不等式的解法

1 / 13 不等式的解法 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 不等式的解法（二） 知识梳理 1.|x| ax a或 x a（ a 0）； |x| a a x a（ a 0） . 2.形如 |x a|+|x b|c 的不等式的求解通常采用 “ 零点分段讨论法 ”. 3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论 . 4.绝对值不等式的性质： |a| |b|ab|a|+|b|. 思考讨论 1.在 |x| ax a 或 x a（ a 0）、 |x| a a x a（ a 0）中的 a 0 改为 aR 还成立吗 ? 2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么 ? 点击双基 1.设 a、 b 是满足 ab 0 的实数，那么 A.|a+b| |a b| B.|a+b| |a b| c.|a b| |a| |b| D.|a b| |a|+|b| 2 / 13 解析：用赋值法 .令 a=1， b= 1，代入检验 . 答案： B 2.不等式 |2x2 1|1 的解集为 A.x| 1x1B.x| 2x2 c.x|0x2D.x| 2x0 解析：由 |2x2 1|1 得 12x2 11. 0x21 ，即 1x1. 答案： A 3.不等式 |x+log3x| |x|+|log3x|的解集为 A.（ 0， 1） B.（ 1， + ） c.（ 0， + ） D.（ ， + ） 解析： x 0， x 与 log3x异号， log3x 0.0 x 1. 答案： A 4.已知不等式 a 对 x 取一切负数恒成立，则 a 的取值范围是 _. 解析：要使 a 对 x 取一切负数恒成立， 令 t=|x| 0，则 a. 而 =2 ， a2. 答案： a2 5.已知不等式 |2x t|+t 1 0 的解集为（，），则3 / 13 t=_. 解析： |2x t| 1 t， t 1 2x t 1 t， 2t 1 2x 1， t x . t=0. 答案： 0 典例剖析 【例 1】解不等式 |2x+1|+|x 2| 4. 剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解 .令 2x+1=0， x2=0，得两个零点 x1=， x2=2. 解：当 x 时，原不等式可化为 2x 1+2 x 4， x 1. 当 x2 时，原不等式可化为 2x+1+2 x 4， x 1.又 x2 ， 1 x2. 当 x 2 时，原不等式可化为 2x+1+x 2 4， x . 又 x 2， x 2. 综上，得原不等式的解集为 x|x 1 或 1 x. 深化拓展 4 / 13 若此题再多一个含绝对值式子 .如： |2x+1|+|x 2|+|x 1| 4，你又如何去解？ 分析：令 2x+1=0， x 2=0， x 1=0， 得 x1=， x2=1， x3=2. 解：当 x 时，原不等式化为 2x 1+2 x+1 x 4， x . 当 x1 时，原不等式 可化为 2x+1+2 x+1 x 4， 4 4（矛盾） . 当 1 x2 时，原不等式可化为 2x+1+2 x+x 1 4， x 1. 又 1 x2 ， 1 x2. 当 x 2 时，原不等式可化为 2x+1+x 2+x 1 4， x . 又 x 2， x 2. 综上所述，原不等式的解集为 x|x或 x 1. 【例 2】解不等式 x2 9 x 3. 剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用 |x|a axa 去绝对值 . 解法一：原不等式（ 1）或（ 2） 不等式（ 1） x 3 或 3x 4； 不等式（ 2） 2x 3. 5 / 13 原不等式的解集是 x 2x4 或 x 3 . 解法二：原不等式等价于 或 x2x= 3 或 2x4. 原不等式的解集是 x 2x4 或 x 3 . 【例 3】（理）已知函数 f（ x） =x|x a|（ aR ） . （ 1）判断 f（ x）的奇偶性； （ 2）解关于 x 的不等式： f（ x） 2a2. 解：（ 1）当 a=0时， f（ x） = x| x|= x|x|= f（ x）， f （ x）是奇函数 . 当 a0 时， f（ a） =0且 f（ a） = 2a|a|. 故 f（ a） f （ a）且 f（ a） f（ a） . f （ x）是非奇非偶函数 . （ 2）由题设知 x|x a|2a2 ， 原不等式等价于 或 由 得 x. 由 得 当 a=0时， x0. 当 a 0 时， x2a. 6 / 13 当 a 0 时， 即 x a. 综上 a0 时， f（ x） 2a2 的解集为 x|x2a ； a 0 时， f（ x） 2a2 的解集为 x|x a. （文）设函数 f（ x） =ax+2，不等式 |f（ x） | 6 的解集为（ 1， 2），试求不等式 1 的解集 . 解： |ax+2| 6， （ ax+2） 2 36， 即 a2x2+4ax 32 0. 由题设可得 解得 a= 4. f （ x） = 4x+2. 由 1 ，即 1 可得 0. 解得 x或 x. 原不等式的解集为 x|x或 x. 闯关训练 夯实基础 1.已知集合 A=x|a 1xa+2 ， B=x|3 x 5，则能使AB成立的实数 a 的取值范围是 A.a|3 a4B.a|3a4 7 / 13 c.a|3 a 4D. 解析：由题意知得 3a4. 答案： B 2.不等式 |x2+2x| 3 的解集为 _. 解析： 3 x2+2x 3，即 3 x 1. 答案： 3 x 1 3.不等式 |x+2|x| 的解集是 _. 解法一： |x+2|x| （ x+2） 2x24x+40x 1. 解法二：在同一直角坐标系下作出 f（ x） =|x+2|与 g（ x）=|x|的图象，根据图象可得 x 1. 解法三：根据绝对值的几何意义，不等式 |x+2|x| 表示数轴上 x 到 2 的距离不小于到 0 的距离， x 1. 答案： x|x 1 评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的 基本方法，必须掌握 . 