2019年中考数学第六章空间与图形6.2图形的相似（讲解部分）素材.pdf

第六章 空间与图形 图形的相似 考点一 相似与位似 在同一单位长度下， 两条线段的长度之比 叫做两条线 段的比 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线 段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 比例的基本性质： （） 如果两个三角形的对应角相等， 对应边成比例 ，那么 这两个三角形叫做相似三角形 如果两个图形相似，并且它们的对应点所在直线交于一 点，那么这两个图形叫做位似图形这一点叫做 位似中心 ，对 应边的比叫做位似比，位似比等于相似比 考点二 相似三角形的判定与性质 相似三角形的判定 （）预备定理： 平行 于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 （）相似三角形的判定定理：（）三边对应成比例的两个三 角形相似；（） 两边对应成比例 ，且夹角相等的两个三角形 相似；（）两角分别相等的两个三角形相似 （）直角三角形相似的判定定理：若一个直角三角形的斜边 和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么这两个直角三角形相似 相似三角形的性质 （） 对应角相等 ； （）对应边成比例； （）对应线段之比（高线、中线、角平分线）与 周长之比 等于相似比； （）面积之比等于相似比的平方 相似基本图形 （）如图若 ，则 （）如图若 ，则 （）如图若，则 图 图 图 其他相似基本图形： 方法一 判定两个三角形相似的基本策略 判 定 两 个 三 角 形 相 似 的 基 本 策 略 两边对应成比例 找夹角相等 找第三边对应成比例 一对等角 再找一对等角 再找夹角的两边对应成比例 平行线利用相似三角形的预备定理 一对直角 再找一对等角 利用斜边、直角边对应成比例 等腰关系 找顶角相等 找底角相等 找底边和腰对应成比例 例 已知 中， ， ， （）如图 ，点 为 的中点，在线段 上取点 ，使 与 相似，求线段 的长； （）如图 ，是由 个边长为 的小正方形组成的 正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三 角形 请你在所给的网格中画出格点，使得 与 全等（画出一个即可，不需证明）； 试直接写出在所给的网格中与 相似且面积最大的 格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明） 图 图 解题导引 （） 两个三角 形相似 有公 共角 对应边 不确定 分类 讨论 与 为对应边 与 为对应边 （）先由题意得知所求作三角形的各边长，再画图 解析 （）当 时，有 为 的中点， ， 年中考 年模拟 ， 当 时，有 为 的中点， ， ， ， 的长为 或 （）画出一个正确的图形即可如图 个 画出的一个格点三角形如图所示 变式训练 （ 贵州贵阳， 分）如图，在方格纸中， 和 的顶点均在格点上，要使，则点 所在的格点为（ ） 答案 解析 设每个小方格的边长为 ，由题图可知， ，要使，则 ，即 ，故点 所在的格点为 ，故选 方法二 利用相似三角形列代数式的方法 在解题过程中要关注几何图形和相似的性质，尤其是要能 够通过相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表 示出来另外，要熟练掌握等线段代换、等比代换、等量代换等 技巧 例 （ 湖南邵阳， 分）尤秀同学遇到了这样一个 问题：如图所示，已知 ， 是 的中线，且 ，垂足 为 设 ， 求证： 该同学仔细分析后，得到如下解题思路： 先连接 ， 利用 为 的中位线得到 ，故 设 ，用 ， 把 ， 分别表示出来，再在 ， 中利用勾股定 理计算消去 ， 即可得证 （）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程； （）利用题中的结论，解答下列问题： 在边长为 的菱形 中， 为对角线 ， 的交点， 分别为线段 ， 的中点，连接 ， 并延长交于点 ， ， 分别交 于点 ，如图所示，求 的值 解析 （）证明：连接 ， ， 分别是 的中线， 是 的中位线， ，且 ， ， ， 设 ，则 ， 在 中，即（） () ， 在 中，即（） （） ， 在 中，即（） () ， 由得 （ ） ，即 ， 化简得 （ ）， （ ） （ ） （ 分） （）如图所示，连接 ， 四边形 为菱形， ， 又 ， 分别为线段 ， 的中点， ， 又 ， ， ， ， 第六章 空间