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数值试题 1 数值计算方法试题一数值计算方法试题一 一、填空题（每空 1 分，共 17 分） 1、如果用二分法求方程 04 3 xx 在区间 2 , 1 内的根精确到三位小数，需对分 （ ）次。 2、迭代格式 )2( 2 1 kkk xxx 局部收敛的充分条件是取值在（ ） 。 3、已知 31) 1() 1() 1( 2 1 10 )( 23 3 xcxbxax xx xS 是三次样条函数，则 a=( )，b=（ ） ，c=（ ） 。 4、 )(,),(),( 10 xlxlxl n 是以整数点 n xxx, 10 为节点的 Lagrange 插值基函数，则 n k k xl 0 )( ( )， n k kjk xlx 0 )( ( )，当 2n 时 )()3( 2 0 4 xlxx kk n k k ( )。 5、设 1326)( 247 xxxxf 和节点 , 2 , 1 , 0, 2/kkxk 则 , 10n xxxf 和 0 7 f 。 6、5 个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5 个节点的求积公式最高代数 精度为 。 7、 0 )( kk x 是区间 1 , 0 上权函数 xx )( 的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中 1)( 0 x ，则 1 0 4 )(dxxx 。 8、 给定方程组 221 121 bxax baxx ，a为实数， 当a满足 ， 且 20 时， SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 ( , ) () yf x y y xy 的改进欧拉法 ),(),( 2 ),( 0 111 0 1 nnnnnn nnnn yxfyxf h yy yxhfyy 是 阶方法。 10、设 1 10 01 aa a a A ，当 a （ ）时，必有分解式 T LLA，其中L为下三 角阵，当其对角线元素 )3 , 2 , 1( ilii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题 2 分） 1、解方程组 bAx 的简单迭代格式 gBxx kk )()1( 收敛的充要条件是（ ） 。 （1） 1)(A , (2) 1)(B , (3) 1)(A , (4) 1)(B 2、在牛顿-柯特斯求积公式： b a n i i n i xfCabdxxf 0 )( )()()( 中，当系数 )(n i C 是负值时， 公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1） 8n ， （2） 7n ， （3） 10n ， （4） 6n ， 3、有下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 数值试题 2 所确定的插值多项式的次数是（ ） 。 （1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次 4 、 若 用 二 阶 中 点 公 式 ),( 4 , 2 ( 1nnnnnn yxf h y h xhfyy 求 解 初 值 问 题 1)0(,2yyy ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（ ） 。 (1) 20 h , (2) 20 h , (3) 20 h , (4) 20 h 三、1、 （8 分）用最小二乘法求形如 2 bxay 的经验公式拟合以下数据： i x 19 25 30 38 i y 19.0 32.3 49.0 73.3 2、 （15 分）用 8n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算 dxe x 1 0 时， (1) (1) 试用余项估计其误差。 （2）用 8n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。 四、 1、（15 分） 方程 01 3 xx 在 5 . 1x 附近有根， 把方程写成三种不同的等价形式 （1） 3 1xx 对应迭代格式 3 1 1 nn xx ；(2) x x 1 1 对应迭代格式 n n x x 1 1 1 ； （3） 1 3 xx 对应迭代格式 1 3 1 nn xx 。判断迭代格式在 5 . 1 0 x 的收敛性，选一种收 敛格式计算 5 . 1x 附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立 Steffensen 迭 代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、 （8 分）已知方程组 fAX ，其中 41 143 34 A ， 24 30 24 f （1） （1） 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2） （2） 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出 SOR 迭代法。 