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第一章第一章 集集 合合 1 集合的运算 1 集合的运算 一、集合的概念 一、集合的概念 定义 1 设有两个集合 A，B。 若 定义 1 设有两个集合 A，B。 若xA， 必有， 必有xB， 则称A是B的子集或B包含A， 记为， 则称A是B的子集或B包含A， 记为ABBA或。 若 。 若AB，且存在，且存在xB满足满足xA，则称 A 是 B 的真子集。 若 ，则称 A 是 B 的真子集。 若ABBA且，则称 A 与 B 相等或相同。 定义 2 设 ，则称 A 与 B 相等或相同。 定义 2 设是一个非空集合，对于每个是一个非空集合，对于每个，指定一个集合，指定一个集合A，于是得到许 多集合，它们的总体称为集合族，记为 ，于是得到许 多集合，它们的总体称为集合族，记为|A或或A 。 。 二、集合的运算 二、集合的运算 定义 3 设 A，B 是两个集合。 （1） 称集合 定义 3 设 A，B 是两个集合。 （1） 称集合|ABx xAxB=或为 A 与 B 的并集， 即由 A 与 B 的全 部元素构成的集合； （2） 称集合 为 A 与 B 的并集， 即由 A 与 B 的全 部元素构成的集合； （2） 称集合|ABx xAxB=且为 A 与 B 的交集， 即由 A 与 B 的公 共元素构成的集合； 为 A 与 B 的交集， 即由 A 与 B 的公 共元素构成的集合； 定理 1定理 1（1）交换律 （1）交换律 ABBA=，ABBA=； ； （2）结合律 （2）结合律 ()()ABCABC=, ,()()ABCABC=; （3） 分配律 ; （3） 分配律()()()ABCABAC=()()()ABCABAC=。 更一般地有 （4） 。 更一般地有 （4）()() ABAB = ； （5） ； （5）() ()ABAB = ； （6）设 ； （6）设 n A 和和 n B 为两集列，有为两集列，有 () 111 nnnn nnn ABAB = = 。 定义 4 设 A，B 是两个集合，称集合 。 定义 4 设 A，B 是两个集合，称集合|A Bx xA xB=且是 A 和 B 的差集， 即在集合中而不在集合 B 中的一切元素构成的集合。如果 是 A 和 B 的差集， 即在集合中而不在集合 B 中的一切元素构成的集合。如果BA，则称，则称 A B为 B 相对于 A 的补集或余集。 为 B 相对于 A 的补集或余集。 定理 2定理 2 （1）（1）(), c ccccc AAX AAAA XX= =； ； （2）（2）AB= c AB； （3）若 ； （3）若AB，则，则 cc AB； （4）若 ； （4）若AB=，则，则 c AB； （5） ； （5）()() () ()(),A BCA CB CA B CA B C =。 。 定理 3定理 3 （D Morgan 法则） （D Morgan 法则） （1）（1）() XAXA = ； （2） ； （2）() XAXA = ； 特别的，若 X 为全集，有 （3） ； 特别的，若 X 为全集，有 （3）() c c AA = ； （4） ； （4）() c c AA = 。 定义 5 设 X 与 Y 是两个集合， 称集合 。 定义 5 设 X 与 Y 是两个集合， 称集合(),|,XYx yxX yY=是 X 与 Y 的直 积集，简称 X 与 Y 的直积，其中 是 X 与 Y 的直 积集，简称 X 与 Y 的直积，其中() () 1122 ,x yx y= 是指是指 12 xx=且且 12 yy=。 。 三、集合列的极限集 三、集合列的极限集 定义 6 设定义 6 设 k A是一列集合，分别称集合 是一列集合，分别称集合 lim| k k Ax = k 存在无穷多个k，使xA lim| k k Ax = k 只有有限个k，使xA 是集合列是集合列 k A的上极限集与下极限集。 的上极限集与下极限集。 注解注解：lim k k xA 存在 存在 k A的子集列的子集列 i k A，使使 i k xA，1,2i =?； ； lim k k xA 存在 存在0N，当，当kN时，时， k xA ； ； 11 limlim kkkk kkk k AAAA = 定理 4定理 4 设集列 设集列 k A，则（1），则（1） 1 lim kk knkn AA = = ； （2）（2） 1 lim kk nkn k AA = = 。 