苏教版初中数学相似三角形专题--有答案有解释.doc

苏教版初中数学相似三角形专题一填空题（共7小题）1已知ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）以B为位似中心，画出与ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是2如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上（）ABC的面积等于；（）若四边形DEFG是ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）3如图是两张大小不同的44方格纸，它们均由16个小正方形组成，其中图与图中小正方形的面积比为5：4，请在图中画出格点正方形EFGH，使它与图中格点正方形ABCD的面积相等4如图，在RtABC中，C=90，CDAB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为5如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是，AC的长是6如图，若CD是RtABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于cm7如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），ABC与DEF位似，原点O是位似中心若AB=1.5，则DE=二解答题（共23小题）8如图，四边形ABCD四边形ABCD，求边x、y的长度和角的大小9已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）求证：F点是AD的黄金分割点10从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）如图，在ABC中，CD为角平分线，A=40，B=60，求证：CD是ABC的完美分割线；（2）如图，在ABC中，AC=2，BC=，CD是ABC的完美分割线，且ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长11如图，BDAC，AB与CD相交于点O，OBDOAC，=，OB=4，求AO和AB的长12如图，点C、D在线段AB上，PCD是等边三角形，且ACPPDB，求APB的度数13已知：如图，D是BC上一点，ABCADE，求证：1=2=314如图，ABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使CPQ与CBA相似，所需要的时间是多少秒？15如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：ABEDEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长16如图，点C是线段AB上一点，ACD和BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F（1）求证：ACEDCB；（2）求证：ADFBAD17如图：已知ABDB于B点，CDDB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长18如图，在ABC中，C=90，DMAB于点M，DNBC于点N，交AB于点E求证：DMEBCA19在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：DEFEBD20如图，在ABC中，BAC=90，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D求证：DBADAC21如图，已知ACBD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，SBEF：SEFC=2：3（1）求EF的长；（2）如果BEF的面积为4，求ABC的面积22如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且=（1）求证：ABCD；（2）如果AD2=DGDE，求证：=23已知：如图，在四边形ABCD中，BAD=CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）DECADC；（2）AEAB=BCDE24已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BEDC，垂足为点E，交AC于点F求证：（1）ABFBED；（2）=25某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米如图，已知ABBM，EDBM，GFBM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度26小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置于是，他们做了以下尝试（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子AB，DC的长度和为6cm那么灯泡离地面的高度为（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子AB，DC的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子AB，DC的长度和为b，求灯泡离地面的距离（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）27如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？28如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离29如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度30如图，以原点O为位似中心，把OAB放大后得到OCD，求OAB与OCD的相似比苏教版初中数学相似三角形专题参考答案与试题解析一填空题（共7小题）1（2014黄冈模拟）已知ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）以B为位似中心，画出与ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是（6，0）、（3，3）、（0，3）【考点】作图相似变换菁优网版权所有【专题】作图题【分析】根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案【解答】解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：（6，0）、（3，3）、（0，3）故答案为：（6，0）、（3，3）、（0，3）【点评】本题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数2（2013天津）如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上（）ABC的面积等于6；（）若四边形DEFG是ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求【考点】作图相似变换；三角形的面积；正方形的性质菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（）ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；（）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求【解答】解：（）ABC的面积为：43=6；（）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求故答案为：（）6；（）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求【点评】此题考查了作图位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键3（2012鼓楼区一模）如图是两张大小不同的44方格纸，它们均由16个小正方形组成，其中图与图中小正方形的面积比为5：4，请在图中画出格点正方形EFGH，使它与图中