 判断函数单调性的依据并不唯一,除了定义中的形式,还可以是“若当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”,也可以判断y=f(x)在区间D上是单调增函数.判断函数增、减性的关键是自变量x1, x2与因变量y1, y2的大小关系是否一致,若大小关系一致,即为单调增函数;若大小关系不一致,则为单调减函数.(三) 巩固概念问题5请说出问题情境中“气温变化”的单调区间.解0, 4为单调减区间,4, 14为单调增区间,14, 24为单调减区间.三、 数学运用【例1】(教材P38例1)画出下列函数图象,并写出单调区间:(1) y=-x2+2;(2) y= (x0).(见学生用书课堂本P19)处理建议引导学生从作出的图象中观察出函数的单调区间.规范板书解(1) 函数图象如图所示,单调增区间为(-, 0,单调减区间为0, +).(1)(2)(例1)(2) 函数图象如图所示,(-, 0)和(0, +)是两个单调减区间.题后反思有效利用图形语言:“图象从左向右逐渐上升,则是单调增函数;图象从左向右逐渐下降,则是单调减函数.”同时让学生明白:函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质,并强调单调区间的写法.注意第(2)小题不能写成并集形式.变式观察下列函数的图象,写出单调区间.(1)(2)(变式)处理建议引导学生给出理由或举出实例.规范板书解(1)单调减区间为(-, 1,单调增区间为1,+);(2)单调减区间为(-, 1,单调增区间为1, +).题后反思这两个函数在定义域上都不是单调增函数.【例2】(教材P38例2)求证:函数f(x)=-1在区间(-, 0)上是单调增函数.(见学生用书课堂本P20)处理建议关键是规范利用定义证明函数的单调性.规范板书证明设x1, x2是区间(-, 0)内的任意两个值,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-1=-=.因为x1x20,所以x1-x20.所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以f(x)=-1在区间(-, 0)上是单调增函数.题后反思根据定义证明(或判断)函数单调性一般采用作差比较法,其步骤如下:(1)设x1, x2是给定区间内的任意两个值,且x1x2;(2)比较f(x1)与f(x2)的大小,一般采用作差法f(x1)-f(x2),并将此差式变形(要注意变形的程度);(3)判断f(x1)-f(x2)的正负(要注意说理的充分性);(4)根据f(x1)-f(x2)的符号确定函数的增减性.变式求证:函数f(x)=-2x2+1是(0, +)上的单调减函数.处理建议可以在对“作差比较法”总结(例2的题后反思)之后让学生练习,也可以在完成本题后,再对“用定义法证明函数的单调性”进行总结.规范板书证明设x1, x2是区间(0, +)内的任意两个值,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(-2 + 1)-(-2 + 1)=2(x2 + x1)(x2-x1).因为0x10, x2+x10.所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以f(x)=-2x+1在区间(0, +)上是单调减函数.题后反思本题规范了“用定义法证明函数的单调性”的解题过程,强调的是“设x1, x2是某区间内的任意两个值,且x1f(x2).所以某函数在某区间上是单调减函数”.这是证明某函数在某区间上是单调减函数的一种固定形式,至于如何比较f(x1), f(x2)的大小,要因题而异(本题是用“作差比较法”).【例3】求证:函数f(x)=-x3+a在R上是单调减函数.(见学生用书课堂本P20)处理建议在本题中学生可能出现的困难是“判断+x2x1+的符号”.规范板书证明设x1, x2是R上的任意两个值,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(-+a)-(-+a)=-=(x2-x1)(+x2x1+)=(x2-x1)+x2x1+=(x2-x1)x2+2+. x10, +0(不可能等于0,否则x1=x2=0,与题设矛盾), f(x1)f(x2). 函数f(x)在R上是单调减函数.题后反思“+x2x1+”的符号确定是本题的难点,除了答案中的方法,还可以将“+x2x1+”中的x2看成主元、x1看成参数,则“+x2x1+”是关于x2的一元二次三项式,因为其相应的=-4=-30, +x2x1+0,当且仅当x1=x2=0时取“=”,但x10.变式讨论函数f(x)=在(-2, +)上的单调性.规范板书解f(x)=a+.设-2x10, x1-x20, 0.而f(x2)-f(x1)=-=(1-2a).当a时,f(x2)时,f(x2)f(x1),此时函数f(x)=在(-2, +)上是单调增函数.*【例4】在1kg水中加入少许糖,即为糖水,若再添加少许糖则糖水就会更甜.你能运用所学过的数学知识给出合理的解释吗?处理建议引导学生联系浓度的计算,进而构造函数f(x)=,即判断函数f(x)=在区间(0, +)上是单调递增的.规范板书解不妨设当糖的质量为xkg时,糖水的浓度为f(x),则f(x)=.任取0x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=.