一元二次方程根与系数的关系（1）导学案 （新版新人教版）

1 / 15 一元二次方程根与系数的关系（ 1）导学案 （新版新人教版） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 m 第 6 课时一元二次方程根与系数的关系（ 1）教版 一、学习目标掌握一元二次方程根与系数的关系； 能运用一元二次方程根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数； 会求一元二次方程两根的倒数和与平方数、两根之差 二、知识回顾 1一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式为（） 2解一元二次方程的方法有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法 3一元二次方程根的情况与判别式的关系： （ 1）方程有两个不相等的实数根； （ 2）方程有两个相等的实数根； （ 3）方程没有实数根 三、新知讲解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 有两个实数根 x1， x2，那么，此定理又叫做韦达定理 在使用根与系数的关系时，应注意： 不是一般式的要先化成一般式； 2 / 15 在使用时，注意 “ -” 不要漏写； 能用韦达定理的前提条件是 . 一元二次方程根的分布 对于一元二次方程根的分布的讨论，通常有以下几种情况： 有两个正根的条件： （当 a0时，简化为）； 有两个负根的条件： （当 a0时，简化为）； 两根异号的条件： （当 a0时，简化为 c0）； 两根异号，且正根绝对值大的条件： （当 a0时，简化为）； 两根异号，且负根绝对值大的条件： （当 a0时，简化为） 四、典例探究 1不解方程求两个根之和与积 【例 1】不解方程，求方程 3x2+2=1 4x两根的和与积 总结：在使用根与系数的关系时，应注意： 不是一般式的要先化成一 般式； 前提条件是； 在使用时，注意 “ -” 不要漏掉 3 / 15 练 1（ XX碑林区校级模拟）方程 2x2 6x 5=0 的两根为 x1 与 x2，则 x1+x2和 x1x2的值分别是（ ） A 3 和 B 3 和 c 3 和 D 3 和 2已知一元二次方程的两根求系数 【例 2】（ XX 春 富阳市校级期末）关于 x 的方程 x2 px+q=0的两个根是 0 和 3，求 p 和 q 的值 总结：对于含有字母系数的一元二次方程，已知两根的值求字母系数的值，通常根据一元二次方程根与系数的关系求解，并用根的判别 式进行检验此方法要比直接将根代入求系数方便快捷得多 练 2（ XX枣庄）已知关于 x 的一元二次方程x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x1= 2， x2=4，则 m+n的值是（ ） A 10B 10c 6D 2 3已知一元二次方程的一个根求另一个根 【例 3】（ XX北塘区二模）已知一元二次方程 x26x+c=0 有一个根为 2，则另一根为 总结：已知含字母系数的一元二次方程的一根求另一根，一般有两种方法： 把已知根代入方程，求得字母的值，解一元二次方程求出 另一根； 4 / 15 （ 2）根据方程系数中的已知数，利用根与系数的关系，选用两根之和或两根之积，直接求另一根 练 3（ XX秋 秭归县校级期中）已知 2是一元二次方程 x2 4x c=0的一个根，求另一个根及 c 的值 4根据一元二次方程的系数判断两根的正负 【例 4】（ XX南汇区二模）方程 2x2+3x 5=0 的两根的符号（ ） A同号 B异号 c两根都为正 D两根都为负 总结： 不解方程判别根的符号，需要把 “ 根的判别式 ” 和 “ 根与系数的关系 ” 结合起来进行确定； 首先计算 判别式，看是大于 0 还是等于 0，如果是等于 0，则两根相等，同号； 如果判别式大于 0，则计算的值，如果，可判断方程的根为一正一负；如果，再计算的值，若为正，则两根同为正，若为负，则两根同为负 练 4（ XX秋 夷陵区校级月考）方程 ax2+bx c=0（ a 0、 b 0、 c 0）的两个根的符号为（ ） A同号 B异号 c两根都为正 D不能确定 五、课后小测一、选择题 1（ XX溧水县一模）一元二次方程 2x2 3x 5=0的两个实数根分别为 x1、 x2，则 x1+x2的值为（ ） 5 / 15 A B c D 2（ XX金华）一元二次方程 x2+4x 3=0 的两根为x1、 x2，则 x1x2 的值是（ ） A 4B 4c 3D 3 3（ XX浠水县校级模拟）已知 x1、 x2是方程 x2+3x 1=0的两根，则（ ） A x1+x2= 3 ， x1x2= 1B x1+x2= 3 ，x1x2=1 c x1+x2=3， x1x2= 1D x1+x2=3， x1x2=1 4（ XX衡阳） 