格点正方形ABCD的面积相等【考点】作图相似变换菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】根据图与图中小正方形的面积比为5：4，求出图中正方形ABCD的面积为8，进而得出正方形EFGH的面积即可【解答】解：根据图与图中小正方形的面积比为5：4，图中正方形ABCD的面积为8，使它与图中格点正方形ABCD的面积相等，则图中正方形EFGH的面积为10，如图所示：【点评】此题主要考查了图形相似的性质，根据图与图中小正方形的面积比为5：4得出两个大正方形面积之比是解题关键4（2016春苏州期末）如图，在RtABC中，C=90，CDAB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为4【考点】射影定理菁优网版权所有【分析】根据射影定理得到：CD2=ADBD，把相关线段的长度代入计算即可【解答】解：在RtABC中，C=90，CDAB，垂足为D，AD=8，DB=2，CD2=ADBD=82，则CD=4故答案是：4【点评】本题考查了射影定理RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：AD2=BDDC；AB2=BDBC；AC2=CDBC5（2015春成都校级期末）如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是4，AC的长是2【考点】射影定理菁优网版权所有【分析】由在RtABC中，ACB=90，CDAB，根据同角的余角相等，可得ACD=B，又由CDB=ACB=90，可证得ACDCBD，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得AD，然后根据勾股定理即可求得AC【解答】解：在RtABC中，ACB=90，CDAB，CDB=ACB=90，ACD+BCD=90，BCD+B=90，ACD=B，ACDCBD，CD=2，BD=1，AD=4，在RtACD中，AC=2，故答案为：4，2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质此题难度不大，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形的对应边成比例定理的应用6（2015秋太原校级期末）如图，若CD是RtABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于cm【考点】射影定理菁优网版权所有【分析】根据射影定理求出BD的长，再根据射影定理计算即可【解答】解：CD是RtABC斜边CD上的高，CD2=ADDB，BD=，则AB=AD+BD=，BC2=BDBA=，BC=，故答案为：【点评】本题考查的是射影定理的应用，射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项7（2016三明）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），ABC与DEF位似，原点O是位似中心若AB=1.5，则DE=4.5【考点】位似变换；坐标与图形性质菁优网版权所有【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出=，求出DE的长即可【解答】解：ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），AO=1，DO=3，=，AB=1.5，DE=4.5故答案为：4.5【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出=是解题关键二解答题（共23小题）8（2016秋长春期中）如图，四边形ABCD四边形ABCD，求边x、y的长度和角的大小【考点】相似多边形的性质菁优网版权所有【分析】直接根据相似多边形的性质即可得出结论【解答】解：四边形ABCD四边形ABCD，C=，D=D=140 x=12，=C=360ABD=3606275140=83【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解答此题的关键9（2015秋萧县校级月考）已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）求证：F点是AD的黄金分割点【考点】相似多边形的性质；黄金分割菁优网版权所有【分析】（1）根据题意证明四边形ABEF是矩形，根据折叠的性质得到AB=AF，证明结论；（2）根据相似多边形的性质得到AB2=FDAB，根据正方形的性质得到答案【解答】证明：（1）B=BAF=AFE=90，四边形ABEF是矩形，由折叠的性质可知AB=AF，四边形ABEF是正方形；（2）四边形EFDC与矩形ABCD相似=，又AB=CD，AB2=FDAB，又AB=AF，AF2=FDAB，F点是AD的黄金分割点【点评】本题考查的是相似多边形的性质和黄金分割的概念，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键，注意把线段分成两条线段，且使较长是已知线段和较短的比例中项，叫做把线段AB黄金分割10（2016秋滦南县期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）如图，在ABC中，CD为角平分线，A=40，B=60，求证：CD是ABC的完美分割线；（2）如图，在ABC中，AC=2，BC=，CD是ABC的完美分割线，且ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长【考点】相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）根据三角形内角和定理求出ACB=80，根据角平分线的定义得到ACD=40，证明BCDBAC，证明结论；（2）根据BCDBAC，得到，设BD=x，解方程求出x，根据相似三角形的性质定理列式计算即可【解答】解：（1）A=40，B=60，ACB=80，ABC不是等腰三角形，CD平分ACB，ACD=BCD=ACB=40，ACD=A=40，ACD是等腰三角形，BCD=A=40，CBD=ABCBCDBAC，CD是BAC的完美分割线；（2）BCDBAC，AC=AD=2，BC=，设BD=x，则AB=4+x，解得x=1，x0，BD=x=1+，BCDBAC，AC=2，BC=，BC=1+CD=【点评】本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键11（2016秋莲都区校级月考）如图，BDAC，AB与CD相交于点O，OBDOAC，=，OB=4，求AO和AB的长【考点】相似三角形的性质菁优网版权所有【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长【解答】解：OBDOAC，=，=，解得OA=6，AB=OA+OB=4+6=10【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键12（2015秋佛山期末）如图，点C、D在线段AB上，PCD是等边三角形，且ACPPDB，求APB的度数【考点】相似三角形的性质菁优网版权所有【分析】根据等边三角形的性质得到PCD=60，根据相似三角形的判定定理证明ACPABP，根据相似三角形的性质得到答案【解答】解：PCD是等边三角形，PCD=60，ACP=120，ACPPDB，APC=B，又A=A，ACPABP，APB=ACP=120【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键13（2015秋延庆县期末）已知：如图，D是BC上一点，ABCADE，求证：1=2=3【考点】相似三角形的性质菁优网版权所有【分析】由相似三角形的性质易证1=2，再由三角形内角和定理易证2=3，进而可证明1=2=3【解答】证明：ABCADE，C=E，BAC=DAE，BACDAC=DAEDAC，即1=2，在AOE和DOC中，E=C，AOE=DOC（对顶角相等），2=3，1=2=3【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的各种性质是解题关键14（2015秋泗县期中）如图，ABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使CPQ与CBA相似，所需要的时间是多少秒？