注解注解：() limlim kk k k EAEA = () limlim kk k k EAEA = 定理 5定理 5（1）若（1）若 k A是单调递增集列，则是单调递增集列，则 1 lim kk kk AA = = （2）若（2）若 k A是单调递减集列，则是单调递减集列，则 1 lim kk kk AA = = 四、集类 四、集类 定义 8 设 X 为一个集合，定义 8 设 X 为一个集合，是 X 上的一个非空集类， 如果对任何是 X 上的一个非空集类， 如果对任何 12 ,E E， 都有 ， 都有 1212 ,EEEE， 则称 ， 则称为 X 上的一个环。 如果还有为 X 上的一个环。 如果还有X， 则称， 则称为 X 上的一个代数或域。 如果对任何一列 为 X 上的一个代数或域。 如果对任何一列 k E，均有，均有 12 1 , k k EEE = ， 则称 ， 则称为 X 上的为 X 上的环，如果还有环，如果还有X，则称则称为 X 上的一个为 X 上的一个代数或代数或 域。 域。 定理 6 定理 6 若若为环，则 为环，则 （1）（1） （2）任意（2）任意 12 ,E E，有，有 12 EE （3）若（3）若() 是 X 上的环（或代数） ，则 是 X 上的环（或代数） ，则 是 X 上的环（或代数） 。 是 X 上的环（或代数） 。 定理 7定理 7 设设为为环，则 环，则 （1）（1）为环； （2）对任意 为环； （2）对任意,1,2, n En=?有有 1 n n E = ； （3）对任意 ； （3）对任意,1,2, n En=?有有lim,lim nn n n EE ； （4） ； （4）() 为 X 上为 X 上环（环（代数） ，则代数） ，则 是 X 上是 X 上环（环（ 代数） 。 代数） 。 定理 8定理 8 设设A是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数， 环，环， 代数）代数），使 ，使 （1）（1）A； （2）任何包含 ； （2）任何包含A的环（或代数，或的环（或代数，或环或环或代数）代数） * ，必有，必有 * 。 定义 9 定理 8 中的环（或代数，或 。 定义 9 定理 8 中的环（或代数，或环或环或代数）代数）称为称为由集类由集类A所张成的 环 所张成的 环（或代数，或（或代数，或环或环或代数） ，并用代数） ，并用( )A（或（或( )A或或( )A 或 或 ( )A ）来表示。 例题：设 X 为一非空集合， ）来表示。 例题：设 X 为一非空集合，A A为 X 的单点集全体所成的集类，则由 为 X 的单点集全体所成的集类，则由 集类集类A A所张成的环所张成的环( )A= =|B B是X的有限子集 若 X 为有限集，若 X 为有限集，( )A也是代数、也是代数、环、环、代数 代数 若若| n Xa nN= ，则，则( )A= =|B B是X的有限子集 ( )A = =( )A = =2 A =|BBX 2 2 集合的势 集合的势 一、映射 一、映射 定义 1 有关映射的一些概念（舍）见教材 P9。 定义 1 有关映射的一些概念（舍）见教材 P9。 定理 1 定理 1 设设:T XY为映射，则 为映射，则 （1）（1）()() 1212 ;AAXAT A当时，有T （2） （2）()()() ,;TAT AAX = （3） （3）() ()(),;TAT AAX （4）（4）()() 1 1212 ;BBYBTB -1 当时，有T （5） （5） () ()() 11 ,;TBTBBY = （6） （6）()()() 11 ,;TBTBBY = （7） （7）()( )() 11 c c TBTB = 由此看出由此看出原像集的性质保持原像集的性质保持比比像集的性质保持要好像集的性质保持要好 注解注解：、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为：、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为 空集即可； 、 空集即可； 、()()( )( )T AAT AA= -1-1 一般T，当T为单射时,有T 、 、()() 11 ( )( )TBBTBB =一般T，当T为满射时,有T 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与对等集合 A 与对等， 记为 AB ， 记为 AB 注解注解：、对等关系是等价关系 、设 ：、对等关系是等价关系 、设 |,|AB ，其中其中 A 两两互不相交，两两互不相交， B 两两互 不相交。