若关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为 1，则另一个根为（ ） A 2B 2c 4D 3 5（ XX广西）已知实数 x1， x2满足 x1+x2=7， x1x2=12，则以 x1， x2为根的一元二次方程是（ ） A x2 7x+12=0B x2+7x+12=0c x2+7x 12=0D x2 7x 12=0 6（ XX平南县一模）一元二次方程 x2+px=2 的两根为 x1， x2，且 x1= 2x2，则 p 的值为（ ） A 2B 1c 1 或 1D 1 7（ XX东西湖区校级模拟）已知 x=2 是方程 x26x+m=0 的根，则该方程的另一根为（ ） A 2B 3c 4D 8 6 / 15 8关于方程式 49x2 98x 1=0 的解，下列叙述正确的是（ ） A无解 B有两正根 c有两负根 D有一正根及一负根 二、填空题 9（ XX滨湖区一模）已知方程 x2 5x+2=0的两个解分别为 x1、 x2，则 x1+x2的值为 10（ XX南京）已知方程 x2+mx+3=0 的一个根是 1，则它的另一个根是 ， m 的值是 11（ XX 春 遂宁校级期中）已知关于 x 的方程 x24x+2=0 的两个根是 m 和 n，则 mn= ， m+n= 三、解答题 12（ XX东莞模拟）已知一元二次方程 x2+px+q=0（ p2 4q0 ）的两个根 x1、 x2；求证： x1+x2= p， x1x2=q 13（ XX秋 番禺区校级月考）已知方程 x2 kx 6=0的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值 14（ XX防城港）已知关于 x 的方程 x2+x+n=0 有两个实数根 2， m求 m， n 的值 7 / 15 典例探究答案： 【例 1】不解方程，求方程 3x2+2=1 4x两个根的和与积 分析：先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解 解答：解：设 x1， x2是方程的两实数根， 方程化为一般式为 3x2+4x+1=0， 根据题意得， x1+x2=， x1x2= 点评：本题考查了根与系数的关系：若 x1， x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）的两根时， x1+x2=， x1x2= 练 1（ XX碑林区校级模拟）方程 2x2 6x 5=0 的两根为 x1 与 x2，则 x1+x2和 x1x2的值分别是（ ） A 3 和 B 3 和 c 3 和 D 3 和 分析：根据根与系数关系，已知方程 2x2 6x 5=0 的两根为 x1与 x2 x1+x2=； x1x2=即可 解答：解：已知方程为 2x2 6x 5=0的两根为 x1与 x2， 根据根与系数的关系： x1+x2=3； x1x2= 故选 D 点评：本题主要考查根与系数关系，已知系数确定根的相关问题，属于基础题，关键熟练掌握 x1， x2是方程 x2+px+q=0的两根时， x1+x2= p， x1x2=q 【例 2】（ XX 春 富阳市校级期末）关于 x 的方程 x2 px+q=0的两个根是 0 和 3，求 p 和 q 的值 8 / 15 分析：根据根与系数的关系得到 0 3=p， 0 （ 3） =q，然后解两个方程即可 解答：解：根据题意得 0 3=p， 0 （ 3） =q， 所以 p= 3， q=0 点评：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）的根与系数的关系 练 2（ XX枣庄）已知关于 x 的一元二次方程x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x1= 2， x2=4，则 m+n的值是（ ） A 10B 10c 6D 2 分析：根据根与系数的关系得出 2+4= m， 24=n ，求出即可 解答：解： 关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0的两个实数根分别为 x1= 2， x2=4， 2+4= m， 24=n ， 解得： m= 2， n= 8， m+n= 10， 故选 A 点评：本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出 2+4= m， 24=n 是解此题的关键 【例 3】（ XX北塘区二模）已知：一元二次方程 x2 6x+c=0有一个根为 2，则另一根为 9 / 15 分 析：设方程另一根为 t，根据根与系数的关系得到 2+t=6，然后解一次方程即可 解答：解：设方程另一根为 t， 根据题意得 2+t=6， 解得 t=4 故答案为 4 点评：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）的根与系数的关系 练 3（ XX秋 