【考点】相似三角形的性质；一元一次方程的应用菁优网版权所有【专题】动点型；分类讨论【分析】若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，据此可解出两三角形相似时所需时间【解答】解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，若RtABCRtQPC则，即解之得t=1.2；若RtABCRtPQC则，解之得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0t2，验证可知两种情况下所求的t均满足条件所以可知要使CPQ与CBA相似，所需要的时间为1.2或秒【点评】本题综合考查了相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，并且需要用到分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证15（2016兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：ABEDEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】（1）利用正方形的性质，可得A=D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得ABEDEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长【解答】（1）证明：ABCD为正方形，AD=AB=DC=BC，A=D=90，AE=ED，DF=DC，ABEDEF；（2）解：ABCD为正方形，EDBG，又DF=DC，正方形的边长为4，ED=2，CG=6，BG=BC+CG=10【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用解题的关键是数形结合思想的应用16（2016萧山区模拟）如图，点C是线段AB上一点，ACD和BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F（1）求证：ACEDCB；（2）求证：ADFBAD【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论【解答】解：（1）ACD和BCE都是等边三角形，AC=CD，CE=CB，ACD=BCE=60ACE=DCB=120ACEDCB（SAS）；（2）ACEDCB，CAE=CDBADC=CAD=ACD=CBE=60，DCBE，CDB=DBE，CAE=DBE，DAF=DBAADFBAD【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等17（2016厦门校级模拟）如图：已知ABDB于B点，CDDB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长【考点】相似三角形的判定菁优网版权所有【分析】根据已知可以分PDCABP或PCDPAB两种情况进行分析【解答】解：ABDB，CDDBD=B=90，设DP=x，当PD：AB=CD：PB时，PDCABP，=，解得DP=2或12，当PD：PB=CD：AB时，PCDPAB，=，解得DP=5.6DP=5.6或2或12【点评】此题考查了相似三角形的判定，如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似18（2016云南模拟）如图，在ABC中，C=90，DMAB于点M，DNBC于点N，交AB于点E求证：DMEBCA【考点】相似三角形的判定菁优网版权所有【专题】证明题【分析】先证明DEM=A，再由C=DME=90，根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明DMEBCA【解答】证明：C=90，DMAB于点M，DNBC于点N，C=ENB=DME=90，ACDN，BEN=A，BEN=DEM，DEM=A在DME与BCA中，DMEBCA【点评】本题考查了相似三角形的判定，方法有（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似19（2016厦门校级模拟）在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：DEFEBD【考点】相似三角形的判定；矩形的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】根据已知结合相似三角形的判定与性质得出=，进而得出DEFBED【解答】证明：ACBE，AFB=AFE=90，四边形ABCD是矩形，BAE=90，又AEF=BEA，AEFBEA，=，点E是AD的中点，AE=ED，=，又FED=DEB，在DEF和BED中=FED=DEBDEFBED【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，正确得出=是解题关键20（2016春昌平区期末）如图，在ABC中，BAC=90，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D求证：DBADAC【考点】相似三角形的判定菁优网版权所有【专题】证明题【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出C=CAM，求出DAB=CAM，求出DAB=C，根据相似三角形的判定得出即可【解答】证明：BAC=90，点M是BC的中点，AM=CM，C=CAM，DAAM，DAM=90，DAB=CAM，DAB=C，D=D，DBADAC【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出DAB=C是解此题的关键21（2017松江区一模）如图，已知ACBD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，SBEF：SEFC=2：3（1）求EF的长；（2）如果BEF的面积为4，求ABC的面积【考点】相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）先根据SBEF：SEFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据ACBD，EFBD得出EFAC，故BEFABC，再由相似三角形的性质即可得出结论【解答】解：（1）ACBD，AC=6，BD=4，BEF和CEF同高，且SBEF：SCEF=2：3，EFBD，（2）ACBD，EFBD，EFAC，BEFABC，SBEF=4，SABC=25【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键22（2017闵行区一模）如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且=（1）求证：ABCD；（2）如果AD2=DGDE，求证：=【考点】相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）由ADBC，得到ADGCEG，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到，根据等式的性质得到=，等量代换即可得到结论【解答】证明：（1）ADBC，ADGCEG，=，ABCD；（2）ADBC，ADGCEG，=，=，AD2=DGDE，=，ADBC，=，=【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键23（2017普陀区一模）已知：如图，在四边形ABCD中，BAD=CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）DECADC；（2）AEAB=BCDE【考点】相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；（2）先根据相似三角形的性质，得出BAC=EDA，=，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可【解答】证明：（1）DC=，CE=a，AC=b，CD2=CECA，即=，又ECD=DCA，DECADC；（2）DECADC，DAE=CDE，BAD=CDA，BAC=EDA，DECADC，=，DC=AB，=，即=，ADECAB，=，即AEAB=BCDE【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似24（2017奉贤区一模）已