2019年中考数学复习第三章函数与图象3.3反比例函数（讲解部分）素材.pdf

反比例函数 考点一 反比例函数的图象与性质 反比例函数的定义 如果两个变量 、 之间的关系可以表示为 （，且 为常数），那么称 是 的反比例函数它的图象叫 双曲线 反比例函数的图象与性质 表达式 （， 为常数） 图象 所在象限 第一、三 象限第二、四象限 增减性 在每个象限内， 随 的增 大而 减小 在每个象限内， 随 的增 大而增大 （） 时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，并且在 每一个象限内， 随 的增大而减小；当 ，时，； 当 时， （） 时，图象的两个分支分别位于第二、四象限，并且在 每一个象限内， 随 的增大而增大；当 ，时，； 当 时， 反比例函数解析式的确定用待定系数法 反比例函数 的几何意义 矩形 （为 关 于原点的对称点） 考点二 反比例函数与一次函数的综合应用 求函数解析式 一般先通过一个已知点求出反比例函数解析式，再由反比 例函数的解析式求出另一个交点的坐标，再将这两点的坐标代 入一次函数的解析式中，解方程（组）即可 求交点坐标 将一次函数的解析式与反比例函数的解析式联立成方程组 求解即可；对于正比例函数与反比例函数，其均关于原点对称， 只要知道一个交点的坐标，就可以求出其关于原点对称的另一 个交点的坐标 求面积 当有一边在坐标轴上时，通常将坐标轴上的边作为底边， 再利用点的坐标求得底边上的高，然后利用面积公式求解； 当两边均不在坐标轴上时，一般可采用割补法将其转化 为一边在坐标轴上的两个三角形面积的和或差来求解 此外，求面积时要充分利用“数形结合”的思想，即用“坐 标”求“线段”，用“线段”求“坐标” 比较两个函数值的大小，求自变量的取值范围 分区：过两函数图象的交点分别作 轴的平行线，连同 轴，将平面分为、四部分，如图 观察函数图象找答案：根据函数图象上方的值总比函数 图象下方的值大，在各区域内找相应的 的取值范围 、区域内： ，自变量的取值范围为 或 ； 、区域内： ，自变量的取值范围为 或 考点三 反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际应用问题的关键是根据题意找出成 反比例的两个量，进而建立数学模型，解决问题基本步骤如下： （）审题：弄清题意，分清条件和结论，收集数据，作出散点 图，通过观察图象判断问题所适用的函数模型 （）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立 相应的数学模型 （）解模：求解数学模型，得出数学结论 （）还原：将用数学知识和方法得出的结论还原成实际问题 的意义 方法一 一次函数与反比例函数的综合 这类问题常有以下四种主要题型： （）利用 值与图象的位置关系，综合确定系数符号或图象 位置解题策略：分 和 两种情况考虑 （）已知直线与双曲线的表达式求交点坐标解题策略：联 立直线与双曲线的方程组成方程组求解 （）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式解题策略： 待定系数法 （）应用函数图象的性质比较一次函数值与反比例函数值 的大小解题策略：看图象，以两个图象的交点为界，图象在上方 第三章 函数与图象 的函数值比图象在下方的要大 例 （ 内蒙古巴彦淖尔， 分）如图，四边形 为正方形，点 的坐标为（，），点 的坐标为（，），反比例 函数 的图象经过点 ，一次函数 的图象经过 ， 两点 （）求反比例函数与一次函数的解析式； （）求反比例函数与一次函数的另一个交点 的坐标； （）若点 是反比例函数图象上的一点， 的面积恰好 等于正方形 的面积，求 点的坐标 解析 （） 点 的坐标为 （，）， 点 的坐标为 （，）， 四边形 为正方形， ， （，） 把 （，）代入 ，得 （） ， 反比例函数的解析式为 把 （，），（，）代入 ，得 ， ， 解得 ， 一次函数的解析式为 （）解方程组 ， ， 得 ， 或 ， ， 点的坐标为（，） （）设 ， ()， 的面积恰好等于正方形 的面积， ，解得 或 ， 点的坐标为 ， ()或 ， () 思路分析 （）先求出 点坐标，再运用待定系数法求解 即可（） 联立反比例函数与一次函数的表达式，解之即可 （）设 ， ()，则 到 的距离为，则 ，根据 的面积等于正方形 的面积即可求出 ， 从而求出 的坐标 方法指导 求反比例函数与一次函数的交点坐标，只需 把两个函数关系式联立成方程组求解即可 变式训练 如图，函数 的图象与函数 （ ）的图象交于 、 两点，与 轴交于 点，已知 点坐标为（， ）， 点坐标为（，） （）求函数 的表达式和 点坐标； （）观察图象，比较当 时 与 的大小 解析 （）由直线过 、 两点得 ， ， 解得 ， （ 分） 将 点坐标代入 得 ， ， （ 分） 设 点坐标为（，）， 是函数 与 图象的交点， ，解得 或 ， 由题意知 ，此时 ， 点的坐标为（，） （ 分） （）由图知： 当 或 时，； 当 或 时， ； 当 时，（ 分） 方法二 正确理解反比例函数的概念，会求 值和反 比例函数的解析式 求反比例函数的解析式的方法有两个： （）根据图象特征求出双曲线上某个点的坐标，然后用待定 系数法求反比例函数的解析式 （）由 的几何意义直接得反比例函数的解析式 例 如图，若双曲线 与边长为 的等边 的边 、 分别相交于 、 两点，且 ，则实数 的值为 解析 如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ， 设 ，则 ， 因为 ，所以 ， ， 所以 （， ），（， ） 因为点 、 都在双曲线上，所以 （）， 解得 ，（舍去），所以 ， ， 年中考 年模拟 故 答案 评析 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解 答本题的关键是利用 的值相同建立方程，属中等偏难题 变式训练 （ 湖北鄂州鄂城，）如图， 为菱形， 点 在 轴上，点 在直线 上，点 在 （）的图象 上，若 菱形 ，则 的值为 答案 解析 直线 经过点 ， 可设 （，）， ， ， 四边形 是菱形， ， 菱形 的面积是 ， ， （负值舍去）， ，（，）， （ ，）， （ ，）在反比例函数 的图象上， （ ） ，故答案为 方法三 反比例函数在几何中的应用 反比例函数常和一次函数、三角形、四边形等联系起来综合 考查，比如用点的坐标表示线段的长度，结合几何图形的特征列 方程，通过解方程求出点的坐标，进而求出函数解析式，或由点 的坐标求出线段的长度，进而探究几何图形的某些特征 例 如图，已知反比例函数 （， 是常数）的图象 经过点 （，），点（，），其中 ， 轴，垂足为 ， 轴，垂足为 ， 与 的交点为 （）写出反比例函数解析式； （）求证：； （）若 与 的相似比为 ，求出 点的坐标及 所在直线的解析式 解析 （） 反比例函数 的图象过（，）点， ， 反比例函数的解析式为 （ 分） （）证明： （，）（），（，）， ，（ 分） ， （，）在反比例函数 的图象上， ， ， 又 ， ， （ 分） 又 ， （ 分） （） 与 的相似比为 ， ， ， 点坐标为 ， () （ 分） 设 所在直线的解析式为 ， ， ， ， ， 所在直线的解析式为 （ 分） 变式训练 （ 甘