2018-2019高中数学 第一章 空间几何体 1.2.3 空间几何体的直观图学案 新人教A版必修2.doc

1.2.3空间几何体的直观图学习目标1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图知识点斜二测画法思考边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，AB与CD有何关系？AD与BC呢？在原图与直观图中，AB与AB相等吗？AD与AD呢？答案ABCD，ADBC，ABAB，ADAD.梳理水平放置的平面图形的斜二测画法(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(2)立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面xOy垂直的轴Oz，且平行于Oz的线段长度不变，其他同平面图形的画法1用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()2用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变()3在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变()类型一平面图形的直观图例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系画出相应的x轴和y轴，使xOy45，如图(1)(2)所示(2)在x轴上截取OBOB，在y轴上截取ODOD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点C使得DCDC.连接BC，如图(2)所示(3)所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)所示引申探究例1中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直观图解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系xOy，使xOy45. (2)以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点画出CDx轴，并使CDCD.(3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图反思与感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可跟踪训练1已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图解画法：(1)在图(1)中作AGx轴于点G，作DHx轴于点H.(2)在图(2)中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45.(3)在图(2)中的x轴上取OBOB，OGOG，OCOC，OHOH，y轴上取OEOE，分别过G和H作y轴的平行线，并在相应的平行线上取GAGA，HDHD.(4)连接AB，AE，ED，DC，并擦去辅助线GA，HD，x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图(3)类型二直观图的还原与计算例2如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12.在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12.在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12.连接BC，即得到了原图形由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰的长度AD2，所以面积为S25.反思与感悟(1)由直观图还原为平面图的关键是找与x轴，y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可(2)若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S，则有SS或S2S.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积跟踪训练2(1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形ABO，若OB1，那么原三角形ABO的面积是()A. B. C. D2考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案C解析直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积比为4，所以原图形的面积为，故选C.(2)如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，CD2 cm，则原图形是_(填四边形的形状)考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案菱形解析如图所示，在原图形OABC中，应有OAOA6(cm)，OD2OD224(cm)，CDCD2(cm)，OC6(cm)，OAOC，故四边形OABC是菱形类型三空间几何体的直观图例3如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图考点空间几何体的直观图题点简单组合体的直观图解(1)作出长方体的直观图ABCDA1B1C1D1，如图1所示(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x轴、y轴，z轴，使xOy45如图2所示，在z上取点V，使得VO的长度为棱锥的高，连接VA1，VB1，VC1，VD1，得到四棱锥的直观图，如图2. (3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图3.反思与感悟空间几何体的直观图的画法：(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致跟踪训练3用斜二测画法画出六棱锥PABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)考点空间几何体的直观图题点柱、锥、台的直观图解画法：(1)画出六棱锥PABCDEF的底面在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，画出相应的x轴、y轴、z轴，三轴相交于O，使xOy45，xOz90，如图(2)；在图(2)中，以O为中点，在x轴上取ADAD，在y轴上取MNMN，以点N为中点，画出BC平行于x轴，并且等于BC，再以M为中点，画出EF平行于x轴，并且等于EF；连接AB，CD，DE，FA得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF.(2)画出正六棱锥PABCDEF的顶点，在z轴正半轴上截取点P，点P异于点O.(3)成图连接PA，PB，PC，PD，PE，PF，并擦去x轴、y轴和z轴，便可得到六棱锥PABCDEF的直观图PABCDEF，如图(3)1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A原来相交的仍相交B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行D原来共点的仍共点考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案B解析根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直2利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案C解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为21.3如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案C解析在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的，并注意到xOy90，xOy45，因此由直观图还原成原图形为C.4有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为_cm2.考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案5解析该矩形直观图的面积为545.5画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图解(1)过点C作CEx轴，垂足为点E，如图(1)所示，画出对应的x轴，y轴，使xOy45，如图(2)所示(2)如图(2)所示，在x轴上取点B，E，使得OBOB，OEOE；在y轴上取一点D，使得ODOD；过点E作ECy轴，使ECEC.(3)连接BC，CD，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形OBCD就是所求的直观图1画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点确定点的位置，可采用直角坐标系建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上2用斜二测画法画图时要紧紧把握住“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox，Oy轴，在直观图中画成Ox，Oy轴，使xOy45或135.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.一、选择题1根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的Ox，Oy，Oz，则xOy与xOz的度数分别为()A90，90 B45，90C135，90 D45或135，90考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案D解析根据斜二测画法的规则，xOy的度数应为45或135，xOz指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90.2水平放置的ABC的直观图如图所示，其中BOCO1，AO，那么原ABC是一个()A等边三角形B直角三角形C三边中只有两边相等的等腰三角形D三边互不相等的三角形考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案A解析由图形，知在原ABC中，AOBC.AO，AO.BOCO1，BC2，ABAC2，ABC为等边三角形故选A.3下列说法中正确的个数是()相等的角在直观图中对应的角仍然相等；相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直；线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A1 B2 C3 D4考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案A解析如图，由正方形的直观图是平行四边形可知错误，易知正确，故选A.4下面每个选项的2个边长为1的正ABC的直观图不是全等三角形的一组是()考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案C解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论5已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m如果按1500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmC4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmD4 cm,0.5 cm,1cm,0.8 cm考点空间几何体的直观图题点柱、锥、台的直观图答案B解析由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.6已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为()A16 B64C16或64 D无法确定考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案C解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.7如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案A解析直观图中正方形的对角线长为，故在平面图形中平行四边形的高为2，只有A项满足条件，故A正确8如图所示，AOB表示水平放置的AOB的直观图，B在x轴上，AO与x轴垂直，且AO2，则AOB的边OB上的高为()A2 B4C2 D4考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案D解析设AOB的边OB上的高为h，因为S原图形2S直观图，所以OBh22OB.又OBOB，所以h4.二、填空题9在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M，则点M的坐标为_考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案(4,2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M的坐标为(4,2)10在如图所示的直观图中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为_(填形状)，面积为_ cm2.考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案矩形8解析由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA2 cm，OC4 cm，四边形OABC的面积为S248(cm2)11如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图OABC，则直观图中梯形的高为_考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案解析作CD，BEOA于点D，E，则ODEA2，CDOD2，在直观图中梯形的高为2.12水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知BC4，AC3，BCy轴，则ABC中AB边上的中线的长度为_考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案解析由斜二测画法规则知ACBC，即ABC为直角三角形，其中AC3，BC8，所以AB，AB边上的中线长度为.三、解答题13如图所示，在ABC中，AC12 cm，AC边上的高BD12 cm，求其水平