秭归县校级期中）已知 2是一元二次方程 x2 4x c=0的一个根，求另一个根及 c 的值 分析：设方程另一个根为 x1，先利用两根之和计算出 x1，然后利用两根之积求出 c 的值 解答：解：设方程另一个根为 x1， 根据题意得 x1+2 =4， x1（ 2） =c， x1=2+ ， c= （ 2）（ 2+） =4 3=1 点评：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）的根与系数的关系：若方程两个为 x1， x2，则 x1+x2=，x1x2= 【例 4】（ XX南汇区二模）方程 2x2+3x 5=0 的两根的符号（ ） A同号 B异号 c两根都为正 D两根都为负 10 / 15 分析：根据一元二次方程根与系数的关系，得到方程的两根之和与两根之积，再进一步结合有理数的运算法则进行分析 解答：解：设方程的两 根是 a， b，根据一元二次方程根与系数的关系，得 a+b= 0， ab= 0， 根据两数的积为负数，则两数必异号，则 a， b 异号 故选 B 点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，同时能够结合有理数的运算法则判断方程的两根的符号 练 4（ XX秋 夷陵区校级月考）方程 ax2+bx c=0（ a 0、 b 0、 c 0）的两个根的符号为（ ） A同号 B异号 c两根都为正 D不能确定 分析：首先由 =b2+4ac 0，可知方程有两个不等的实数根，再由 x1x2= 0 可知两根异号 解答：解： ax2+bx c=0（ a 0、 b 0、 c 0）， =b2+4ac 0， 方程有两个不等的实数根， 设方程 ax2+bx c=0（ a 0、 b 0、 c 0）的两个根为 x1，x2， x1x2= 0， 两根异号 11 / 15 故选 B 点评：本题考查了根与系数的关系： x1， x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0 ）的两根时， x1+x2=， x1x2=同时考查了根的判别式 课后小测答案： 一、选择题 1（ XX溧水县一模）一元二次方程 2x2 3x 5=0的两个实数 根分别为 x1、 x2，则 x1+x2的值为（ ） A B c D 解：根据题意得 x1+x2= = 故选 D 2（ XX金华）一元二次方程 x2+4x 3=0 的两根为x1、 x2，则 x1x2 的值是（ ） A 4B 4c 3D 3 解： x1x2= 3 故选 D 3（ XX浠水县校级模拟）已知 x1、 x2是方程 x2+3x 1=0的两根，则（ ） A x1+x2= 3 ， x1x2= 1B x1+x2= 3 ，x1x2=1 c x1+x2=3， x1x2= 1D x1+x2=3， x1x2=1 解： x1 、 x2是方程 x2+3x 1=0的两根， 12 / 15 x1+x2= 3， x1x2= 1 故选 A 4（ XX衡阳）若关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为 1，则另一个根为（ ） A 2B 2c 4D 3 解：设一元二次方程的另一根为 x1， 则根据一元二次方程根与系数的关系， 得 1+x1= 3， 解得： x1= 2 故选 A 5（ XX广 西）已知实数 x1， x2满足 x1+x2=7， x1x2=12，则以 x1， x2为根的一元二次方程是（ ） A x2 7x+12=0B x2+7x+12=0c x2+7x 12=0D x2 7x 12=0 解：以 x1， x2 为根的一元二次方程 x2 7x+12=0， 故选： A 6（ XX平南县一模）一元二次方程 x2+px=2 的两根为 x1， x2，且 x1= 2x2，则 p 的值为（ ） A 2B 1c 1 或 1D 1 解： 一元二次方程 x2+px=2，即 x2+px 2=0的两根为 x1，x2， x1+x2= p， x1x2= 2， 13 / 15 又 x1= 2x2， x2=1 ， 当 x2=1时， x1= 2， p=1； 当 x2= 1 时， x1=2， p= 1 故选 c 7（ XX东西湖区校级模拟）已知 x=2 是方程 x26x+m=0 的根，则该方程的另一根为（ ） A 2B 3c 4D 8 解：设关于 x 的方程 x2 6x+m=0的另一个根是 t， 由根与系数的关系得出： t+2=6， 则 t=4 故选： c 8关于方程式 49x2 98x 1=0 的解，下列叙述正确的是（ ） A无 解 B有两正根 c有两负根 D有一正根及一负根 解：由判别式 0，知方程有两个不相等的实数根， 又由根与系数的关系，知 x1+x2= =2 0， x1x2= 0， 所以有一正根及一负根 故选 D 二、填空题 14 / 15 9（ XX滨湖区一模）已知方程 x2 5x+2=0的两个解分别为 x1、 x2，则 x1+x2的值为 5 解： 方程 x2 5x+2