若对任意的 两两互 不相交。若对任意的，有，有A B，则，则 A B 定义 4 如果集合 A 与 B 对等，则称 A 与 B 有相同的势或基数，记为定义 4 如果集合 A 与 B 对等，则称 A 与 B 有相同的势或基数，记为AB=（其 中 （其 中A表示 A 的势或基数） 定义 5 设集合 A 与 B，记 表示 A 的势或基数） 定义 5 设集合 A 与 B，记,AB=， 如果 A ， 如果 A 1 BB，则称，则称不大于不大于，记为，记为AB=， 如果如果且，则，则小于小于，记为，记为AB=， 使， 使(),B xG， 则称 G 为， 则称 G 为 n R 中开集。 中开集。 定理 1定理 1 n R中开集构成的集族中开集构成的集族满足下述三条性质： 满足下述三条性质： （1）（1）,; n R （2） （2）; 1212 若G ,G，则GG （3） （3）,;G 若G则 称 称为为 n R上的一个拓扑，上的一个拓扑，( ) , n R为拓扑空间。 为拓扑空间。 注解注解：无穷多个开集的交集不一定为开集，例如：无穷多个开集的交集不一定为开集，例如 1 11 ,0 nnn = = 为闭集 为闭集 定义 7 （1）设定义 7 （1）设 n xR，若 G 为，若 G 为 n R 中的开集且中的开集且x G，则称 G 为 x 的一个领域 （2）设 ，则称 G 为 x 的一个领域 （2）设 n ER，如果存在 x 的一个领域 G，使得，如果存在 x 的一个领域 G，使得GE，则称 x 为 E 的 内点。 （3）设 ，则称 x 为 E 的 内点。 （3）设 n ER， n xR，如果对 x 任意领域既含有 E 的点，又含有，如果对 x 任意领域既含有 E 的点，又含有 c E 的点，则称 x 为 E 的边界点。 常用结论 的点，则称 x 为 E 的边界点。 常用结论：、：、(); c EE= 、 、 0 ;EE 、 、 () 0 0 . nc REEE= 定理 2定理 2 设设 n ER，则 ，则 （1）（1） 0 E为开集； （2） 为开集； （2） 0 EEE=为开集 三、三、 n R中闭集 中闭集 定义 8 设定义 8 设 ( ) (),1,2, kn xxRk=?，若，若 ( ) () ( ) lim,lim0 kk kk d xxxx = 则称点列 则称点列 ( ) k x收敛于 X，记为收敛于 X，记为 ( ) lim k k xx = 两条收敛判定准则 两条收敛判定准则： （1） ： （1） ( )( ) lim. kk k xxxG =对x的任何领域G，存在N0，当kN时， （2） （2） ( )( ) lim1,2, ,lim. kk ii kk xxinxx =?对每个有 定义 9 设定义 9 设 n ER， n xR， 如果对 X 的任意领域 G， 必有， 如果对 X 的任意领域 G， 必有 (),GxE 则 称 X 为 E 的聚点或极限点，聚点全体称为导集，记为 则 称 X 为 E 的聚点或极限点，聚点全体称为导集，记为 E； 称 ； 称 EEE=为 E 的闭包。 相反，如果存在某个领域 为 E 的闭包。 相反，如果存在某个领域 0 G，使，使 0 GEx=，则称 X 为 E 的孤立点。 ，则称 X 为 E 的孤立点。 常用结论常用结论：、孤立点集为至多可数集； 、有限集为孤立点集，但可数集不一定为孤立点集，如 Q。 、内点一定是聚点，但聚点不一定是内点；孤立点一定是边界点， 但边界点不一定是孤立点。 ：、孤立点集为至多可数集； 、有限集为孤立点集，但可数集不一定为孤立点集，如 Q。 、内点一定是聚点，但聚点不一定是内点；孤立点一定是边界点， 但边界点不一定是孤立点。 定理 3定理 3 设设 n ER， n xR，则以下为聚点等价性定义： ，则以下为聚点等价性定义： ( ) ( )() () ( ) ( ) ( ) ( ) 20,; 3, lim; 4. kk k xE BxxE Exxx xGE = 1为的 聚 点 ； 任 意 存 在中 互 异 点 列 对的 任 意 领 域， 它 必 含 有的 无 穷 多 个 点 定理 4定理 4 设 E 是设 E 是 n R中的有界无限点集，则 E 中至少有一个聚点。 