数学与应用数学毕业论文（设计）-隐函数的极值求法.doc

丽水学院2011届学生毕业论文（设计） 隐函数的极值求法 数理学院 数学与应用数学 数学071本 指导教师：摘要：将显函数极值存在的各种相关定理和求解方法推广并应用到隐函数中去，得到有关一元、二元及多元隐函数极值问题的一些命题。从简单到复杂，层层深入，给解答隐函数的极值问题提供了思路、方法及依据，并形成一个简要的框架，以方便日后灵活地解决各种函数的极值问题。关键词：隐函数；极值；导数；矩阵；正定性 1.引言 在所学的数学分析教材中，研究了显函数求极值的问题。得到了以下定理。一元显函数求极值：定理.（费马定理）设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导。若点为的极值点，则必有。定理.（极值的第一充分条件）设在点连续，在某邻域内可导（i）若当时，当时，则在点取得极小值。（ii）若当时，当时，则在点取得极大值。定理.（极值的第二充分条件）设在某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且，。（i）若，则在取得极大值。（ii）若，则在取得极小值。定理.（极值的第三充分条件）设在的某邻域内存在直到阶导函数，在处阶可导，且，则（i）当为偶数时，在取得极值，且当时取极大值，时取极小值。（ii）当为奇数时，在处不取极值。二元显函数求极值：定理.（极值的必要条件）若函数在点存在偏导数，且在取得极值，则有，。反之，若函数在点满足，则称点为的稳定点。定理.（极值的充分条件）设二元函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，且是的稳定点。则当是正定矩阵时，在取得极小值；当是负定矩阵时，在取得极大值；当是不定矩阵时，在不取极值。其中，它为在的黑赛矩阵。即有：（i）当，时，在点取得极小值；（ii）当，时，在点取得极大值；（iii）当时，在点不能取得极值；（iv）当时，不能肯定在点是否取得极值。多元显函数求极值：定理.（极值必要条件）设为开集，实值函数在可微，且取极值，则（i）必为的稳定点，即；（ii）又若在的某邻域存在连续二阶偏导数，则当为极小值时，在的黑赛矩阵为正定或半正定；当为极大值时，在的黑赛矩阵为负定或负半定。 若在的黑赛矩阵为不定时，则在不取极值。 定理.（极值充分条件）上述函数若在存在连续二阶偏导数，且，则当为正定（负定）时，在取严格极小（极大）值。2. ，形式的隐函数求极值 2.1 形式的隐函数求极值 2.1.1当中的情况 在数学分析教材中讨论了一元函数的极值问题，隐函数的存在唯一性定理和可微性定理。以下通过应用推广到形式的隐函数求极值问题上。由隐函数存在定理可知确定的隐函数的导数为，当不存在时，也就是当时，可以通过曲线的对称性及导数在导数不存在点两侧的正负性，来判断导数不存在点是否为极值点。以下着重讨论的情况：由极值的第一充分条件可以看出当经过一个点时导数变号，则有极值，而导数不变号，则没有极值。可以推导出以下命题。命题1.设在以点为心的矩形区域内存在一阶的连续导数，且，则由方程可确定隐函数。（i）如果在点两侧符号相异，那么在处取极值。(ii)如果在点两侧符号相同，那么在处不取极值。证明：由隐函数存在定理由得是的稳定点。又，不妨设据极限的保号性可知，有，因此在附近的符号取决于的符号，而连续，则对，关于连续，即。所以在附近符号取决于，再根据极值的第一充分条件可知命题1成立。当在驻点处二阶导数不为零时，利用二阶在驻点附近的正负情况判断驻点是否为极值点，得到以下的命题。命题.设在以为心的矩形区域内存在二阶的连续偏导数，且，由方程所确定的隐函数，则（i）与同号时，在处取极大值，（ii）与异号时，在处取极小值，证明： 两边关于求导得 两边再关于求导得由于，代入上式可得再根据极值的第二充分条件可知命题2是成立的。当在驻点处二阶导数为零时，根据极值的第三充分条件可以得到以下命题。命题3.设在以为心的矩阵区域内存在阶连续的偏导数，且，由方程所确定的隐函数，则(i)当为奇数时，不取极值。(ii)当为偶数时，取极值。 若与同号，则在处取极大值，；若与异号，则在处取极小值，。证明：先用数学归纳法证明在满足以上条件时，有。当时，由隐函数存在惟一性定理可知显然成立。假设当时结论成立，即。当时， 。再根据极值的第三充分条件可知命题3是成立的。例1.求所确定的隐函数的极值。解：设 即解得因为在的两侧是异号的，则极值是存在的，在取极大值且。例2.求所确定的隐函数的极值。解：设 即解得， 所确定的隐函数在处取极小值，。，3为奇数， 所确定的隐函数在处不取极值。综上可知，所确定的隐函数在处取极小值，。