2019年中考数学第八章专题拓展8.4函数实际应用问题（讲解部分）素材.pdf

第八章 专题拓展 函数实际应用问题 题型特点 函数实际应用问题是近年来各地中考的热点问题在有关函 数实际应用问题中，因其综合了一元一次方程、一元一次不等 式、一元二次方程等内容，能体现数形结合、分类讨论等数学思 想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现 数学的应用价值，从而在中考中占有很重要的地位这类试题的 题型特点是由实际问题确定函数关系、用待定系数法确定函数 解析式，多以解答题的形式出现 重点难点 解决函数实际应用问题，首先要熟练掌握方程、不等式、函 数等基础知识，并具备利用这些知识解决实际问题的能力，解决 这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中涉及的几个 量的关系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数 关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际 问题 一、一次函数的实际应用 例 （ 邯郸二模， 分）为了创建全国卫生城，某 社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送若两车 合作，各运 趟才能完成，需支付运费共 元；若甲、乙两车 单独运完此堆垃圾，则乙车所运趟数是甲车的 倍；已知乙车每 趟运费比甲车少 元 （）分别求出甲、乙两车每趟的运费； （）若单独租用甲车运完此堆垃圾，需运多少趟； （）若同时租用甲、乙两车，则甲车运 趟，乙车运 趟，才 能运完此堆垃圾，其中 ， 均为正整数 当 时， ；当 时， ； 求 与 的函数关系式 探究：在（）的条件下，设总运费为 （元） 求 与 的函数关系式，并直接写出 的最小值； 当 且 时，甲车每趟的运费打 折，乙车每趟 的运费打 折，直接写出 的最小值 思路分析 （）根据若两车合作，各运 趟才能完成，需 支付运费共 元，乙车每趟运费比甲车少 元，列出方程 组，即可求出甲、乙两车每趟的运费（）设单独租用甲车运完此 堆垃圾，需运 趟，由题意列出分式方程，即可解答（）由（）并 结合题意即可求解探究：根据总运费甲的运费乙的运费， 列出函数关系式，利用一次函数的性质，求出 的最小值根 据甲车每趟的运费打 折，乙车每趟的运费打 折，列出函数关 系式，再根据 且 ，确定 的值，得出 的最小值 解析 （）设甲、乙两车每趟的运费分别为 元、 元， 由题意得 ， （） ， 解得 ， 答：甲、乙两车每趟的运费分别为 元、 元 （）设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运 趟，由题意得 () 解得 ，经检验， 是原方程的解 答：单独租用甲车运完此堆垃圾，需运 趟 （）由（）并结合题意得 ， 当 时，；当 时， ， 探究：（） （ ，且 为正整数），最小值为 详解： ， 随 的增大而增大， 当 时， 有最小值， 的最小值为 详解：（） ， 且 ， ，且 为正整数 故 的最小值为 二、反比例函数的实际应用 例 （ 石家庄模拟，）某农户共摘收水蜜桃 千克，为寻求合适的销售价格，进行了 天试销，试销情况如下： 第 天 第 天 第 天 第 天 第 天 第 天 售价 （元 千克） 销售量 （千克） 由表中数据可知，试销期间这批水蜜桃的每天销售量 （千 克）与售价 （元 千克）之间满足我们曾经学过的某种函数关系 若在这批水蜜桃的后续销售中，每天的销售量 （千克）与售价 （元 千克）之间都满足这一函数关系 （）你认为 与 之间满足什么函数关系？ 并求出 关于 的函数表达式； （）在试销 天后，该农户决定将这批水蜜桃的售价定为 元 千克 若每天都按 元 千克的售价销售，则余下的水蜜桃预 计还要多少天可以全部售完？ 该农户按 元 千克的售价销售 天后，发现剩下的水 蜜桃过于成熟，必须在不超过 天内全部售完，因此需要重新确 定一个售价，使后面 天都按新的售价销售且能如期全部售完， 则新的售价最高可以定为多少元 千克？ 