2018-2019学年高中数学 专题05 函数的图象与性质庖丁解题 新人教A版必修1.doc

专题05 函数的图象与性质考点19函数的图象与作法考点20函数的图象的变换考点21函数单调性的判断与证明考点22函数单调性的性质考点23函数的最值考点24函数奇偶性的判断考点25函数奇偶性的性质考点26奇偶性与单调性的综合考点27二次函数考点28函数的对称性考点19 函数的图象与作法要点阐述作函数图象最基本的步骤是列表、描点、用平滑曲线连接作图之前要先对解析式化简、变形典型例题【例】函数的图象是ABCD【名师点睛】作分段函数图象的关键是根据定义域的不同部分，分别由解析式作出对应的图象作图时一定要注意每段自变量的取值范围，且要标出关键点的横、纵坐标小试牛刀1下列图形中，不可能作为函数yf（x）图象的是【答案】C【解析】对C，当x0时，有两个不同的值与之对应，不符合函数概念，故C不可能作为函数图象2f（x）|x1|的图象是【答案】B【解析】f（x）|x1|x1时，f（1）0可排除A、C又x1时f（1）2，排除D【解题技巧】此函数图象有多种画法，方法一：分段函数；方法二：的图象下翻上；方法三：的图象向左平移一个单位3函数的图象是【答案】C【解析】的图象应选C【规律总结】解决此类问题的关键是明确函数的定义域对函数图象的限制，再利用一些特殊的点，采用排除法确定函数的图象若解析式中含有参数，关键有两点：一是抓住函数解析式的特征，注意解析式中的参数在函数图象中的体现；二是由已知函数图象得到相关信息，由此确定解析式中参数的取值4函数y1的图像是【答案】B【解析】方法一：y1的图像可以看成由y的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到的方法二：由于x1，故排除C，D又函数在(，1)及(1，)上均为增函数，排除A，所以选B【易错易混】图象可由平移变换得到，平移时注意平移的方向，“左加右减”5已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是【答案】2，01，5【解析】如图所示，函数在2，01，5上有意义，所以其定义域是2，01，5【易错易混】定义域是自变量的取值范围，看函数图象对应的横坐标即可，注意区间端点和多个区间中间用并6已知下图的图像对应的函数为yf(x)，则图的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是Ayf(|x|)By|f(x)|Cyf(|x|)Dyf(|x|)【答案】C【解析】由图知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数，对于A：当x0时，y=f（|x|）=y=f（x），其图象在y轴右侧与图一的相同，不合，故错误；对于B：当x0时，对应的函数是y=f（x），显然B也不正确对于D：当xf(3)f(2)的只可能是2已知定义在区间0,2上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为【答案】B【解析】法一：由yf(x)的图象知f(x)当x0,2时，2x0,2，所以f(2x)故yf(2x)法二：当x0时，f(2x)f(2)1；当x1时，f(2x)f(1)1，观察各选项，可知应选B3已知f(x)则下列函数的图象错误的是【答案】D【解析】先在坐标平面内画出函数yf(x)的图象，如图所示，再将函数yf(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到yf(x1)的图象，因此A正确；作函数yf(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到yf(x)的图象，因此B正确；yf(x)的值域是0,2，因此y|f(x)|的图象与yf(x)的图象重合，C正确；yf(|x|)的定义域是1,1，且是一个偶函数，当0x1时，yf(|x|)，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确综上所述，选D4已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，求实数k的取值范围【答案】k1【解析】在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线ykx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线yx1的斜率时符合题意，故k15如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为18m，斜坡的倾斜角是45(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象【解析】(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m，上底为(22h)m，高为hm，水的面积Ah22h(m2) (2)定义域为h|0h18值域由二次函数Ah22h(0h18)求得由函数Ah22h(h1)21的图象可知，在区间(0,18)上函数值随自变量的增大而增大，0A684故值域为A|0A684(3)由于A(h1)21，对称轴为直线h1，顶点坐标为(1，1)，且图象过(0,0)和(2,0)两点，又考虑到0h0)的图象,可由y=f(x)的图象向左(+)或向右()平移a个单位长度而得到上下平移:y=f(x)b(b0)的图象,可由y=f(x)的图象向上(+)或向下()平移b个单位长度而得到2对称变换y=f(x)与y=f(x)的图象关于y轴对称y=f