中的有界无限点集，则 E 中至少有一个聚点。 定理 5定理 5 设设 k 1,2, n ERk=?，,则 ,则 ( ) ( ) 1111 1111 1,. 2,. mmmm kkkk kkkk kkkk kkkk EEEE EEEE = = = = 定义 10 设 定义 10 设 n FR，若若F cn FR n 为中的开集，则称 为R 中的闭集。 定理 6定理 6 设设| nc FRF=为开集为所有闭集构成的闭集族，则为所有闭集构成的闭集族，则具有下列性具有下列性 质： 质： ( ) ( ) ( )() 1212 1 2,; 3. n R FFFF FF ，； 若则 若， 则 注解注解：无穷多个闭集的并集不一定为闭集，例如：无穷多个闭集的并集不一定为闭集，例如 1 1 ,1(0,1 nn = = 左开右闭集 左开右闭集 定理 7定理 7 n ER设，则下列叙述等价： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 3 4,1,2,lim, kk k E EE EE xE kxxxE = =? 1为闭集； ； ； 设若则。 定理 8定理 8(有限覆盖定理) (有限覆盖定理) F设F是有界闭集， 是一族领域， 覆盖了F,则在 中必有有限个领域覆盖 。 拓广:(Lindelof 定理) 拓广:(Lindelof 定理) n EREE设， 为的一个开覆盖 ，则在 中有至多可数个开集覆盖 。 定义 11定义 11 ( )() ( ) ( )() 1 2 3 EEE EEE EEE = 若，则 闭集 前面已证明 ； 若，则称 为自密集； 若，则称 为完备集 或完全集 。 注解注解：可数集为闭集； 设 E 为非空点集，若 E 的任意子集都为闭集，则 E 不一定是有限集，如 自然数集。 有限个完全集的并集仍为完全集 ：可数集为闭集； 设 E 为非空点集，若 E 的任意子集都为闭集，则 E 不一定是有限集，如 自然数集。 有限个完全集的并集仍为完全集 111 mmm kkk kkk EEE = = 有限个完全集的交集不一定为完全集，如 有限个完全集的交集不一定为完全集，如 ,a bb cb= 若 E 为非空完全集，则 若 E 为非空完全集，则Ec= 定义 12定义 12 ( ) ( ) 1 2 nn c n ERER E ER =如果，则称 为中的稠密集； 如果在每个非空开集中存在非空开子集完全含于中，则称 为中的疏朗集。 常用结论常用结论： 集合 E 为稠密集的充要条件： 任意非空开集 G,必有： 集合 E 为稠密集的充要条件： 任意非空开集 G,必有GE 。 集合 E 为疏朗闭集的充要条件：E 的余集为稠密开集。 疏朗集的余集为稠密集，但反之不成立，如有理数集与无理数集。 有理数集和无理数集均为 R 中的稠密集； 自然数集和有限集均为 R 中的疏朗集。 。 集合 E 为疏朗闭集的充要条件：E 的余集为稠密开集。 疏朗集的余集为稠密集，但反之不成立，如有理数集与无理数集。 有理数集和无理数集均为 R 中的稠密集； 自然数集和有限集均为 R 中的疏朗集。 重要例子： （Cantor 集） 重要例子： （Cantor 集） 将【0，1】每次挖掉剩余闭区间的中间三分之一长的开区间后，剩下的部将【0，1】每次挖掉剩余闭区间的中间三分之一长的开区间后，剩下的部 分 分 1 1 12 2 2 122 11212 2 111 , ,0,1 . n n n nnn n nnnn nk nnk nFFFF IIIIIIPFI = = ? ? 设第 次剩余部分为，记，挖去的开区间列为 作点集 性质：P 为非空有界闭集； 性质：P 为非空有界闭集； P 为完全集； P 为完全集； P 为疏朗集； P 为疏朗集； Pc= 四、四、 n R中的 Borel 集。 中的 Borel 集。 定义 13 至多可数个开集的交集为定义 13 至多可数个开集的交集为G型集； 至多可数个闭集的并集为型集； 至多可数个闭集的并集为F型集。 常用结论 型集。 常用结论：开集为：开集为G型集，闭集为型集，闭集为F型集； 集合 E 为 型集； 集合 E 为G型集充要条件：E 的余集为型集充要条件：E 的余集为F型集； 至多可数个 型集； 至多可数个G型集的交仍为型集的交仍为G型集；至多可数个型集；至多可数个F型集的并 仍为 型集的并 仍为F 型集。 