而 x1-x20, f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2). 函数f(x)在区间(0, +)上单调递增.这说明随着x(糖的含量)的增加,f(x)(糖水的浓度)逐渐增加,即糖水变得更甜了.题后反思学习数学是为了分析问题、解决问题.本例的解答让学生体会到生活中数学无处不在,也让他们体会到“用”数学的乐趣.变式函数y=在其定义域(-, 0)(0, +)上是单调减函数吗?处理建议单调区间的判断目前只有通过定义进行说明,如果要说明这个命题是真命题,我们就要给出严格的定义证明;而如果要说明这个命题是假命题,我们只要举一组不满足定义的x1, x2,并加以说明.规范板书解不是.例如:x1=-1, x2=1时,f(x1)=-1, f(x2)=1,显然x1x2时f(x1)f(x2),所以“函数y=在其定义域(-, 0)(0, +)上是单调减函数”是不成立的.四、 课堂练习1. 函数f(x)=|x|的单调增区间是0, +).提示求函数的单调区间,有“数”与“形”两个视角:可以通过解析式看,也可以通过图象看. f(x)=|x|=函数f(x)的单调增区间是0, +).2. 函数y=x2+2x-1的单调增区间为-1, +).提示y=x2+2x-1=(x+1)2-2,利用数形结合可知在对称轴右边即为单调增区间.3. 判断函数f(x)=-x3-1在(0, +)上是单调增函数还是单调减函数,并证明你的结论;如果x(-, 0),函数f(x)是单调增函数还是单调减函数?解单调减函数.证明设x1, x2是(0, +)上的任意两个值,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(-1)-(-1)=(x2-x1)(+x1x2+). 0x10, +x1x2+0. f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). 函数f(x)=-x3-1在(0, +)上是单调减函数.单调减函数.五、 课堂小结1. 函数的单调性是函数的局部性质,因此一定要强调在某区间上;函数的单调性反映了函数的变化趋势,并用精确的数学语言进行刻画、描述,关键词有“任意两个值x1, x2D”中的“任意”,“当x1f(x2)”中的“都有”等.2. 掌握判断函数在某个区间上的单调性的方法:(1) 可以根据函数的图象,直接写出函数的单调区间;(2) 代数证明的基本步骤为:取值作差变形(变形的目标是因式积商或者平方和)定号.第6课时函数的单调性(2) 教学过程一、 问题情境引入教材P23中函数起始课的第3个问题,气温是关于时间t的函数,记为=f(t).提出问题:观察这个气温变化图(如图1),你能求出函数的值域吗?通过观察你还能发现什么?3(图1)学生从图象上可以看出14时的气温为全天的最高气温,它表示在0至24时之间,气温于14时达到最大值9.从图象上看,图象在这一点的位置最高.同样可以看出4时的气温为全天的最低气温,它表示在0至24时之间,气温于4时达到最小值-2.二、 数学建构(一) 生成概念问题1如何用数学语言来刻画图1中的“气温于14时达到最大值”、“气温于4时达到最小值”?解可以看出:对于任意的x0, 24,都有f(x)f(14)=9;对于任意的x0, 24,都有f(x)f(4)=-2.问题2如何抽象出函数最大值的定义?一般地,设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximum value).思考你能仿照函数最大值的定义,给出函数y=f(x)的最小值(minimum value)的定义吗?一般地,设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimum value).(二) 理解概念1. 函数最大(小)值的定义中的不等式f(x)M(f(x)M)必须对定义域中的任意x都成立,这说明函数的最值是函数全局的一个性质.2. 仅满足“对任意的xI,都有f(x)M(f(x)M)”,不能得出M是最大(小)值这一结论,必须同时满足“存在x0I,使得f(x0)=M”.针对这一点,可以举个生活中的例子,如:我们班上的任意一个同学的年龄肯定都小于等于100岁,那么能说我们班上的同学最大年龄是100岁吗?3. 函数的最大值不一定唯一,比如:这次数学考试,由于试卷比较简单,满分(160分)的同学有5个,那么这次考试成绩的最大值是多少?显然,最大值是160分,且有五人取最大值.(三) 巩固概念问题3“即时体验”中的第2题有最大值、最小值吗?如果有,那么是多少?4解根据其函数图象可以发现:该函数没有最大值,但有最小值,最小值是0.三、 数学运用【例1】(教材P39例3)函数y=f(x), x-4, 7的图象如图所示,指出它的最大值、最小值及单调区间.5(见学生用书课堂本P21)(例1)处理建议在学生正确回答完本题后,教师还可以追问:“你能用刚学到的数学语言来描述这些结果吗?”让学生在实际的问题解决中加深对概念的理解与记忆.规范板书解观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3, 3),最低的点(-1.5, -2).所以当x=3时,函数y=f(x)取得最大值,即ymax=3;当x=-1.5时,函数y=f(x)取得最小值,即ymin=-2.函数的单调增区间为-1.5, 3, 5, 6;单调减区间为-4, -1.5, 3, 5, 6, 7.题后反