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称y=f(x)与y=f(x)的图象关于原点对称典型例题【例】把函数y的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为A小试牛刀1如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压成一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻压过程中，圆柱体积与高的关系可用图像表示为【答案】B【解析】圆柱钢锭的体积不随高的变化而变化【规律总结】方法总结识图辨图的常用方法:(1)从函数的定义域判断图象的左右位置,从函数的值域判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性;(4)从函数的周期性判断图象的循环往复;提醒:注意联系基本函数图象的模型,当选项无法排除时,代入特殊值,或从某些量上也能寻找突破口2汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是【答案】A【解析】由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大保持匀速由大变小速度由小变大时，路程曲线上升得越来越快，曲线显得陡峭；匀速行驶中路程曲线上升速度不变；速度由大变小时，路程曲线上升得越来越慢，曲线显得平缓A符合题意【解题技巧】这类问题根据增长速度的快慢进行排除即可3某学生离开家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中d轴表示离学校的距离，t轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是【答案】D【解析】t0时，学生在家，离学校的距离d0，因此排除A、C；学生先跑后走，因此d随t的变化是先快后慢，选D【易错易混】纵坐标表示离学校的距离不是离家的距离，认真审题并且不能将图象与运动路径混为一谈4某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置，并设法使瓶里的水从瓶口匀速流出，那么，该倒置啤酒瓶内水面的高度h随水流出的时间t变化的图象大致是A B C D【答案】C【解析】啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的规律是先慢后快的两段，因为是匀速，所以第一段表现在图象上为直线故选C5如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的【答案】B【解析】开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢，与B图象相吻合6如图，不规则四边形ABCD中：AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线lAB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AEx，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是7甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系试写出yf(x)的函数解析式【解析】当x0,30，设yk1xb1，由已知得k1，b10，yx；当x(30,40)时，y2；当x40,60时，设yk2xb2，由,k2，b22，yx2，考题速递1若函数yf(x)的曲线如图所示，则方程yf(2x)的曲线是【答案】C【解析】先关于y轴对称，得到yf(x)的图像，再向右平移两个单位，即可得到yf(x2)f(2x)的图像所以答案为C注意，左右平移是针对字母x变化，上下平移是针对整个式子变化2函数yax2bxc与yaxb(ab0)的图象只可能是【答案】D【解析】当a0时，yax2bxc的图象开口向上，yaxb的图象是y随x的增大而增大，排除B;当a0时，yax2bxc的图象开口向下，yaxb的图象是y随x的增大而减小，排除C;又A中y轴为抛物线的对称轴，即b0，也应排除故选D【易错易混】这类问题一般用排除法，注意字母的取值要兼顾两个函数的图象3如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？【答案】见解析【解析】(1)点A表示无人乘车时收支差额为20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价(3)斜率表示票价(4)图1、2中的票价是2元图3中的票价是4元数学文化龟兔赛跑“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点设路程为，时间为，乌龟到达终点的时间为，根据故事情节可作出的st函数图象如下图所示：考点21 