任一至多可数集 E 为 型集。 任一至多可数集 E 为F型集，特别的 有理数集和有理点集为 型集，特别的 有理数集和有理点集为F型集；无理数集和无理点集为型集；无理数集和无理点集为G型集 定义 14 由 型集 定义 14 由 n R 中一切开集构成开集族中一切开集构成开集族 生成生成代数称为 Borel 代数， 简记代数称为 Borel 代数， 简记 中元素成为 Borel 集。 常用结论 中元素成为 Borel 集。 常用结论：开集、闭集、：开集、闭集、G型集与型集与F型集皆为 Borel 集； Borel 集的余集为 Borel 集； Borel 集的并、交、上（下）极限皆为 Borel 集。 型集皆为 Borel 集； Borel 集的余集为 Borel 集； Borel 集的并、交、上（下）极限皆为 Borel 集。 五、开集的构造 定理 9 五、开集的构造 定理 9（ n R开集的构造） （详细原理见教材 P31） 开集的构造） （详细原理见教材 P31） ( )() () () ()() ( )() 1 1, 22 n RGaa bb RnG + + 中非空开集 是至多可数个互不相交的开区间 的并集，反之亦真； 中非空开集 是至多可数个互不相交的半开半闭区间的闭集。 六、点集间的距离六、点集间的距离 定义 15 设 定义 15 设 12 , n xRE E为为 n R非空集合，称非空集合，称()() 11 ,inf,|d x Ed x yyE= 为点 X 到集合为点 X 到集合 1 E的距离。称的距离。称()() 1212 ,inf,|,d E Ed x yxE yE= 为集合 为集合 1 E到集合 到集合 2 E 的距离。 常用结论 的距离。 常用结论： ( )() ( )() ( )() 1212 1,0, 2,0 3,0, xEd x E ExEd x E EEd E E = = = 反之不成立； 若 为闭集，则； 反之不成立。 引理 设 E 为非空集合，则函数 引理 设 E 为非空集合，则函数( )(),fxd x E=在在 n R上一致连续 上一致连续 推论 1 函数推论 1 函数( )() 0 ,fxdx x=在在 n R上一致连续。 上一致连续。 定理 10定理 10 设 F 为设 F 为 n R中非空闭集，中非空闭集， n xR，则存在，则存在yF，使得 ，使得 ()(),d x Fd x y= 定理 11定理 11 设设 12 ,F F为为 n R中非空闭集，且其中至少有一个集合是有界的，则存在 中非空闭集，且其中至少有一个集合是有界的，则存在 12 ,xFyF，使得，使得()() 12 ,d F Fd x y= 注解 注解：定理 11 中“至少有一个集合是有界集”不能缺少，如 ：定理 11 中“至少有一个集合是有界集”不能缺少，如 () 1212 12 1 ,0 |,|0,ExxRRExxxRR x = 定理 12定理 12（隔离性定理）若（隔离性定理）若 12 ,FF为为 n R中非空闭集，且中非空闭集，且 12 FF=，则存在，则存在 n R 中开集中开集 12 ,GG，使得，使得 112212 ,GF GFGG=且。 例：若 F 为 例：若 F 为 n R中闭集，则 F 为中闭集，则 F 为G 型集；若 G 为型集；若 G 为 n R中开集，则 G 为中开集，则 G 为F型集型集 定理 13定理 13 （连续延拓） 若 F 是（连续延拓） 若 F 是 n R闭集，闭集，( )f x在 F 上的连续函数在 F 上的连续函数( )()fxM xF 则存在则存在 n R 上连续函数上连续函数( )( )()( )() , n gxfxxFgxMxR= 4 集合与函数 4 集合与函数 一、特征函数 一、特征函数 定义 1 X 是非空集合，定义 1 X 是非空集合，AX，称，称 ( ) 1, 0, A xA x xA = 为集合 A 特征函数 注解 为集合 A 特征函数 注解：显然：显然( )( )() AB xxxXAB= 定理 1 定理 1 ( )( )( ) ( )( )( )() ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) lim lim 11;0 2 3, 4 51; 6max,min; 7 