思路分析 （）观察表格不难发现 与 的积是定值，由 此求 出 关 于 的 函 数 表 达 式 （ ） 根 据 销 售 天 数 剩下的水蜜桃数量 每天的销售量 即可得解先求出每天至少销售多少千克， 再将其代入 与 的关系式，即可得出最高售价 解析 （）由题表中 与 的积是定值可得 与 之间满 年中考 年模拟 足反比例函数关系，且关系式为 （）试销 天共销售水蜜桃 千克 当 时， ，所以每天的销售量为 千克， 由题意得 天， 所以余下的水蜜桃预计还要销售 天 农户按 元 千克的售价销售 天后， 还剩下水蜜桃 千克， 必须在不超过 天内全部售完， 每天必须至少销售 千克， 把 代入 ，解得 ， 新的销售价最高定为 元 千克 例 （ 邯郸一模，）嘉淇同学家的饮水机中原有水 的温度为 ，其工作过程如图所示，在一个由 加热到 再降温到 的过程中，水温记作 （），从开始加热起 时间变化了 （分钟），加热过程中， 与 满足一次函数关系，水 温下降过程中， 与 成反比例关系，当 时， （）写出饮水机水温的下降过程中 与 的函数关系，并求 出 为何值时，； （）求加热过程中 与 之间的函数关系式； （）求当 为何值时， 问题解决 若嘉淇同学上午八点将饮水机通电开机后立即外出散步， 预计九点前回到家中，若嘉淇想喝到不低于 的水，直接写 出外出时间 （分钟）的取值范围 思路分析 （）根据待定系数法可求出饮水机水温的下 降过程中 与 的函数关系式；（）根据待定系数法可求加热过 程中 与 之间的一次函数关系式；（）分两种情况：加热过程 中，降温过程中，求当 时 的值即可问题解决：根据一次 函数和反比例函数的增减性可确定外出时间 （分钟）的取值 范围 解析 （）在水温下降过程中，设水温 （）与开机时间 （分）的函数关系式为 （）， 依据题意，得 ，即 ，故 ， 当 时， ，解得 （）设水温 （）与开机时间 （分）的函数关系式为 （）， 依据题意，得 ， ， 解得 ， 故加热过程中 与 之间的函数关系式为 （）当 时，加热过程中：，解得 ；降温过 程中： ，解得 综上所述，当 或 时， 问题解决： 当 时，加热过程中： ，解得 ；降温过程 中： ，解得 所以外出时间 （分钟）的取值范围为 或 三、二次函数的实际应用 例 （ 保定竞秀一模，）某网店 月份经营一种热 销商品，每件成本 元，发现三周内售价在持续提升，销售单价 （元 件）与时间 （天）之间的函数关系为 （其中 ， 为整数），且其日销售量 （件）与时间 （天） 的关系如 下表： 时间 （天） 日销售量 （件） （）已知 与 之间的变化规律符合一次函数关系，请直接 写出 （件）与时间 （天）的函数关系式； （）在这三周的销售中，第几天的销售利润最大？ 最大日销 售利润为多少？ （）在实际销售的 天中，该网店每销售一件商品就捐赠 元利润（）给“精准扶贫”的对象，通过销售记录发现，这 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 （天）的增大而增 大，求 的取值范围 思路分析 （）根据题意可以设出 （件）与时间 （天）的 函数关系式，然后根据表格中的数据即可得解；（）根据题意可 以得到利润与 的函数关系式，然后化为顶点式得出最大日销售 利润；（）根据题意可以得到含有参数 的二次函数解析式，然 后根据二次函数的增减性求出 的取值范围 解析 （） 详解：设日销售量 （件）与时间 （天）的函数关系式是 ， ， ， 得 ， ， 即日销售量 （件）与时间 （天）的函数关系式是 （）设日销售利润为 元，由题意得 ()（） （） 当 时， 取得最大值，此时 答：第 天的销售利润最大，最大利润是 元 （）设捐赠后的每日的销售利润为 元，由题意得 ()（） （） ， 的对称轴是 （） () ， 这 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 （天） 的增大而增大， ，解得 ， 又 ， ， 即 的取值范围是 例 某广告公司承接一批宣传画板，形状均为矩形，长、宽 之比为 ，且矩形长在 之间每张画板的成本价 （单位：元）与它的面积 （单位：）成正比例，每张画板的价格 第八章 专题拓展 （单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与画板 的大小无关，是固定不变的浮动价与画板的长（）成正比例在 营销过程中得到了表格中的数据 画板的长（）（） 价格（）（元 张） （）求一张画板的价格 与矩形的长 之间满足的函数关 系式； （）已知出售一张边长为 的画板，获得的利润为 元（利润出售价成本价） 求一张画板的利润（）与画板的长（）之间满足的函数 关系式； 当矩形画板长为多少时，出售一张画板所获得的利润最 大？ 最大利润是多少？ 思路分析 （）利用待定系数法，求得一张画板的价格 与矩形的长 之间的函数关系式； （）根据利润售价成本，列出关系式，即可得出一张