初二数学知识点梳理：勾股定理.docx

初二数学知识点梳理：勾股定理知识点总结一、勾股定理：勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为，那么a2+b2=2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；（2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。4勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。二、勾股定理的逆定理逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，满足a2+b2=2，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，为三边的三角形是直角三角形；（2）定理中a，b，及a2+b2=2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，满足a2+b2=，那么以a，b，为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b2利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。常见考法（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）应用勾股定理建立方程；（3）实际问题中应用勾股定理及其逆定理。误区提醒（1）忽略勾股定理的适用范围；（2）误以为直角三角形中的一定是斜边。【典型例题】（XX湖北孝感）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。定理表述请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；尝试证明以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；知识拓展勾股定理一、勾股定理概述直角三角形中，两直边的平方和等于斜边的平方。即令直角三角形AB中，其中角=90，直边B的长度为a，A的长度为b，斜边AB的长度为,则有a²+b²=²勾股定理应用的前提是这个三角函数必须是直角三角形，解题时，只能是同一直角三角形中时，才能利用它求第三边边长在式子a²+b²=²中，a、b代表直角三角形的两条直角边，代表斜边，它们之间的关系不能弄错遇到直角三角形中线段求值问题（知识点详解见解直角三角形），要首先向到勾股定理，勾股定理把“数”与“形”有机结合起来，把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是属性结合思想方法的典型。勾股定理的变式在RtAB中，其中角=90，直边B的长度为a，A的长度为b，斜边AB的长度为，则²=a²+b²a²=²-b²=（-b）b²=²-a²=根号下（a²+b²）a=根号下（²-b²）b=根号下（²-a²）二、勾股定理证明方法面积法一个直角梯形由2个直角边分别为a、b，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成。因为三个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式/22+2*1/2ab=/2，化简2=a2+b22赵爽证明法以a、b为直角边（b>a），以为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1/2ab把这四个直角三角形拼成如图所示形状RtDAHRtABE,HDA=EABHAD+HAD=90&rd;，EAB+HAD=90&rd;，ABD是一个边长为的正方形，它的面积等于2EF=FG=GH=HE=ba,HEF=90&rd;EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于24*1/2ab+2=2a2+b2=2三、勾股定理的逆定理如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。勾股定理的逆定理是识别一个三角形是直角三角形的一种理论依据，它通过数形结合来确定三角形的形状，在运用这一定理时，可以用两短边的平方和a²+b²与较长边的平方²做