线性插值与二次插值公式ppt课件

插值计算引例代数多项式插值问题线性插值与二次插值公式Lagrange插值公式,第四章数据插值方法,1,2,误差函数,x00.50001.00001.50002.00002.50003.0000,y00.52050.84270.96610.99530.99961.0000,当x(0.5,1)时,当x(1,1.5)时,3,实际问题中遇到的函数f(x)有的表达式复杂，有的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到一种简单函数p(x)，能近似描述函数f(x)的变化规律，又便于处理。把这个函数p(x)称作f(x)的近似函数。近似函数p(x)可以是代数多项式或三角多项式，也可以是有理分式等等。p(x)选不同类型的函数，近似的效果不同，由于代数多项式结构简单，常取p(x)为代数多项式。如果要求近似函数p(x)取给定的离散数据，则称p(x)为f(x)的插值函数。,4,多项式插值问题的一般提法,设f(x)Ca,b,已经点xia,b上的函数值f(xi),(i=p0,p1,pn)和点xj上的导数值f(kj)(xj),(j=q0,q1,qm)，其中kj为小于或等于n+m+1的任意正整数。要求：作一个次数不超过n+m+1的代数多项式p(x)P(x)=a0+a1x+an+m+1xn+m+1使P(xi)=f(xi),(i=p0,p1,pn)P(kj)(xj)=f(kj)(xj),(j=q0,q1,qn)成立则称P(x)为f(x)的插值函数。xi和xj称作插值节点a,b为插值区间。,5,上述问题称作代数多项式插值问题,6,7,已知f(x)在点xi上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,2,n)，求一个次数不超过n的插值多项式。,则称(4.1)为满足插值条件(4.2)的拉格朗日插值。,Ln(x)=a0+a1x+anxn(4.1)满足:Ln(xi)=yi(k=0,1,n)(4.2),设f(x)Ca,b,取点ax0x1xnb,拉格朗日插值,拉格朗日插值及其存在唯一性,8,点,则满足插值条件Ln(xi)=yi(k=0,1,n)的n次插值多项式Ln(x)=a0+a1x+anxn存在而且是唯一的。,定理4.1若插值结点x0,x1,xn是(n+1)个互异,9,方程组系数矩阵取行列式,这是范德蒙行列式且不等于0。故方程组有唯一解.从而插值多项式P(x)存在而且是唯一的.,10,构造3次多项式L3(x)逼近Erf(x),设L3(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,令L3(xi)=Erf(xi),得,求解,得a0=0,a1=1.293,a2=-0.5099,a3=0.0538所以,L3(x)=1.293x0.5099x2+0.0538x3,11,MATLAB计算程序x=0:.6:1.8;y=erf(x);x=x;y=y;A=ones(4,1)xx.2x.3;p=Ay;a0=p(1);a1=p(2);a2=p(3);a3=p(4);t=0:.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.2+a3*t.3;plot(x,y,o,t,u),12,由过两点直线方程,得,化为等价形式,求满足:L1(x0)=y0,L1(x1)=y1的线性插值多项式L1(x),n=1线性插值问题已知函数表,拉格朗日插值的基函数构造法,13,记,当x0xx1时，0l0(x)1,0l1(x)1,y0y1=10y0+01y1,把l0(x)、l1(x)称作线性插值基函数,14,n=2二次插值问题,已知函数表,求二次插值(抛物插值)多项式L2(x)=a0+a1x+a2x2满足:L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2,y0y1y2=100y0+010y1+001y2,仿照线性插值的基函数构造法，可令L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2,15,二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，,把l0(x)、l1(x)、l2(x)称作二次插值基函数,16,Lagrange插值公式,插值条件:Ln(xi)=yi(i=0,1,n),其中,第i(i=0,1,，n)个插值基函数,即:,17,18,两点线性插值,定义误差余项:R1(x)=f(x)L1(x),由插值条件,令R1(x)=C(x)(xx0)(xx1),即f(x)L1(x)=C(x)(xx0)(xx1),C(x)=?,Lagrange插值的误差余项,19,ax0x1xnb则对任何xa,b,满足Ln(xi)=f(xi)的n次插值多项式Ln(x)的误差,定理5.2设f(x)Ca,b,且f(x)在(a,b)内具有n+1阶导数,取插值结点,20,证记n+1(x)=(xx0)(xx1)(xxn),Rn(x)f(x)Ln(x)=C(x)n+1(x),取定x(a,b),设t(a,b).构造函数,显然,F(x)=0,F(xj)=0,(j=0,1,n),由插值条件Ln(xi)=f(xi)(k=0,1,n)存在C(x)，令,21,F(t)有(n+2)个相异零点.