lim,lim; 8 lim kkk k kk AA AB ABABAB ABAB A BAB AAAA k AAA A k k k AXxAx ABxxxX xxxxAB xxx xxx xxxx A xxxx = =+= = = = = ； ； 特 别 的时 ； ； 设是 任 一 集 列 ， 则 ( )() ( )( )() lim lim lim k kk k kA k AA k AxxX xxxX = 存 在任 意存 在 ， 且 极 限 二、集合与函数 二、集合与函数 归纳的一些重要集合等价式： （仅列举部分） 归纳的一些重要集合等价式： （仅列举部分） ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )() 1 1 1 |0|; 2E,lim lim|; 3 |. n n nnnn k k k n fxER ExfxExfx n fxfxfxfxfx ExfxExfx fxERfxE ExfxcExfxccR = + = = = 1 设定 义 在的 实 值 函 数 ， 则 定 义 在， 则 设定 义 在 开 集的 实 值 函 数 ， 则在上 连 续与开 集 定义 2 定义 2 ( )( ) ()() ()()( )()() ( )() 0 00 00 000 0 00 00 0 , lim,lim sup, 0,E n E E fxERxEfx BxEB x xxfxfxxxBx fxxx + = = 时， 才有时， 才有() * mABm Am B=+， 仅当， 仅当AB= 时，可能有 时，可能有 (),0d A B =，完全可加性不一定成立，所以需改进。 ，完全可加性不一定成立，所以需改进。 一、可测集的定义及等价条件 一、可测集的定义及等价条件 定义 1 设定义 1 设 n ER， 如果对任意， 如果对任意 n TR， 总有， 总有()() *c m Tm TEm TE=+， 则称 E 为 Lebesgue 可测集， 或称 E 是可测的， 此时， E 的外测度 ， 则称 E 为 Lebesgue 可测集， 或称 E 是可测的， 此时， E 的外测度 * m E称 为 E 的 Lebesgue 测度，记为 称 为 E 的 Lebesgue 测度，记为mE。 。 注解注解：与外测度不同的是，并非每个集合都是可测的。 ：与外测度不同的是，并非每个集合都是可测的。 定理 1 定理 1 设设 n ER，则下列三种说法是等价的： ，则下列三种说法是等价的： （1） E 是可测集； （2） （1） E 是可测集； （2） c E是可测集； （3） 对任意 是可测集； （3） 对任意, c AE BE，总有，总有() * mABm Am B=+ 注解注解：由（3）零测集为可测集，再由（2）推出：由（3）零测集为可测集，再由（2）推出 n R可测。 可测。 二、可测集的基本性质 定理 2 二、可测集的基本性质 定理 2 （1）（1） 12121212 ,E EEEEEEE可测均可测； ； （2）（2）() 11 , mm iii ii EEE = ?i=1,2,m 可测可测， 并且当， 并且当 i E 两两不交时， 两两不交时， 1 1 m m ii i i Em E = = = m， （对于可数个可测集列也同样成立） 。 ， （对于可数个可测集列也同样成立） 。 注解注解： （1）定理 2 中（2）说明了测度具有完全可加性； （2） ： （1）定理 2 中（2）说明了测度具有完全可加性； （2）lim, lim nn n n EE 可 测 。由于由于 11 lim,lim nknk nknnnkn n EEEE = = = 。 。 （3）（3）综上所述，可测集对集合的至多可数并、交、差（余）及极限运算是 封闭的，若 综上所述，可测集对集合的至多可数并、交、差（余）及极限运算是 封闭的，若表示表示 n R中中可测集全体可测集全体，则显然，则显然是一个是一个域。域。 （4）（4）2 c = 三、单调可测集列的性质 定 理3 三、单调可测集列的性质 定 理3设设() n E?n=1,2,为 单 调 上 升 的 可 测 集 列 ， 记为 单 调 上 升 的 可 测 集 列 ， 记 1 lim,lim nnn nnn SEEmEmS = = =则。 即。 即极限集测度=测度极极限集测度=测度极 限限。 。 