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一 高等数学下册测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）1） 设有直线 及平面，则直线（ C ）A、平行于平面 B、在平面上 C、垂直于平面 D、与平面斜交2） 二元函数在点处（ C ）A、连续、偏导数存在 B、连续、偏导数不存在C、不连续、偏导数存在 D、不连续、偏导数不存在3） 设为连续函数，则（ B ）A、 B、 C、 D、分析：改变积分次序，可得 4） 设是平面由所确定的三角形区域，曲面积分（ D ）A、 B、 C、 D、5） 微分方程的一个特解应具有形式（ B ）A、 B、 C、 D、二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1） 设平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为。2） 设，则。3） 设为正向一周，则。4） 设圆柱面，与曲面在点点相交，且他们的交角为，则正数。5） 设一阶线性非奇次方程有两个线性无关的解，若（为常数）也是该方程的解，则应有。三、（本题7分）设由方程组确定关于的函数，求及和。解：利用全微分的不变性 可得 可得所以四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数。解： 五、（本题8分）计算累次积分。解：改变积分次序 原式六、（本题8分）计算，其中由柱面及平面围成的区域。解：用切片法较好。原式七、（本题8分）计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分。解：在面上的投影为 原式 注：这里利用了对称性简化计算：八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上任意逐段光滑曲线。解：因为 在上半平面成立，所以此曲线积分在上半平面内与路径无关。 原式 九、（本题8分）计算，其中为半球面的上侧。解：利用高斯公式计算，设为面上区域，并取下侧。为围成的立体区域。原式 十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求。解： 所以可化为解微分方程，令，则，原方程化为十一、（本题4分）求方程的通解。解：解特征方程，得特征根，对应其次方程的通解为又因为，此方程有特解原方程通解为十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点，各面平行于坐标平面的球内接长方体的表面积最小。解：设点坐标为，以为一个顶点，各面平行于坐标平面的球内接长方体的表面积，因为。考虑函数解方程组得，所求点为。有关级数的题目：1） 判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：因为，而发散，此级数不绝对收敛。又因为，且，此级数条件收敛。2） 求幂级数的收敛区间
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