五、1、 （15 分）取步长 1 . 0h ，求解初值问题 1)0( 1 y y dx dy 用改进的欧拉法求 ) 1 . 0(y 的 值；用经典的四阶龙格库塔法求 ) 1 . 0(y 的值。 2、 （8 分）求一次数不高于 4 次的多项式 )(xp 使它满足 )()( 00 xfxp , )()( 11 xfxp , )()( 00 xfxp , )()( 11 xfxp , )()( 22 xfxp 六、 （下列 2 题任选一题，4 分） 1、 1、 数值积分公式形如 1 0 ) 1 ()0() 1 ()0()()(fDfCBfAfxSdxxxf （1） （1） 试确定参数 DCBA, 使公式代数精度尽量高； （2）设 1 , 0)( 4 Cxf ，推导余项公式 1 0 )()()(xSdxxxfxR ，并估计误差。 2、 2、 用二步法 数值试题 3 ),()1 (),( 111101 nnnnnnn yxfyxfhyyy 求解常微分方程的初值问题 00) ( ),( yxy yxfy 时，如何选择参数 , 10 使方法阶数尽可能 高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二数值计算方法试题二 一、判断题： （共 16 分，每小题分） 、若A是 nn 阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使 LUA 唯一 成立。 （ ） 、当 8n 时，Newtoncotes 型求积公式会产生数值不稳定性。 （ ） 3、形如 )()( 1 i n i i b a xfAdxxf 的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次 数为 12 n 。 （ ） 、矩阵 210 111 012 A 的范数 2 A 。 （ ） 5、设 a a aa A 00 00 02 ，则对任意实数 0a ，方程组 bAx 都是病态的。 （用 ） （ ） 6、 设 nn RA ， nn RQ ， 且有 IQQT （单位阵） ， 则有 22 QAA 。（ ） 7、区间 ba, 上关于权函数 )(xW 的直交多项式是存在的，且唯一。 （ ） 8、对矩阵 A 作如下的 Doolittle 分解： 600 10 322 11 012 001 542 774 322 b a A ， 则 ba, 的值分别为 a 2， b 2。（ ） 二、填空题： （共 20 分，每小题 2 分） 1、设 102139)( 248 xxxxf ，则均差 2 ,2 ,2 810 f _， 3 ,3 ,3 910 f _。 2、设函数 )(xf 于区间 ba, 上有足够阶连续导数， bap, 为 )(xf 的一个m重零点， Newton 迭代公式 )( )( 1 k k kk xf xf mxx 的收敛阶至少是 _阶。 、区间 ba, 上的三次样条插值函数 )(xS 在 ba, 上具有直到_阶的连续导 数。 4、向量 T X)2, 1 ( ,矩阵 13 27 A ，则 1 AX _， )(Acond _。 数值试题 4 5、为使两点的数值求积公式： 1 1 10 )()()(xfxfdxxf 具有最高的代数精确度，则 其求积基点应为 1 x _， 2 x _。 6、设 nn RA ，AAT，则 )(A （谱半径）_ 2 A 。 （此处填小于、大于、 等于） 7、设 2 1 4 1 0 2 1 A ，则 k k Alim _。 三、简答题： （9 分） 1、 1、 方 程 x x24 在 区 间 2 , 1 内 有 唯 一 根 * x ， 若 用 迭 代 公 式 ： 2ln/ )4ln( 1kk xx ), 2 , 1 , 0(k ， 则其产生的序列 k x 是否收敛于 * x ？说明 理由。 2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？ 3、 3、 设 001. 0x ，试选择较好的算法计算函数值 2 cos1 )( x x xf 。 四、 （10 分）已知数值积分公式为： )()0()()0( 2 )( 2 0 hffhhff h dxxf h ，试确定积分公式中的参数，使 其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 五、 （8 分）已知求 )0(aa 的迭代公式为： 2 , 1 , 00)( 2 1 01 kx x a xx k kk 证明：对一切 axk k , 2 , 1 ，且序列 k x 是单调递减的， 从而迭代过程收敛。 六、 （9 分）数值求积公式 3 0 )2() 1 ( 2 3 )(ffdxxf 是否为插值型求积公式？为什么？其 代数精度是多少？ 七、 （9 分）设线性代数方程组 bAX 中系数矩阵A非奇异，X为精确解， 0b ，若向 量 X 是 bAX 的 一 个 近 似 解 ， 残 向 量 XAbr ， 证 明 估 计 式 ： b r Acond X XX )( （假定所用矩阵范数与向量范数相容） 。 八、(10 分)设函数 )(xf 在区间 3 , 0 上具有四阶连续导数，试求满足 下列插值条件的一个次数不超过 3 的插值多项式 )(xH ，并导出其余项。 