2018-2019学年高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2课后习题新人教A版必修4.doc

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课后篇巩固探究A组基础巩固1.向量a=(-1,2),b=(1,3),下列结论正确的是()A.abB.abC.a(a-b)D.a(a-b)解析由a-b=(-2,-1),易得a(a-b)=0,故a(a-b),选D.答案D2.若a=(3,4),则与a共线的单位向量是()A.(3,4)B.35,45C.35,45或-35,-45D.(1,1)解析与a共线的单位向量是a|a|=15(3,4),即与a共线的单位向量是35,45或-35,-45.答案C3.若平面向量a=(3,x),b=(1,2),向量a在b方向上的射影等于5,则x的值等于()A.2B.6C.1D.-2解析依题意有ab|b|=3+2x5=5,解得x=1.答案C4.在平行四边形ABCD中,AB=(1,0),AC=(2,2),则ADBD等于()A.4B.-4C.2D.-2解析如图,由向量的加减,可得AD=BC=AC-AB=(1,2),BD=AD-AB=AC-AB-AB=AC-2AB=(0,2).故ADBD=(1,2)(0,2)=0+4=4.答案A5.导学号68254087在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则AEAF的取值范围是()A.2,14B.0,12C.0,6D.2,8解析如图,A(0,0),E(23,1),设F(x,2)(0x23),所以AE=(23,1),AF=(x,2),因此AEAF=23x+2,设f(x)=23x+2(0x23),f(x)为增函数,则f(0)=2,f(23)=14,故2f(x)14,AEAF的取值范围是2,14.答案A6.设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|=()A.5B.10C.25D.10解析向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b=(3,-1),故有|a+b|=32+(-1)2=10,故选B.答案B7.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45,则y=.解析ab=-1+3y,|a|=10,|b|=1+y2,a与b的夹角为45,cos 45=ab|a|b|=-1+3y101+y2=22.解得y=2或y=-12(舍去).答案28.已知单位向量a与向量b=(1,-1)的夹角为45,则|a-b|=.解析由已知得|a|=1,|b|=2,ab=|a|b|cos 45=1,于是|a-b|=(a-b)2=|a|2-2ab+|b|2=1.答案19.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xR).(1)若ab,求|a-b|;(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.解(1)因为ab,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),所以a-b=(2,-4),则|a-b|=25.综上,|a-b|=2或25.(2)因为a与b的夹角为锐角,所以ab0,即2x+3-x20,解得-1x3.又当x=0时ab,故x的取值范围是(-1,0)(0,3).10.已知向量a=(1,2),b=(cos ,sin ),设m=a+tb(tR).(1)若=4,求当|m|取最小值时实数t的值;(2)若ab,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为4?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.解(1)当=4时,b=22,22,ab=322,|m|=(a+tb)2=5+t2+2tab=t2+32t+5=t+3222+12,当t=-322时,|m|取得最小值.(2)假设存在满足条件的实数t.由条件得cos4=(a-b)(a+tb)|a-b|a+tb|,ab,|a-b|=(a-b)2=6,|a+tb|=(a+tb)2=5+t2,(a-b)(a+tb)=5-t,5-t65+t2=22.t2+5t-5=0,且t5,得t=-5352.存在t=-5352满足条件.11.已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.解因为AB=(4,0)-(1,2)=(3,-2),DC=(8,6)-(5,8)=(3,-2),所以AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形.因为AD=(5,8)-(1,2)=(4,6),所以ABAD=34+(-2)6=0,所以ABAD,所以四边形ABCD是矩形.因为|AB|=13,|AD|=213,|AB|AD|,所以四边形ABCD不是正方形.综上,四边形ABCD是矩形.B组能力提升1.已知O为坐标原点,向量OA=(3sin ,cos ),OB=(2sin ,5sin -4cos ),32,2,且OAOB,则tan 的值为()A.-43B.-45C.45D.34解析由题意知6sin2+cos (5sin -4cos )=0,即6sin2+5sin cos -4cos2=0,等式两边同时除以cos2,得6tan2+5tan -4=0,由于32,2,所以tan 0,解得tan =-43,故选A.答案A2.已知在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足BA+BC=2BP,则PCPD=()A.-2B.-1C.-2D.-22解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为ADBC,ABC=90,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以BA=(0,2),BC=(2,0),因为BA+BC=2BP,所以2BP=(0,2)+(2,0)=(2,2),故BP=(1,1),故P(1,1),PD=(0,1),PC=(1,-1),所以PCPD=01+1(-1)=-1.答案B3.已知向量a=(3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab=3,则b=.解析设b=(x,y).|b|=x2+y2=1,x2+y2=1.ab=3x+y=3,x2+3(1-x)2=1.4x2-6x+2=0.2x2-3x+1=0.x1=1,x2=12,y1=0,y2=32.(1,0)是与x轴平行的向量,b=12,32.答案12,324.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)c的取值范围是()A.0,1B.-1,1C.-3,3D.0,3解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=3,设a-b与c的夹角为,则(a-b)c=|a-b|c|cos =3cos ,cos -1,1,(a-b)c的取值范围为-3,3.答案C5.导学号68254088已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:ABAD;(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.(1)证明A(2,1),B(3,2),D(-1,4),AB=(1,1),AD=(-3,3).又ABAD=1(-3)+13=0,ABAD,ABAD.(2)解ABAD,四边形ABCD为矩形,AB=DC.设点C的坐标为(x,y),则DC=(x+1,y-4).又AB=(1,1),x+1=1,y-4=1,解得x=0,y=5.点C的坐标为(0,5).AC=(-2,4),BD=(-4,2),|AC|=25,|BD|=25,ACBD=8+8=16.设AC与BD的夹角为,则cos =ACBD|AC|BD|=162525=45.故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.6.如图,在ABC中,ABAC=0,|AB|=8,|AC|=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.(1)求ADCB的值;(2)判断AECB的值是否为一个常数,并说明理由.解(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系,由题意易知|BC|