定 理4定 理4设设() n E?n=1,2,为 单 调 下 降 的 可 测 集 列 ， 记为 单 调 下 降 的 可 测 集 列 ， 记 00 1 lim,lim n nnn nnnn EEEEmEEmE = = =若存在某个,使+则, 注解注解：、定理 4 中条件“：、定理 4 中条件“ 00 nn EE若存在某个,使+”不能去掉，否则结论不一 定成立， 如取 不能去掉，否则结论不一 定成立， 如取() (), n En=+?n=1,2,， 1 lim0 nn nn mEmEmEm = = + = 。 。 、 由 定 理 3 有 、 由 定 理 3 有 1 lim nk nkn n EE = = ， k kn E = 中 单 调 上 升 ， 有中 单 调 上 升 ， 有 limlim nk nkn n mEmE = = ； 、由定理 4 有， 、由定理 4 有， 1 li m nk nnkn EE = =中中 k kn E = 单调下降，若存 在 单调下降，若存 在 00 , kk k nk n EE = + 使m ，则，则 () limlim nk nnkn mEmE = = 考 虑 到考 虑 到 nk kn EE = ， 则 有， 则 有 nk kn mEmE = 两 边 取 极 限 有 ，两 边 取 极 限 有 ， () limlim nn nn mEmE 、 () limlimlimlim nnnn nn nn mEmEmEmE 从而设从而设 n E 为可测集， 且 为可测集， 且lim n n EE =，若，若 n E有界，则 有界，则lim n n mEmE = 对任意可测集 A、B，有对任意可测集 A、B，有（1）若（1）若(),BAmB+则mA=m AB （2）若（2）若(),mBmB +则mA-m AB （3）若（3）若(),BAmBmB，存在开集 G，使，存在开集 G，使EG，且，且()m GE，存在闭集，使，存在闭集，使FE，且，且()m EF； （3）存在 ； （3）存在F型集，使型集，使FE，且，且(),0mFmE m E F=。 。 注解注解：、：、()EFEF= 、以上两个定理表明，只要有了全部的、以上两个定理表明，只要有了全部的G和和F和和全部的零测集全部的零测集，一 切可测集都可以通过 ，一 切可测集都可以通过G型集与一零测集的差集型集与一零测集的差集或或F型集与一零测型集与一零测 集的并集集的并集获得。 获得。 定理 7定理 7 设 A、B 分别为设 A、B 分别为 p R和和 q R中的可测集，若中的可测集，若EAB=，则 E 为，则 E 为 pq R + 中的中的 可测集，且可测集，且mEmAmB= 注解注解：定理证明中所用到的结论： ：定理证明中所用到的结论： n R开集的构造：开集的构造： n R()2n 中非空开集 G 是可数个互不相交的半开半 闭区间的并集； 中非空开集 G 是可数个互不相交的半开半 闭区间的并集； E 是可测集，则存在一列单调递减的开集列E 是可测集，则存在一列单调递减的开集列 n G ，使得，使得 n EG，且，且 1 0 n n mGE = = ； 或或存在一列单调递增的闭集列存在一列单调递增的闭集列 n F ， 使得， 使得 n FE， 且 ， 且 1 0 n n m EF = = 。 （见教材 P64 课后习题 20、21 题） （见教材 P64 课后习题 20、21 题） 当可测集 A、B 无界时，A、B 分别都可以表示成一列互不相交的有界可 测集的并集， 即 当可测集 A、B 无界时，A、B 分别都可以表示成一列互不相交的有界可 测集的并集， 即 11 , ij ij AABB = = = ， 其中， 其中, ij AB都是有界可测集。 都是有界可测集。 思路： 由定理 5 （3） 存在思路： 由定理 5 （3） 存在G 集集 12 ,G G， 使， 使 121 ,AG BGmAmG=且 ()() 212 ,0,0mBmG m GAm GB= * 12 ,AGA BGB=记 ()() () () * 12 EABGGABABAB= 第三章第三章 可测函数可测函数 1 可测函数的定义及简单性质 一、可测函数的定义及等价定义 1、简单函数 1 可测函数的定义及简单性质 一、可测函数的定义及等价定义 1、简单函数 定义 1 设 E 为可测函数，定义 1 设 E 为可测函数，( )f x为定义在 E 上的函数，如果 （1） 为定义在 E 上的函数，如果 （1） 1 m i i EE = = ，其中，其中 i E为两两不交的可测集； （2）在每个 为两两不交的可测集； （2）在每个 i E上，上，( ) i f xc=，即 ，即 ( ) 11 , , mm c xE f x cxE = ? 