函数单调性的判断与证明要点阐述一般地，设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(3)如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间典型例题【例】证明：函数在区间（0，）上是增函数【答案】证明详见解析【名师点睛】函数单调性判断的等价变形：是增函数对任意，都有，或，或；是减函数对任意，都有，或，或【解题必备】1对函数单调性的理解（1）定义中的x1，x2有三个特征：任意性，即不能用特殊值代替；属于同一个区间；有大小，一般令x1x2（2）增、减函数的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化：若是增函数，则；若是减函数，则2对函数单调区间的理解（1）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”连接（2）函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集（3）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性（4）并非所有的函数都具有单调性如函数就不具有单调性3常见函数的单调性函数类型单调性一次函数在上单调递增在上单调递减反比例函数单调减区间是和单调增区间是和二次函数单调减区间是，单调增区间是单调减区间是，单调增区间是小试牛刀1下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是Ay|x1|By3xCDyx24【答案】A【解析】B、C、D在(0，1)上均为减函数，只有A项在(0，1)上是增函数2下列函数中，在区间上是增函数的是ABCD【答案】B【解析】由基本函数的单调性，可得：在上为减函数，在上为增函数，在R上为减函数，在上为减函数故选B3下列函数在区间上为增函数的是ABCD【答案】B【解析】是常数函数，所以不具有单调性；在上是单调递增函数；在上是单调递增函数故选B4下列四个函数中，在上是增函数的是ABCD【答案】C【解析】对于选项A，在上为单调递减，不符合题意；对于选项B，在上为单调递增，而在上不是增函数，不符合题意；对于选项C，在上为单调递增，所以在上是增函数，符合题意；对于选项D，在上为单调递减，不符合题意故应选C【方法技巧】利用函数图象确定函数的单调区间，具体作法是先化简函数式，然后再作出它的草图，最后根据函数定义域和草图的位置、形状，确定函数的单调区间5下列有关函数单调性的说法，不正确的是A若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)g(x)为增函数B若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)g(x)为减函数C若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)g(x)为增函数D若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)g(x)为减函数【答案】C【解题技巧】函数单调性判断的等价变形：（1）是增函数对任意，都有，或，或；（2）是减函数对任意，都有，或，或6若函数y=ax与在(0,+)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+)上是A增函数B减函数C先增后减D先减后增【答案】B【解析】y=ax与y=在(0,+)上都是减函数,a0,b0,y=ax2+bx的对称轴x=0,y=ax2+bx在(0,+)上为减函数7求函数f(x)|x26x8|的单调区间【解析】先作出yx26x8的图象，然后x轴上方的不变，x轴下方的部分关于x轴对称翻折，得到如图f(x)|x26x8|的图象，由图象可知f(x)的增区间为2,3，4，；减区间为(，2，3,4考题速递1函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)为增函数，当x(，2时，函数f(x)为减函数，则m等于A4B8C8D无法确定【答案】B【解析】由题意可知x2是f(x)的对称轴，2，m82下列说法中正确的个数是已知区间I，若对任意的x1，x2I，当x1x2时，f(x1)0成立，则必有A函数f(x)先增加后减少B函数f(x)先减少后增加Cf(x)在R上是增函数Df(x)在R上是减函数【答案】C【解析】因为0，所以当ab时，f(a)f(b)；当ab时，f(a)f(b)由增函数定义知，f(x)在R上是增函数4证明：函数f(x)x3x在R上是增函数【答案】见解析【解析】设x1，x2是R上的任意两个实数，且x10，f(x2)f(x1)(xx2)(xx1)(x2x1)(xx2x1x)(x2x1)(x2x1)(xx2x1x1)(x2x1)(x2)2x1因为(x2)2x10，x2x10，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)因此函数f(x)x3x在R上是增函数【规律总结】运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1f(m)，则实数m的取值范围是A(，1)B(，)C(1,0)D(，1)(0，)【答案】B【解析】已知函数yf(x)在R上单调递增，且f(2m1)f(m)，则可得2m1m，由此可得m【解题技巧】利用单调性求参数：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的3已知函数y，则它在下列哪个区间上不是减函数A(0，)B(，0)C(，0)(0，)D(1，)【答案】C【解析】此函数在(0，)，(，0)及其子区间上都是减函数，但在(，0)(0，)上不具备单调性【易错易混】单调区间有多个时，中间用“，”还是“”要进行严格的界定4函数f(x)2x2mx3，当x2，)时是增函数，当x(，2时是减函数，则f(1)_【答案】3【解析】f(x)2(x)23，由题意2，m8f(1)21281335已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)f(1)的实数x的取值范围是A(1，1)B(0，1)C(1，0)(0，1