i 0 1 2 i x 0 1 2 数值试题 5 )( i xf -1 1 3 )( i xf 3 九、(9 分)设 )(x n 是区间 ,ba 上关于权函数 )(xw 的直交多项式序列， ) 1, 2 , 1(nnixi 为 )( 1 x n 的零点， ) 1, 2 , 1)(nnixli 是 以 i x 为基 点的 拉格朗日 (Lagrange) 插 值基 函数 ， 1 1 )()()( n k kk b a xfAdxxwxf 为高斯型求积公式，证明： （1）（1）当 jknjk,0 时， 0)()( 1 1 ijik n i i xxA （2） b a jk jkdxxwxlxl)(0)()()( （3） 1 1 2 )()()( n k b a b a k dxxwdxxwxl 十、 （选做题 8 分） 若 )()()()( 101nn xxxxxxxxf ， ), 1 , 0(nixi 互异，求 , 10p xxxf 的值，其中 1 np 。 数值计算方法试题三数值计算方法试题三 一、 （24 分）填空题 (1) (1) (2 分)改变函数 f xxx( ) 1 (x 1)的形式，使计算结果较精确 。 (2) (2) (2 分)若用二分法求方程 0xf 在区间1,2内的根， 要求精确到第 3 位小 数，则需要对分 次。 (3) (3) (2 分)设 21 2 2 2 1 xx xx xf ，则 xf (4) (4) (3 分)设 21, 10,2 23 3 xcbxaxx xx xS 是 3 次样条函数，则 a= , b= , c= 。 (5) (5) (3 分)若用复化梯形公式计算 1 0 dxe x ，要求误差不超过 6 10 ，利用余项公 式估计，至少用 个求积节点。 (6) (6) (6 分)写出求解方程组 24 . 0 16 . 1 21 21 xx xx 的 Gauss-Seidel 迭代公式 ，迭代矩阵为 ， 此迭代法是否收敛 。 数值试题 6 (7) (7) (4 分)设 A 54 43 ,则 A ， CondA 。 (8) (8) (2 分)若用 Euler 法求解初值问题 10,10yyy ， 为保证算法的绝对 稳定，则步长 h 的取值范围为 二. (64 分) (1) (1) (6 分)写出求方程 1cos4xx 在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证 明其收敛性。 (2) (2) (12 分)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 115的近似值，并利用 余项估计误差。 (3) (3) (10 分)求 x exf 在区间0,1上的 1 次最佳平方逼近多项式。 (4) (4) (10 分)用复化 Simpson 公式计算积分 1 0 sin dx x x I 的近似值，要求误 差限为 5 105 . 0 。 (5) (5) (10 分)用 Gauss 列主元消去法解方程组： 2762 3453 2424 321 321 321 xxx xxx xxx (6) (6) (8 分)求方程组 1 2 5 11 21 31 2 1 x x 的最小二乘解。 (7) (7) (8 分)已知常微分方程的初值问题： 2) 1 ( 2 . 11, y xyxdxdy 用改进的 Euler 方法计算y( . ) 12 的近似值，取步长 2 . 0h 。 三(12 分，在下列 5 个题中至多选做 3 个题) (1) (1) (6 分)求一次数不超过 4 次的多项式 p(x)满足： 151 p ， 201p ， 301 p ， 572 p ， 722p (2) (2) (6 分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度： 1 2 1 10 1 0 fAfAdxxxf 数值试题 7 (3) (3) (6 分)用幂法求矩阵 11 110 A 的模最大的特征值及其相应的单位特征向 量， 迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05， 取特征向量的初始近似值 为 T0 , 1 。 (4) (4) (6 分)推导求解常微分方程初值问题 0 ,yaybxaxyxfxy 的形式为 1101 iiii ffhyy ,i=1,2,N 的公式，使其精度尽量高，其中 iii yxff, , ihaxi , i=0,1,N, Nabh (5) (5) (6 分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 0, 0 , 0 byay bxaxryxqyxpy 所得到的三对角线性方程组。 数值计算方法试题三数值计算方法试题三 一、 （24 分）填空题 (9) (1) (2 分)改变函数 f xxx( ) 1 (x 1)的形式，使计算结果较精确 。 (10) (2) (2 分)若用二分法求方程 0xf 在区间1,2内的根， 要求精确到第 3 位小 数，则需要对分 次。 (11) (3) (2 分)设 21 2 2 2 1 xx xx xf ，则 xf (12) (4) (3 分)设 21, 10,2 23 3 xcbxaxx xx xS 是 3 次样条函数，则 a= , b= , c= 。 (13) (5) (3 分)若用复化梯形公式计算 1 0 dxe x ，要求误差不超过 6 10 ，利用余项公 式估计，至少用 个求积节点。 (14) (6) (6 分)写出求解方程组 24 . 0 16 . 1 21 21 xx xx 的 Gauss-Seidel 迭代公式 ，迭代矩阵为 ， 此迭代法是否收敛 。 数值试题 8 (15) (7) (4 分)设 A 54 43 ,则 A ， CondA 。 (16) (8) (2 分)若用 Euler 法求解初值问题 10,10yyy ， 为保证算法的绝对 稳定，则步长 h 的取值范围为 二. (64 分) (8) (1) (6 分)写出求方程 1cos4xx 在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证 明其收敛性。 (9) (2) (12 分)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 115的近似值，并利用 余项估计误差。 (10) (3) (10 分)求 x exf 在区间0,1上的 1 次最佳平方逼近多项式。 (11) (4) (10 分)用复化 Simpson 公式计算积分 1 0 sin dx x x I 的近似值，要求误 差限为 5 105 . 0 。 (12) (5) (10 分)用 Gauss 列主元消去法解方程组： 2762 3453 2424 321 321 321 xxx xxx xxx (13) (6) (8 分)求方程组 1 2 5 11 21 31 2 1 x x 的最小二乘解。 (14) (7) (8 分)已知常微分方程的初值问题： 2) 1 ( 2 . 11, y xyxdxdy 用改进的 Euler 方法计算y( . ) 12 的近似值，取步长 2 . 0h 。 三(12 分，在下列 5 个题中至多选做 3 个题) (6) (1) (6 分)求一次数不超过 4 次的多项式 p(x)满足： 151 p ， 201p ， 301 p ， 572 p ， 722p (7) (2) (6 分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度： 1 2 1 10 1 0 fAfAdxxxf 数值试题 9 (8) (3) (6 分)用幂法求矩阵 11 110 A 的模最大的特征值及其相应的单位特征向 量， 迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05， 取特征向量的初始近似值 为 T0 , 1 。 (9) (4) (6 分)推导求解常微分方程初值问题 0 ,yaybxaxyxfxy 的形式为 1101 iiii ffhyy ,i=1,2,N 的公式，使其精度尽量高，其中 iii yxff, , ihaxi , i=0,1,N, Nabh (10) (5) (6 分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 0, 0 , 0 byay bxaxryxqyxpy 所得到的三对角线性方程组。 数值计算方法试题一答案数值计算方法试题一答案 一、一、填空题（每空 1 分，共 17 分） 1、 （ 10 ） 2、 （ )0 , 2 2 () 2 2 , 0( ） 3、a=( 3 )，b=（ 3 ） ，c=（ 1 ） 4、( 1 )、 ( j x )、( 3 24 xx ) 5、 6 、 25.236 4 945 2 6! 7 7 6、 9 7、 0 8、 1a 9、 2 10、 （ 2 2 , 2 2 ） 、 （ 0 ii l ） 二、二、选择题（每题 2 分） 1、 （(2)） 2、 （ （1） ） 3、 （ （1） ） 4、 （ （3） ） 三、1、 （8 分）解： , 1 2 xspan 2222 38312519 1111 T A 3 .730 .493 .320 .19 T y 解方程组 yAACA TT 其中 35296033391 33914 AAT 7 .179980 6 .173 yAT 解得： 0501025. 0 9255577. 0 C 所以 9255577. 0a ， 0501025. 0b 2、 （15 分）解： 001302. 0 768 1 8 1 12 1 )( 12 0 2 2 efh ab fRT )()(2)( 2 )8( 7 1 k k bfxfaf h T 数值试题 10 36787947. 0)41686207. 047236655. 05352614. 0 60653066. 07788008. 08824969. 0(21 16 1 6329434 . 0 四、1、 （15 分）解： （1） 3 2 1( 3 1 )( ）xx ， 118. 05 . 1）（ ，故收敛； （2） x x x 1 12 1 )( 2 ， 117. 05 . 1）（ ，故收敛； （3） 2 3)(xx ， 15 . 135 . 1 2 ）（ ，故发散。 选择（1） ： 5 . 1 0 x ， 3572. 1 1 x ， 3309. 1 2 x ， 3259. 1 3 x ， 3249. 1 4 x ， 32476. 1 5 x ， 32472. 1 6 x Steffensen 迭代： kkk kk kk xxx xx xx )(2)( )( 2 1 11211 )1( 33 3 2 3 kk kk k xx xx x 计算结果： 5 . 1 0 x ， 324899. 