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BEDC，垂足为点E，交AC于点F求证：（1）ABFBED；（2）=【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质菁优网版权所有【分析】（1）由菱形的性质得出ACBD，ABCD，得出ABFCEF，由互余的关系得：DBE=FCE，证出BEDCEF，即可得出结论；（2）由平行线得出，由相似三角形的性质得出，即可得出结论【解答】证明：（1）四边形ABCD是菱形，ACBD，ABCD，ABFCEF，BEDC，FEC=BED，由互余的关系得：DBE=FCE，BEDCEF，ABFBED；（2）ABCD，ABFBED，=【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键25（2016陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米如图，已知ABBM，EDBM，GFBM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度【考点】相似三角形的应用菁优网版权所有【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出ABCEDC，ABFGFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长【解答】解：由题意可得：ABC=EDC=GFH=90，ACB=ECD，AFB=GHF，故ABCEDC，ABFGFH，则=，=，即=，=，解得：AB=99，答：“望月阁”的高AB的长度为99m【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确利用已知得出相似三角形是解题关键26（2016桐城市模拟）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置于是，他们做了以下尝试（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子AB，DC的长度和为6cm那么灯泡离地面的高度为180cm（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子AB，DC的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子AB，DC的长度和为b，求灯泡离地面的距离（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）【考点】相似三角形的应用菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）设灯泡的位置为点P，易得PADPAD，设出所求的未知数，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；（2）同法可得到横向影子AB，DC的长度和；（3）按照相应的三角形相似，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，用字母表示出其他线段，即可得到灯泡离地面的距离【解答】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，ADAD，PAD=PAD，PDA=PDAPADPAD根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，=，解得x=180（4分）（2）设横向影子AB，DC的长度和为ycm，同理可得=，解得y=12cm；（3分）（3）记灯泡为点P，如图：ADAD，PAD=PAD，PDA=PDAPADPAD根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得（1分）（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=xa，AD=na，AD=na+b，=1=1x=（1分）【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质27（2016罗定市一模）如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？【考点】相似三角形的应用菁优网版权所有【分析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可【解答】解：设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.9m，墙上的影高CD为1.2m，=，解得x=1.08（m），树的影长为：1.08+2.7=3.78（m），=，解得h=4.2（m）答：测得的树高为4.2米【点评】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点28（2016河西区模拟）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离【考点】相似三角形的应用菁优网版权所有【分析】先根据相似三角形的判定得出ABCAMN，再利用相似三角形的性质解答即可【解答】解：在ABC与AMN中，=，=，又A=A，ABCAMN，即，解得：MN=1500米，答：M、N两点之间的直线距离是1500米；【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键29（2016高新区一模）如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度【考点】相似三角形的应用菁优网版权所有【分析】如图，延长OD，BC交于点P解直角三角形得到DP=DCcot30=m，PC=CD（sin30）=4米，通过PDCPBO，得到代入数据即可得到结论【解答】解：如图，延长OD，BC交于点PODC=B=90，P=30，OB=11米，CD=2米，在直角CPD中，DP=DCcos30=m，PC=CD（sin30）=4米，P=P，PDC=B=90，PDCPBO，PB=11米，BC=PBPC=（114）米【点评】本题考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键30（2016柳州）如图，以原点O为位似中心，把OAB放大后得到OCD，求OAB与OCD的相似比【考点】位似变换菁优网版权所有【分析】根据点B的坐标和点D的坐标，求出OB=4，OD=6，得出=，再根据OAB与OCD关于点O位似，从而求出OAB与OCD的相似比【解答】解：点B的坐标是（4，0），点D的坐标是（6，0），OB=4，OD=6，=，OAB与OCD关于点O位似，OAB与OCD的相似比【点评】此题考查了位似变换，位似变换的两个图形相似根据相似多边形对应边成比例得OB：OD=2：3考点卡片1一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润=售价进价，利润率=利润进价100%）；（4）工程问题（工作量=人均效率人数时间；如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；（5）行程问题（路程=速度时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度水流速度）（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答列一元一次方程解应用题的五个步骤1审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系2设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数3列：根据等量关系列出方程4解：解方程，求得未知数的值5答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句2坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题3三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=底高（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分4全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必