)D(，1)(1，)【答案】D【解析】f(x)在R上为减函数且f(|x|)1，解得x1或x1【解题技巧】在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域6定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2R(x1x2)，有0，则Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)f(2)【答案】A【解析】对任意x1，x2R(x1x2)，有21，则f(3)f(2)f(1)故选A考题速递1若x1，x2(，0)，且x1f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)D以上都有可能【答案】B【解析】函数f(x)在(，0)上是增函数，又x1，x2(，0)，且x1x2，f(x1)0a(0,13若在区间上是增函数，则的取值范围是【答案】【解析】设则，而，则，解得a4设函数y=f(x)是定义在(0，+)上的减函数，并且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f=1(1)求f(1)的值(2)若存在实数m，使得f(m)=2，求m的值(3)若f(x2)2，求x的取值范围【答案】（1）0；（2）；（3）2x2=f，所以解得2x数学文化单调与单调性在汉语中，“单调”一词具有多种含义只有一种的或重复而缺少变化：色彩单调、形式单调、单调的生活指定美容美发服务行业的专业术语，如“单调”某位设计师，即“指定”某位设计师为其服务的意思“单调”的含义及出处1简单、重复，缺少变化巴金新生第一篇：“出世、成长、保身、传种以至于死亡：所有的人都走这种呆板的单调的路”洪深飞将军：“喝酒呀，宴会呀，跳舞呀，天天是这几套，也会觉得单调的”2指单一而不丰富毛泽东在省市自治区党委书记会议上的讲话：“找知识要到各方面去找，只到一个地方去找，就单调了”3只是单方面调动工作，与“双调”相对而数学中的函数单调性，就取自第一个含义“重复、缺少变化”指随着自变量的逐步变大，函数值一直变大（或变小），而这种趋势一直不改变是不是对函数单调性又加深了一层理解？ 考点23 函数的最值要点阐述函数的最大（小）值（1）函数的最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)=M那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（2）函数的最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)=M那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值典型例题【例】已知函数，若xt，t2，求函数f（x）的最值【答案】答案详见解析【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合【解题必备】函数的最值与单调性的关系：如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数，在处有最大值如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数，在处有最小值如果函数在区间上是增（减）函数，则在区间的左、右端点处分别取得最小（大）值和最大（小）值小试牛刀1一个偶函数定义在上,它在上的图象如图,下列说法正确的是xy-277035A这个函数仅有一个单调增区间B这个函数有两个单调减区间C这个函数在其定义域内有最大值是7D这个函数在其定义域内有最小值是7【答案】C【解析】由图像可知，函数在上，有两个递减区间、有一个递增区间，且有最大值7；因为偶函数的图像关于原点对称、单调性相反，所以在上有一个递减区间、两个递增区间，且有最大值7故选C【规律总结】求函数最大（小）值的常用方法有：（1）观察法，对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；（2）配方法，对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值；（3）图象法，对于图象较为容易画出来的函数，可借助图象直观求出最值；（4）单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，可依据单调性确定函数最值2设函数f(x)的定义域为R，有下列四个命题：(1)若存在常数M，使得对任意的xR，有f(x)M，则M是函数f(x)的最大值(2)若存在x0R，使得对任意的xR，且xx0，有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值(3)若存在x0R，使得对任意的xR，有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值(4)若存在x0R，使得对任意的xR，有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值这些命题中，正确命题的个数是A0B1C2D3【答案】C【解析】由函数的最大值的定义容易判断(2)(4)是正确的3函数f（x）在1，）上A有最大值无最小值B有最小值无最大值C有最大值也有最小值D无最大值也无最小值【答案】A【解析】结合函数f（x）在1，）上的图象可知函数在1，）上有最大值，无最小值【易错易混】求最值注意函数的定义域和题中给定的限定范围4函数f（x）在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