1 1 x ， 324718. 1 2 x 有加速效果。 2、 （8 分）解：Jacobi 迭代法： , 3 , 2 , 1 , 0 )24( 4 1 )330( 4 1 )324( 4 1 )( 2 )1( 3 )( 3 )( 1 )1( 2 )( 2 )1( 1 k xx xxx xx kk kkk kk Gauss-Seidel 迭代法： , 3 , 2 , 1 , 0 )24( 4 1 )330( 4 1 )324( 4 1 )1( 2 )1( 3 )( 3 )1( 1 )1( 2 )( 2 )1( 1 k xx xxx xx kk kkk kk 0 4 3 0 4 3 0 4 3 0 4 3 0 )( 1 ULDBJ ， 790569. 0) 4 10 ( 8 5 )(或 J B 数值试题 11 SOR 迭代法： , 3 , 2 , 1 , 0 )24( 4 )1 ( )330( 4 )1 ( )324( 4 )1 ( )1( 2 )( 3 )1( 3 )( 3 )1( 1 )( 2 )1( 2 )( 2 )( 1 )1( 1 k xxx xxxx xxx kkk kkkk kkk 五、1、 （15 分）解：改进的欧拉法： 095. 0905. 0),(),( 2 1 . 09 . 0),( )0( 111 )0( 1 nnnnnnn nnnnn yyxfyxf h yy yyxhfyy 所以 1) 1 . 0( 1 yy ； 经典的四阶龙格库塔法： ),( ) 2 , 2 ( ) 2 , 2 ( ),( 22 6 34 23 12 1 43211 hkyhxfk k h y h xfk k h y h xfk yxfk kkkk h yy nn nn nn nn nn 0 4321 kkkk ，所以 1) 1 . 0( 1 yy 。 2、 （8 分）解：设 )( 3 xH 为满足条件 1 , 0)()( )()( 3 3 ixfxH xfxH ii ii 的 Hermite 插值多项式， 则 2 1 2 03 )()()()(xxxxkxHxp 代入条件 )()( 22 xfxp 得： 2 12 2 02 232 )()( )()( xxxx xHxf k 六、 （下列 2 题任选一题，4 分） 1、解：将 32, , 1)(xxxxf 分布代入公式得： 20 1 , 30 1 , 20 7 , 20 3 DBBA 构造 Hermite 插值多项式 )( 3 xH 满足 1 , 0)()( )()( 3 3 ixfxH xfxH ii ii 其中 1, 0 10 xx 则有： 1 0 3 )()(xSdxxxH ， 22 )4( 3 ) 1( ! 4 )( )()(xx f xHxf dxxx f dxxSxfxxR 2 1 0 3 )4( 1 0 ) 1( ! 4 )( )()()( 1440 )( 60! 4 )( ) 1( ! 4 )( )4()4( 1 0 23 )4( ff dxxx f 2、解： 数值试题 12 )( ! 3 )( ! 2 )()()(1 ()( )( ! 3 )( ! 2 )()()( )( ! 3 )( ! 2 )()()( )4( 32 32 10 32 11, nnnnn nnnnn nnnnnnhn xy h xy h xyhxyxyh xy h xy h xyhxyxy xy h xy h xyhxyyxyR )()() 2 1 66 1 ()()1 22 1 ( )()11 ()()1 ( 41312 110 hOxyhxyh xyhxy nn nn 所以 01 22 1 0 01 1 1 10 2 3 0 1 1 0 主项： )( 12 5 3 n xyh 该方法是二阶的。 数值计算方法试题二答案数值计算方法试题二答案 一、一、判断题： （共 10 分，每小题分） 1、 （ ） 2、 （ ） 3、 （ ） 4、 （ ） 5、 （ ） 6、 （ ） 7、 （ ） 8、 （ ） 二、二、填空题： （共 10 分，每小题 2 分） 1、 ! 89 、0 2、_二_ 3、_二_4、_16 、90_5、 3 1 , 3 1 6、 = 7、0 三、三、简答题： （15 分） 1、 1、 解：迭代函数为 2ln/ )4ln()(xx 1 2ln 1 24 1 2ln 1 4 1 )( x x 2、 2、 答：Gauss 消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素 )(k kk a 全不为 0，如果 在消元过程中发现某个主元素为 0，即使 0)det(A ，则消元过程将无法进行；其 次，即使主元素不为 0，但若主元素 )(k kk a 的绝对值很小，用它作除数，将使该步消 元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度 受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素 )(k kk a =0 或 )(k kk a 很小的情况发生， 从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。 3、 3、 解： ) !2( ) 1( ! 4! 2 1cos 242 n xxx x n n ) !2( ) 1( ! 4! 2 cos1 2 1 42 n xxx x n n ) !2( ) 1( ! 