《数学分析》10第三章-函数极限.doc

数学分析教案第三章 函数极限u 引言在数学分析中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势。我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即; 或或.研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势。此处函数的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即。但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？为此，考虑下列函数:类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势, 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。下面，我们就依次讨论这些极限。1函数极限的概念一、时函数的极限 引言设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。例如无限增大时，无限地接近于；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势。我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数的函数称为“当时有极限”。问题如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.2. 时函数极限的定义定义设为定义在上的函数，为实数。若对任给的，存在正数，使得当时有 , 则称函数当时以为极限。记作或. 几点注记（） 定义中作用与数列极限中作用相同，衡量与的接近程度，正数的作用与数列极限定义中相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是正整数n。（） 的邻域描述：当时，（） 的几何意义：对，就有和两条直线，形成以为中心线，以为宽的带形区域。“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内。如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。（） 现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数，则称当或时时以为极限，分别记作，或，或。这两种函数极限的精确定义与定义相仿，简写如下：当时，当时，。（）推论：设为定义在上的函数，则。利用的定义验证极限等式举例例证明.例证明）；）.二、时函数的极限引言上节讨论的函数当时的极限，是假定为定义在上的函数，这事实上是，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数。本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数，。现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数数列。先看下面几个例子：例.（是定义在上的函数，当时，）例.（是定义在上的函数，当时，）例.（是定义在上的函数，当时，）由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数；但对有些函数却无此性质。所以有必要来研究当时，的变化趋势。我们称上述的第一类函数为当时以为极限，记作。和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法。不是严格的数学定义。那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数”只要充分接近，函数值和的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可以了。即对，当时，都有。此即。时函数极限的定义定义设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，使得当时有，则称函数当 趋于时以为极限（或称为时的极限），记作或（. 说明如何用定义来验证这种类型的函数极限 函数极限的定义的几点说明：（）是结论，是条件，即由推出。（）是表示函数与的接近程度的。为了说明函数在的过程中，能够任意地接近于，必须是任意的。这即的第一个特性任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了。以便通过寻找，使得当时成立。这即的第二特性暂时固定性。即在寻找的过程中是常量；另外，若是任意正数，则均为任意正数，均可扮演的角色。也即的第三个特性多值性；（）(3) 是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的。它的第一个特性是相应性。即对给定的，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取的，为此记之为；一般说来，越小，越小。但是，定义中是要求由推出即可，故若满足此要求，则等等比还小的正数均可满足要求，因此不是唯一的。这即的第二个特性多值性。（）在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关。所以可以不考虑在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定“”。（）定义中的不等式；。从而定义，当时，都有，使得。（）定义的几何意义。例 设，证明.例 设，讨论时的极限。例 证明）；）.例 证明.例 证明.例 证明.练习：）证明; ）证明.三、单侧极限引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如或函数在某些点仅在其一侧有定义，如。这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论。如讨论在时的极限。要在的左右两侧分别讨论。即当而趋于时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于时，应按来考察函数值的变化趋势；而对，只能在点的右侧，即而趋于时来考察。为此，引进“单侧极限”的概念。单侧极限的定义定义 设函数在内有定义，为定数。若对任给的，使得当时有, 则称数为函数当趋于时的右极限，记作或或。类似可给出左极限定义（，或或