亦即， 亦即，( )( ) 1 i m iE i fxcx = =则则( )f x称为 E 上的简单函数。 注解 称为 E 上的简单函数。 注解：、可测集 E 上的两个简单函数的和、差、积仍为 E 上的简单函数；若 ：、可测集 E 上的两个简单函数的和、差、积仍为 E 上的简单函数；若 ( )0g x 时，时， ( ) ( ) f x g x 也是 E 上的简单函数。 、复合函数中内函数为简单函数，则复合函数为简单函数。 定义 2 设 也是 E 上的简单函数。 、复合函数中内函数为简单函数，则复合函数为简单函数。 定义 2 设( )f x为 E 上非负实函数，集合为 E 上非负实函数，集合()( ) 1 ,|,0 n x yxEyf xR + 称为 称为 ( )f x在 E 上的下方图形，记为在 E 上的下方图形，记为(),G E f。 注解： 。 注解：(),G E f为可测集，且为可测集，且() 1 , m ii i mG E fc mE = =。 2、非负可测函数 定义 3 设 E 为可测集， 。 2、非负可测函数 定义 3 设 E 为可测集，( )f x为定义在 E 上非负函数，如果存在一列单调递增的 非负简单函数 为定义在 E 上非负函数，如果存在一列单调递增的 非负简单函数( ) m x， 即， 即( )( ) 1 0 n xx?， 使， 使( )( )lim m m f xx =， 则称 ， 则称( )f x为 E 上的非负可测函数或称为 E 上的非负可测函数或称( )f x在 E 上非负可测。 下面定理刻画了非负可测函数的特性： 在 E 上非负可测。 下面定理刻画了非负可测函数的特性： 定理 1定理 1 设设( )f x为可测集 E 上的非负函数，则为可测集 E 上的非负函数，则( )f x在 E 上非负可测充要条件： 在 E 上非负可测充要条件： 对任意实数 a， 对任意实数 a，( )|E x fxa 都是都是 n R中可测集。 中可测集。 3、一般可测函数 定义 4 设 3、一般可测函数 定义 4 设( )f x是定义在可测集 E 上实函数， 如果对任意实数 a，是定义在可测集 E 上实函数， 如果对任意实数 a，( )|E x fxa 或 或( )|E x fxa 或或( )|E x fxa 可测； 而 可测； 而( ),|rQ E x fxr = 可测得不出 可测得不出( )f x可测，设 A 不可测集， 可测，设 A 不可测集， ( ) , ,0,1 x xA f x x xA = ，( )|E x fxr= 为单点集或空集，而有 为单点集或空集，而有 ( )|0E x fxA= 为不可测集。 为不可测集。 推论推论：若：若( )f x在可测集 E 上为可测函数，则 （1） 在可测集 E 上为可测函数，则 （1）( )( )( )|,|,|E x fxE x fxE xfx= += = + 均可测； （2）对任意实数 均可测； （2）对任意实数( )( ),|ab E x afxbE x fxa= 和均可测。 二、可测函数的简单性质 定义 6 设 均可测。 二、可测函数的简单性质 定义 6 设( )x是一个与集合 E 中的点 x 有关的命题， 如果存在是一个与集合 E 中的点 x 有关的命题， 如果存在FE， 使， 使0mF = 且且( )x在在E F上恒成立，则称上恒成立，则称( )x在 E 上几乎处处成立，记为 在 E 上几乎处处成立，记为 ( ). .xaeE成立于。 例如：对于【0，1】上的蒂尼克雷函数，即在有理点处取 1 在无理点处取 0. 由于有理点集为零测集，所以 。 例如：对于【0，1】上的蒂尼克雷函数，即在有理点处取 1 在无理点处取 0. 由于有理点集为零测集，所以( ). .0,1D xae=0,于。 设 。 设( )( ), n fxf x均为可测集 E 上的实函数，若 均为可测集 E 上的实函数，若 ( )( )|0 n mE x fxfx= 不收敛于，则称，则称( ) n fx几乎处处收敛于几乎处处收敛于( )f x。 设 。 设( )f x为定义在可测集 E 上实函数， 若为定义在可测集 E 上