4.当 0 a 1 时，解关于 x 的不等式 a ax 2. 解：由 0 a 1，原不等式可化为 x 2. 这个不等式的解集是下面不等式组 及 的解集的并集 . 或 解不等式组 得解集为 x|x 2， 8 / 13 解不等式组 得解集为 x|2x 5， 所以原不等式的解集为 x|x 5. 5.关于 x 的方程 3x2 6（ m 1） x+m2+1=0 的两实根为 x1、x2，若 |x1|+|x2|=2，求 m 的值 . 解： x1、 x2为方程两实根， =36 （ m 1） 2 12（ m2+1） 0. m 或 m. 又 x1x2= 0， x1 、 x2 同号 . |x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m 1|. 于是有 2|m 1|=2， m=0 或 2. m=0. 培养能力 6.解不等式 . 解：（ 1）当 x2 2 0 且 x0 ，即当 x且 x0 时，原不等式显然成立 （ 2）当 x2 2 0 时，原不等式与不等式组等价 x2 2 x，即 x 2 x 20. x 2. 不等式组的解为 x 2 ， 即 x 2 或 x2 原不等式的解集为（ ， 2 （， 0） （ 0，） 2， ） 7.已知函数 f（ x） =的定义域恰为不等式 log2（ x+3） +logx39 / 13 的解集，且 f（ x）在定义域内单调递减，求实数 a 的取值范围 . 解：由 log2（ x+3） +logx3 得 x ， 即 f（ x）的定义域为， + ） . f （ x）在定义域， + ）内单调递减， 当 x2 x1 时， f（ x1） f（ x2） 0 恒成立，即有（ ax1 +2）（ ax2 +2） 0a（ x1 x2）（） 0 （ x1 x2）（ a+） 0 恒成立 . x1 x2， （ x1 x2）（ a+） 0 a+ 0. x1x2 ， 要使 a恒成立， 则 a 的取值范围是 a . 8.有点难度哟！ 已知 f（ x） =x2 x+c定义在区间 0， 1上， x1、 x2 0，1，且 x1x2 ，求证： （ 1） f（ 0） =f（ 1）； （ 2） |f（ x2） f（ x1） | |x1 x2|； （ 3） |f（ x1） f（ x2） |； （ 4） |f（ x1） f（ x2） |. 证明：（ 1） f（ 0） =c， f（ 1） =c， 10 / 13 f （ 0） =f（ 1） . （ 2） |f（ x2） f（ x1） |=|x2 x1|x2+x1 1|. 0x11 ， 0x21 ， 0 x1+x2 2（ x1x2 ） . 1 x1+x2 1 1. |f （ x2） f（ x1） | |x2 x1|. （ 3）不妨设 x2 x1，由（ 2）知 |f（ x2） f（ x1） | x2 x1. 而由 f（ 0） =f（ 1），从而 |f（ x2） f（ x1） |=|f（ x2） f（ 1） +f（ 0） f（ x1） |f（ x2） f（ 1） |+|f（ 0） f（ x1） | |1 x2|+|x1| 1 x2+x1. + 得 2|f（ x2） f（ x1） | 1， 即 |f（ x2） f（ x1） | . （ 4） |f（ x2） f（ x1） |fmax fmin=f（ 0） f（） =. 探究创新 9.（ 1）已知 |a| 1， |b| 1，求证： | 1； （ 2）求实数 的取值范围，使不等式 | 1 对满足 |a| 1，|b| 1 的一切实数 a、 b 恒成立； （ 3）已知 |a| 1，若 | 1，求 b 的取值范围 . （ 1）证明： |1 ab|2 |a b|2=1+a2b2 a2 b2=（ a2 1）（ b2 1） . |a| 1， |b| 1， a2 1 0， b2 1 0. 11 / 13 |1 ab|2 |a b|2 0. |1 ab| |a b|， = 1. （ 2）解： | 1|1 ab|2 |a b|2=（ a22 1）（ b2 1） 0. b2 1， a22 1 0 对于任意满足 |a| 1 的 a 恒成立 . 当 a=0时， a22 1 0 成立； 当 a0 时，要使 2 对于任意满足 |a| 1 的 a 恒成立，而 1， |1. 故 11. （ 3） | 1（） 2 1（ a+b） 2（ 1+ab） 2a2+b2 1 a2b2 0（ a2 1）（ b2 1） 0. |a| 1， a2 1.1 b2 0， 即 1 b 1. 思悟小结 1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值 .常用的方法是：（ 1）由定义分段讨论；（ 2）利用绝对值不等式的性质；（ 3）平方 . 2.解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论 .注意：（ 1）要考虑参数的总取值范围 .（ 2）用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏 . 教师下载中心 12 / 13 教学点睛 1.绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新 .在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去 掉绝对值符号，一定要教给学生方法，切不可以题论题 . 2.无理不等式在新课程书本并未出现，但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式 . 3.指数、对数不等式能利用单调性求解 . 拓展题例 【例 1】设 x1、 x2、 y1、 y2 是实数，且满足 x12+x221 ，证明不等式（ x1y1+x2y2 1） 2 （ x12+x22 1）（ y12+y22 1） . 分析：要证原不等式成立，也就是证（ x1y1+x2y2 1） 2（ x12+x22 1）（ y12+y22 1） 0. 证明：（ 1）当 x12+x22=1 时，原不等式 成立 . （ 2）当 x12+x22 1 时，联想根的判别式，可构造函数 f（ x）=（ x12+x22 1） x 2（ x1y1+x2y2 1） x+（ y12+y22 1），其根的判别式 =