2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷及答案.docx

2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1（4分）计算的结果是 2（4分）已知集合A=1，2，m，B=3，4，若AB=3，则实数m= 3（4分）已知，则= 4（4分）若行列式，则x= 5（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6（4分）在的二项展开式中，常数项等于 7（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是 8（5分）数列an的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（nN*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则an= 9（5分）在ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为 10（5分）抛物线y2=8x的焦点与双曲线y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 11（5分）已知函数，xR，设a0，若函数g（x）=f（x+）为奇函数，则的值为 12（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数的取值范围为 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限14（5分）给出下列函数：y=log2x；y=x2；y=2|x|；y=arcsinx其中图象关于y轴对称的函数的序号是（）ABCD15（5分）“t0”是“函数f（x）=x2+txt在（，+）内存在零点”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件16（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，=0，=0，用S1、S2、S3分别表示ABC、ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是（）AB2C4D8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）19（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且BA（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数20（16分）设直线l与抛物线：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQAB，求点Q的轨迹方程21（18分）若数列A：a1，a2，an（n3）中（1in）且对任意的2kn1，ak+1+ak12ak恒成立，则称数列A为“U数列”（1）若数列1，x，y，7为“U数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U数列”A：a1，a2，an中，a1=1，an=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U数列”A：a1，a2，记，其中maxx1，x2，xs表示x1，x2，xs这s个数中最大的数，求M的最小值2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1（4分）计算的结果是1【解答】解：当n+，0，=1，故答案为：12（4分）已知集合A=1，2，m，B=3，4，若AB=3，则实数m=3【解答】解：集合A=1，2，m，B=3，4，AB=3，实数m=3故答案为：33（4分）已知，则=【解答】解：，=故答案为：4（4分）若行列式，则x=2【解答】解：，22x14=0即x1=1x=2故答案为：25（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y=6【解答】解：一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式 ，解得 x=4，y=2，x+y=6故答案为：66（4分）在的二项展开式中，常数项等于160【解答】解：展开式的通项为Tr+1=x6r（）r=（2）r x62r令62r=0可得r=3常数项为（2）3=160故答案为：1607（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是【解答】解：基本事件共66个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P=故答案为：8（5分）数列an的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（nN*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则an=2n1【解答】解：由题意得n=log2（Sn+1）sn=2n1n2时，an=snsn1=2n2n1=2n1，当n=1时，a1=s1=211=1也适合上式，数列an的通项公式为an=2n1；故答案为：2n19（5分）在ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为【解答】解：在ABC中，sinA、sinB、sinC依次成等比数列，sin2B=sinAsinC，利用正弦定理化简得：b2=ac，由余弦定理得：cosB=（当且仅当a=c时取等号），则B的范围为（0，即角B的最大值为故答案为：10（5分）抛物线y2=8x的焦点与双曲线y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0）与双曲线y2=1的左焦点重合，a2+1=4，解得a=，双曲线的渐近线方程为y=，这条双曲线的两条渐近线的夹角为，故答案为：11（5分）已知函数，xR，设a0，若函数g（x）=f（x+）为奇函数，则的值为【解答】解：函数，=，=s，函数g（x）=f（x+）=为奇函数，则：（kZ），解得：，故答案为：12（5分）已知点C、D是椭圆上的两个动点，且点M（0，2），若，则实数的取值范围为【解答】解：假设CD的斜率存在时，设过点M（0，2）得直线方程为y=kx+2，联立方程，整理可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，设C（x1，y1），N（x2，y2），则=（16k）24（1+4k2）120，整理得k2，x1+x2=，x1x2=，（*）由，可得，x1=x2代入到（*）式整理可得=，由k2，可得4，解可得3且1，当M和N点重合时，=1，当斜率不存在时，则D（0，1），C（0，1），或D（0，1），C（0，1），则=或=3实数的取值范围故答案为：二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：=，复数对应的点的坐标为（1，2），位于第三象限故选：C14（5分）给出下列函数：y=log2x；y=x2；y=2|x|；y=arcsinx其中图象关于y轴对称的函数的序号是（）ABCD【解答】解：y=log2x的定义域为（0，+），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；y=x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件y=arcsinx是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件，故选：B15（5分）“t0”是“函数f（x）=x2+txt在（，+）内存在零点”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【解答】解：t0=t2+4t0函数f（x）=x2+txt在（，+）内存在零点，函数f（x）=x2+txt在（，+）内存在零点=t2+4t0t0或t4“t0”是“函数f（x）=x2+txt在（，+）内存在零点”的充分非必要条件故选：A16（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，=0，=0，用S1、S2、S3分别表示ABC、ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是（）AB2C4D8【解答】解：设AB=a，AC=b，AD=c，因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2=4R2=4 所以SABC+SACD+SADB=（ab+ac+bc ）（a2+b2+c2）=2即最大值为：2故选：B三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y=x（l3x）；由x0，且l3x0，可得函数的定义域为（0，l）；（2）y=x（l3x）=3x（13x）（）2=，当x=时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l3x=l，最大面积为18（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【解答】（本题满分（14分），第1小题满分（7分），第2小题满分7分）解：（1）由题意，OASB=15，解得BS=5，（2分）故（4分）从而体积（7分）（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH由P是SB的中点知PHSO，则APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角（10分）SO平面OAB，PH平面OAB，PHAH在OAH中，由OAOB，得，（11分）在RtAPH中，AHP=90 O，（12分）则，异面直线SO与PA所成角的大小（14分）19（14分）已知函数的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且BA（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数【解答】解：（1）令，解得1x1，所以A=（1，1），因为BA，所以，解得1a0，即实数a的取值范围是1，0；（2）证明：函数f（x）的定义域A=（1，1），定义域关于原点对称，f（x）=ln=ln（）1=ln=f（x），而，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数20（16分）设直线l与抛物线：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQAB，求点Q的轨迹方程【解答】解：（1）根据题意，抛物线的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y24my4b=0的两根为y1、y2=16（m2+b）0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m）因为kABkCM=1，所以，得b=32m2所以=16（m2+b）=16（3m2）0，得0m23因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y24my4b=0的两根为y1、y2=16（m2+b）0，y1+y2=4m，y1y2=4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQAB，所以（x0），综上，点Q的轨迹方程为x24x+y2=021（18分）若数列A：a1，a2，an（n3）中（1in）且对任意的2kn1，ak+1+ak12ak恒成立，则称数列A为“U数列”（1）若数列1，x，y，7为“U数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U数列”A：a1，a2，an中，a1=1，an=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U数列”A：a1，a2，记，其中maxx1，x2，xs表示x1，x2，xs这s个数中最大的数，求M的最小值【解答】解：（1）x=1时，所以y=2或3；x=2时，所以y=4；x3时，无整数解；所以所有可能的x，y为，或（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：ak+1+ak12akak+1akakak1对任意的1in1，令bi=ai+1ai，则biZ且bkbk1（2kn1），故bkbk1+1对任意的2kn1恒成立（*）当a1=1，an=2017时，注意到b1=a2a111=0，得（2in1）即bii1，此时ana1=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）=bn1+bn2+b10+1+2+（n2）=，（*）即，解得：62n65，故n65另一方面，为使（*）取到等号，所以取bi=i1（1i64），则对任意的2k64，bkbk1，故数列an为“U数列”，此时由（*）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意 综上，n的最大值为65 （3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m2，mN*）时，一方面：由（*）式，bk+1bk1，bm+kbk=（bm+kbm+