2.1.2当中出现与同时为零的情况例3.设函数是由方程确定，试求出的极值。 解：方程两边对求导得，化简得。 令，即，代入方程解得，；，。不存在的点，即，代入方程得到，；，。 对于，利用极值的第二充分条件：，所以在取得极大值。 对于，不能用第一，第二充分条件来判断，由于原来函数是连续的，且可以取到和的值，所以不是原来函数的极值点。 对于，若是函数的极小（或大）值，则存在，当时，（或），由，在此邻域内当时函数是单调的（当时函数也单调），显然与函数的连续性矛盾，所以此邻域内可以得到和的函数的单调性，总之不是函数的极值点。2.2 形式的隐函数求极值 2.2.1当中有的情况 命题4 .设在以为心的邻域内有连续的二阶偏导数，且，设，则（i）当时，由确定的隐函数在取极值，且若与同号（或异号），在取极大（小）值。 （ii）当时，在不取极值。 （iii）当时，在不确定是否取极值。证明： 两边关于求导得 同理可得两边再关于求导得 由于 同理可得，由再极值充分条件可推知命题是成立的。 在数学分析的教材中给出了多元函数的条件极值的求法，现在利用拉格朗日乘数法来解决二元隐函数极值求法问题，以下给出与命题4等价的命题。 命题. 设是由方程确定的二元函数，并且在点的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数。设则在点处是否取得极值的条件如下：（1）时具有极值，且时有极大值，当时有极小值；（2）时没有极值；（3）时可能有极值，也可能没有极值。证明：是由确定的隐函数，且为的驻点由 两边关于求导 两边再关于求导 同理可得，又由于则由极值充分条件可以推得命题4. 从一些参考文献中，看到了怎样利用方向导数来求解显函数的极值问题，现在粗略的把它推广到隐函数中去，得到以下的结论。 命题6.设函数在点的某个邻域内连续，且存在连续的偏导数，并且有，在的去心邻域内任取一点，令，表示点出发的并且经过的一条射线。（1）如果在的去心邻域内与是异号的，则由确定的隐函数在处取极小值。（2）如果在的去心邻域内与是同号的，则由确定的隐函数在处取极大值。（3）如果在的去心邻域内与又有同号又有异号的点，则由确定的隐函数在处不取极值。证明：设为由确定的隐函数，由隐函数定理可知，。由于，则方向余弦为，0.=，则由文献7可知，当与是异号时，则则由确定的隐函数在处取极小值。同理也可以得到，如果在的去心邻域内与是同号的，则由确定的隐函数在处取极大值；如果在的去心邻域内与又有同号又有异号的点，则由确定的隐函数在处不取极值。例4. 求所确定的隐函数的极值。解：，解方程组得，对于，因，而，所以在点取得极小值，；对于，因，而，所以在取得极大值，。例5.求由方程所确定的隐函数的极值。 解：令 求导得 解得， 由，得在点处 ，故函数在点达到极小值； 在点处，故函数在点达到极大值。例6.求由隐函数所确定的隐函数的极值。 解：， 可知它在偏导数，是不存在的。 在的去心邻域内任取一点，令 ，则， 于是有 而，则它们是同号的，由命题8可知由隐函数所确定的隐函数在处取得极大值。 2.2.2当中有的情况 例7.求由方程所确定的隐函数的极值。 解：方程两边分别对于，求偏导，得 设在点处取得极值，则在该点，代入上式，得 ，与原方程联立方程组，可得驻点或 设二阶偏导数，在驻点处的值分别为，又 在处，（）， ，且，则在处取极小值0. 在处，（）， ，且，则在处取极大值。 当时，都不存在，需要考虑平面 是否有极值点。 得到，有极值0，但点不在平面上，因此平面上无极值点。2.3形式的多元隐函数求极值的问题 已研究了二元隐函数求极值问题。多元的情况与其相似。现在将结论推广到多元的情况。 命题.设函数存在一阶连续偏导数，为所确定的隐函数。若隐函数在点处取极值，且，则 证明： 由隐函数定理可知， 由极值必要条件可知 隐函数在点取极值的必要条件是。 命题.设为所确定的隐函数，是隐函数的稳定点，且，在的邻域内存在二阶连续偏导数，记 ，（1）若是正定矩阵，则在取极小值，（2）若是负定矩阵，则在取极大值，（3）若是不定矩阵，则在不取极值。 证明： 为的稳定点 ， 由 两边关于求导得 两边再关于求导得 同理可得，所以再根据显函数极值充分条件就可以得到，（1）若是正定矩阵，则在取极小值，（2）若是负定矩阵，则在取极大值，（3）若是不定矩阵，则在不取极值。也可以利用方向导数来求隐函数的极值，得到以下命题。命题9.设函数在的邻域内连续，且存在连续的偏导数，且有，在的去心邻域内任取一点令，表示点出发的并且经过的一条射。（1）如果在的去心邻域内与是异号的，则由确定的隐函数在处取极小值。（2）如果在的去心邻域内与是同号的，则由确定的隐函数在处取极大值。