是Af（2），0B0，2Cf（2），2Df（2），2【答案】C【解析】由图象可知此函数的最小值是f（2），最大值是25函数y的最大值是A1B2C3D4【答案】D【解题技巧】（1）求函数的最值问题实质上就是求函数的值域问题，因此求函数值域的方法也可用来求函数最值（2）需要注意的是分段函数的最大（小）值是各段函数最大（小）值中的最大（小）者6函数的值域是A(0,1)B(0,1C0,1)D0,1【答案】B【解析】xR,1x21，017已知函数f(x)，x3,5(1)判断函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)的最大值和最小值【解析】(1)任取x1，x23,5且x1x2，则f(x1)f(x2)x1，x23,5且x1x2，x1x20，x220f(x1)f(x2)0f(x1)0恒成立，试求实数a的取值范围【答案】（1）（2）(3，)【解析】(1)当a时，f(x)x2任取x1，x21，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)0，所以f(x1)0在1，)上恒成立，即x22xa0在1，)上恒成立记yx22xa，x1，)，由y(x1)2a1在1，)上单调递增知，当x1时，y取得最小值3A所以当3a0，即a3时，f(x)0恒成立所以实数a的取值范围为(3，)数学文化农夫过河一名农夫要将一只狼、一只羊和一袋白菜运到河对岸，但农夫的船很小，每次只能载下农夫本人和狼及羊、或者农夫与白菜但他不能把羊和白菜留在岸边，因为羊会吃掉白菜；也不能把狼和羊留在岸边，因为狼会吃掉羊那么，农夫如何将这三样东西送过河呢？ 考点24 函数奇偶性的判断要点阐述1偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数2奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数典型例题【例】下列判断正确的是A函数是奇函数B函数是非奇非偶函数C函数是偶函数D函数既是奇函数又是偶函数【答案】B【名师点睛】对于C，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明与的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性若D项中的函数是，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数小试牛刀1函数f(x)，x(0,1)的奇偶性是A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数【答案】C【解析】该函数的定义域不关于原点对称【易错易混】奇函数和偶函数的定义域关于原点对称，定义域容易被忽视2下列函数是偶函数的是AyxBy2x23CyDyx2，x0,1【答案】B【解析】A选项是奇函数；B选项为偶函数；C、D选项的定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数3函数f(x)=A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数【答案】B【解析】因函数f(x)=的定义域为R，且f(x)=f(x)，故f(x)为偶函数4设函数f（x）x|x|定义在（，）上，则f（x）A既是偶函数，又是减函数B既是奇函数，又是减函数C既是偶函数，又是增函数D即是奇函数，又是增函数【答案】D【解析】x0，f（x）x2；x0，f（x）x2由f（x）f（x）可知f（x）为奇函数，结合图象知为增函数故选D【解题技巧】函数图象是解决函数性质问题最直观的工具，在研究性质时，能画图就画图5已知yf（x），x（a，a），F（x）f（x）f（x），则F（x）是A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数【答案】B【解析】F（x）f（x）f（x）F（x）又x（a，a）关于原点对称，F（x）是偶函数6下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是ABCD【答案】B【解析】根据函数的奇偶性，可得为非奇非偶函数，故排除选项D;在定义域R上单调递增；在定义域R上单调递减；在上单调递减，而不能说在定义域上单调递减故选B7函数f(x)的定义域Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明【解析】(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，所以f(x)f(x)所以f(x)为偶函数考题速递1函数f(x)(x1)，x(1,1)A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D是非奇非偶函数【答案】B【解析】x(1,1)，x10f(x)(x1)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数故选B【易错易混】化简时巧妙的根据自变量的取值范围把移动到根号里面，此题容易被形式迷惑，化简不出最终结果，从而判断错误2若函数f(x)x2(aR)，则下列结论正确的是A对任意实数a，f(x)在(0，)上是增函数B对任意实数a，f(x)在(0，)上是减函数C存在实数a，使f(x)是偶函数D存在实数a，使f(x)是奇函数3设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数【答案】A【解析】由f(x)是偶函数，可得f(x