4! 2 1 )( 22 1 2 n xx xf n n 四、四、解： 1)(xf 显然精确成立； 数值试题 13 xxf)( 时， 11 0 22 2 2 0 hh hh xdx h ； 2 )(xxf 时， 12 1 2 2 200 23 3 22 3 0 2 h h hhh hh dxx h ； 3 )(xxf 时， 30 12 1 0 24 223 4 0 3 hhh hh dxx h ； 4 )(xxf 时， 6 40 12 1 0 25 5 324 5 0 4 h hhh hh dxx h ； 所以，其代数精确度为 3。 五、五、证明： 2 , 1 , 02 2 1 )( 2 1 1 ka x a x x a xx k k k kk 故对一切 axk k , 2 , 1 。 又 1) 11 ( 2 1 )1 ( 2 1 2 1 kk k x a x x 所以 kk xx 1 ，即序列 k x 是单调递减有下界， 从而迭代过程收敛。 六、六、 解： 是。 因为 )(xf 在基点 1、 2 处的插值多项式为 )2( 12 1 ) 1 ( 21 2 )(f x f x xp 3 0 )2() 1 ( 2 3 )(ffdxxp 。其代数精度为 1。 七、七、证明：由题意知： rbXAbAX , rAXXrAXXrXXA 1 1 )( 又 b A X XAAXbbAX 1 所以 b A Acond b rAA X XX )( 1 。 八、解：设 )2)(1()()( 2 xxaxxNxH ) 1)(0( 2 1 21) 1)(0(2 , 1 , 0)0(1 , 0)0()( 2 xxxxxfxffxN 所以 )2)(1() 1( 2 1 21)(xxaxxxxxH 由 3)0( H 得： 4 1 a 数值试题 14 所以 13 4 5 4 1 )( 23 xxxxH 令 )()()(xHxfxR ，作辅助函数 )2)(1()()()()( 2 tttxktHtftg 则 )(tg 在 3 , 0 上也具有 4 阶连续导数且至少有 4 个零点： 21 , 0 ,，xt 反复利用罗尔定理可得： ! 4 )( )( )4( f xk ， )0)( )4( g 所以 )2)(1( ! 4 )( )2)(1()()()()( 2 )4( 2 xxx f xxxxkxHxfxR 九、九、证明：形如 )()()( 1 1 k b a n k k xfAdxxwxf 的高斯（Gauss）型求积公式具有 最高代数精度 2n+1 次，它对 )(xf 取所有次数不超过 2n+1 次的多项式均精确成立 1） 0)()()()()( 1 1 b a jkijik n i i dxxwxxxxA 2）因为 )(xli 是 n 次多项式，且有 ji ji xl ji 1 0 )( 所以 0)()()()()( 1 1 ijik b a n i ijk xlxlAdxxwxlxl ( jk ) 3）取 )()( 2 xlxf i ，代入求积公式：因为 )( 2 xli 是 2n 次多项式， 所以 iji b a n j ji AxlAdxxwxl 2 1 1 )()()( 1 1 1 1 2 )()()( n k b a b a n k kk dxxwAdxxwxl 故结论成立。 十、十、解： np xx xf xxxf p i p ij j ji i p 0 )( )( , 0 0 10 1 )!1( )( , )1( 110 n f xxxf n n 数值计算方法试题三答案 一.(24 分) (1) (2 分) xx xf 1 1 (2) (2 分) 10 (3) (2 分) 12 21 22 xx xx (4) (3 分) 3 -3 1 (5) (3 分) 477 数值试题 15 (6) (6 分) , 1 , 0, 4 . 02 6 . 11 1 1 1 2 2 1 1 k xx xx kk kk 64. 00 6 . 10 收敛 (7) (4 分) 9 91 (8) (2 分) h0.2 二. (64 分) (1) (6 分) nnn xxxcos1 4 1 1 ，n=0,1,2, 1 4 1 sin 4 1 xx 对任意的初值 1 , 0 0 x ,迭代公式都收敛。 (2) (12 分) 用 Newton 插值方法：差分表： 100 121 144 10 11 12 0.0476190 0.0434783 -0.0000941136 115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.7227555 2 5 8 3 xxf 00163. 029615100 8 3 6 1 144115121115100115 ! 3 2 5 f R (3) (10 分)设 xccxcxcx 212211 2 1 2 1 2212 2111 , , , , f f c c ， 1, 1 0 11 dx ， 2 1 , 1 0 21 xdx ， 3 1 , 1 0 2 22 dxx ， 1)exp(, 1 0 1 edxxf ， 1)exp(, 1 0 2 dxxxf 1 1 3121 211 2 1 e c c ， 690. 1 8731. 0 2 1 c c , xx690. 18731. 0 xeex618104 =0.873127+1.69031x (4) (10 分)