（3）如果在的去心邻域内与又有同号又有异号的点，则由确定的隐函数在处不取极值。 证明方法与命题6类似。 例8. 求由方程所确定的隐函数的极值。 解：设，则 ， 解得到两个驻点，而，所以 ，并且它为负定矩阵。由此可知函数在处取得极大值，并且极大值。，并且它为正定矩阵。由此可知函数在处取得极小值，并且极小值。 与命题5类似，在多元的情况下一些特殊的条件极值问题也可将其转化为隐函数的极值问题解决。这里不做详细介绍。用例子说明一下。 例9.求在条件下的极值。 解：将代入中可得，。 令， 解方程组得到驻点，又由于，代入可以得到，。则，且，即为正定矩阵。由定理可知，在点取极小值3.又由于，得到。因此在条件下，与对应的点为。所以原函数在条件下在点取得极值，且。同理可以得到函数在点，下均取极小值，并且极小值都为3.例10.由所确定的隐函数的极值。 解：解得驻点，其中 在点的去心邻域内任取点 ， 则有， 又， 而是可正可负的，由命题9可知，由隐函数所确定的隐函数在没有极值，同理可知，由隐函数所确定的隐函数在，也是没有极值的。所以该隐函数是没有极值的。3.隐函数的条件极值 3.1 隐函数条件极值的相关命题 由空间解析几何知方程组表示一空间曲线，在满足条件下的极值即为曲线：上点P的坐标的极大值与极小值。 如果曲线上处处都有切线，则坐标取极大值与极小值的点处的切线必平行于坐标面，亦即垂直于轴。 设方程，设其切向量， 则有，又，即。由此可以得到以下定理。 引理.设函数，在的某一邻域内均有连续的一阶偏导数且雅克比行列式，则为在满足条件下的极值点的必要条件为。 由于由确定的隐函数满足，则可以得到以下命题。 命题10. 在的某一邻域内均有一阶连续的偏导数。在的邻域内有连续的偏导数，并且，其中，则为所确定的隐函数满足条件的极值点的必要条件。3.2隐函数条件极值的应用 例11.求所确定的隐函数在适合条件下的极值。 解：， 即 解得 将代入可得 ， 确定隐函数的极大值为。 4.总结 综上所述，本文将一元、二元及多元的显函数求极值的结论推广到了，及的形式的隐函数求极值，得到一些命题。在提到二元隐函数的结论时，还利用了条件极值来进行等价证明，给出了等价的结论。在介绍完求解隐函数极值的一些常规方法后，为拓展同学们的视野，还补充说明了另一种求极值的方法，也就是利用方向导数求隐函数的极值。从简单到复杂，层层深入，给解答隐函数的极值问题提供了思路、方法及依据，并形成一个简要的框架，以方便日后灵活地解决各种函数的极值问题。参考文献：1华东师范大学数学编，数学分析（上、下）M.北京：高等教育出版社，2011（第三版）。2裴礼文编，数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社，2006（第二版）。 3田丽娜，关于隐函数极值的探讨J.甘肃高师学报，1999，4（5）：21-244赵向会，二元隐函数极值存在问题J.高校讲台，2007，（32）：2165袁秀萍，隐函数取极值的充要条件及其应用J.商丘师范学院学报，2005,21（5）：160-1696吴亚娟，几何观点下的多元函数条件极值求法J.泰州职业技术学院学报，2008,8（5）：76-787陈朝晖，利用方向导数探讨多元函数的单调性与极值J.宜宾学院学报，2010,10（6）：23-258朱明刚，浅谈隐函数极值的求法J.成都教育学院学报，2001，15（5）：72-739单国莉，隐函数极值存在的条件及应用实例J.烟台师范学院学报，2005，2（3）:183-18510冯秀红，隐函数的极值求法J.高师理学学刊，2010，30（3）：17-1911王建民，隐函数的极值问题J.重庆师范学院学报，1997，14：131-13212廖正琦，隐函数极值定理及其解法J.重庆师专学报，1998，（3）：73-7413李民富，一类隐函数最值问题求解方法J.高等数学研究，2002，5（3）：46-4714樊映川，高等数学讲义（上、下）M.人民教育出版社，1964.15同济大学应用数学系,高等数学（第6版）（上、下）M.北京：高等教育出版社。16西北工业大学高等数学教研室，高等数学中的典型问题与解法M.上海：同济大学出版社。17刘广云，数学分析选讲M.高等教育出版社，199718B.A.卓里奇著，数学分析（第一卷）（第4版）M.北京高等教育出版社。19郇中丹、 刘永平 、王昆扬著，简明数学分析（第2版）M.高等教育出版社。谢辞：在论文写作的过程中，对于我出现的各种问题，兰老师从来都不觉厌烦，循循善诱的教导我，为我指点迷津，帮我开拓思路。在此向兰老师致以诚挚的谢意！ The Extreme Value Method of Implicit FunctionColle