不等式的概念与性质

1 / 15 不等式的概念与性质 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址题目第六章不等式不等式的概念与性质 高考要求 掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些概念解决一些简单问题 知识点归纳 1实数的大小顺序与运算性质之间的关系： 2不等式的性质： （ 1），（反对称性） （ 2），（传递性） （ 3），故（移项法则） 推论：（同向不等式相加） （ 4）， 推论 1： 推论 2： 推论 3： 不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件 和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强 题型讲解 2 / 15 例 1 已知三个不等式： ab0bcad, 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题 解：可以组成下列 3 个命题 命题一：若 ab0， ,则 bcad 命题二：若 ab0， bcad则 , 命题三：若 ,bcad 则 ab0 由不等式的性质得知这三个命题均为真命题 例 2 有三个条件：（ 1） ac2bc2； (2)； (3)a2b2，其中能分别成为 ab 的充分条件的个数有（） A 0B 1c 2D 3 解：（ 1）由 ac2bc2 可知 c20，即 ab，故ac2bc2 是 ab 的充分条件（ 2） c0 时， ab（ 3） a0时， ab 的充分必要条件，故答案选 B 例 3 若 ab1， P=， Q=(lga+lgb),R=lg(),试比较 P，Q， R 的大小 解： ab1 ， lgalgb0 ， & lt;，即 PQ 又 ， lg() ， lg() ，即 QR， PQbc， a+b+c=0方程 ax2+bx+c=0 的两个实根为 x1， x2 （ 1）证明：； （ 2）若 x12+x1x2+x22=1，求 x12 x1x2+x22 （ 3）求 解：（ 1） abc， a+b+c=0, , a0 ， 1 (2)(方 法 1)a+b+c=0 ax2+bx+c=0 有一根为 1， 不妨设 x1=1,则由 x12+x1x2+x22=1 可得 x2(x2+1)=0， 而 x2=x1x2=0(3cb,bc,则 ac,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明 ac,选择中间量 b,在证出ab,cb,后，就误认为能得到 ac 2 同向不等式可相加但不能相减，即由 ab,cd，可以得出 a+cb+d, 但不能得 a cb d 3 不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证为正，才能得到同向的不等式，否则不能保证所乘之数或式为正， 则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正 总之，不等式的概念和性质是本章内容的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，必须透彻理解，特别要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘时，两个不等式都需大于零处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式，如果需要去分母，一定要考虑所乘的代数式的正负 作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意 6 / 15 学生练习 1已知 ab|a|，则（） ABab1Da2b2 答案 :D 2已知命题甲： acc， bd，则甲是乙的（） A充分非必要条件 B必要非充分条件 c充要条件 D非充分非必要条件 答案 :D 3若 |a+c|b|，则（） A ba+cbB|a c|b|c|a|b|+|c|D|a|b+c| 答案 :c 4设 a=,b= ,c=，则 a,b,c的大小顺序是（） AcbaBbcaccabDacb 答案 :B 5 若 0bBca b Daab 答案： B 提示： 0b0 6若 b0a,dcbdBca cb dDa cb d 7 / 15 答案 :c 7已知 1x3,m=3x2 x 1,N=4x2 5x 4，则（） AmNDm 与 N 大小不确定 答案 :c 提示 :m N x2 4x 3= (x 2)2 1,x(1,3),m N0 8已知 ab0 ，则 1是 1,若 a0,b0,则 ba0, 1; 若 a0,b0,则 ba0,1 9若 a,b,c都是正数，且 ab，则（） A1Bc1D1 答案 :A 10下列函数中，其最小值为 2 的函数是（） Ay=x By=sin sec(0) cy=Dy=sin csc(0) 答案： D 11设 a,b为实数，且 a b=3，则 2a 2b的最小值是（） A6B4c2D2 答案 :B 8 / 15 提示 :a b=3,2a 2b2=4 12已知 k 为实数 ,方程 x2 (k 3)x 4 k=0 有实根的充要条件是 Ak4B 3k3ck=3Dk0 答案 :c 提示 : 方程 x2 (k 3)x 4 k=0 有实根， x 2 kx 4 0,且 3x k=0,x= ,代入到 x2 kx 4 0 中解得 k=3 13若实数 x,y 满足 x2 y2 2x 4y=0，则 x 2y 的最大值是（） AB10c9D5 2 答案 :B 提示 :方程 x2 y2 2x 4y=0 化为 (x 1)2 (y2)2=5,(x,y)为圆上一点，设 x=1 sin,y= 2 cos, 则x 2y=5 5sin( ), 最大值为 10 14若 0aa,b,2a1,2abb,a2 b2abb2=b(a b)=b 15 若 f(x)=|lgx| ， 且 当 abfcfB，则下列各式中（）成立 9 / 15 A(a 1)(c 1)0Bac=1cac1Dac1 答案 :D 提示 :用图象分析 ,a1,b1,又 fAfc，c,ac2成立的充要条件是 答案 :ab0 且 a 17若 a0,b0,a b=1，比较大小： 2 答案 : 18已知 lgx lgy=2，则的最小值是 答案 : 提示 :xy=100, 2= 19当 x0 时 ,的最大值是 答案 : 20若直角三角形的周长为 2，则它的最大面积是 答案 :3 2 提示 :设斜边为 c,a=csin,b=ccos,a b c=2,c(1sin cos)=2,c1 sin( )=2,c=2( 1),S=c2sin2c2=3 2 21若 2x2 3y2=64，则 x2 y2的最大值是 答案 :32 提示 :x2 y2=,x232,x2 y232 22若不等式 1 对于 x 取一切实数都成立，则 k 值的范10 / 15 围是 答案 :1k3 提示 :0,对于 x 取一切实数都成立 ,0, 解得 k2 4k30,1k0 对于 x 的任意值都成立，则 k 值为 答案 :0k0 且0,解得 0k4,0k0，则 x=,y= 答案 :x=,y=1 提示 :xy0,8x2 3=6, 当 8x2=时 ,等号成立，x=,y=1 26设 1x0，则下列不等式成立的是（） A88x08xB8x08x8c08x88xD8x8y1，且 0a1，给出下列四个不等式：11 / 15 xa;logxloga()，其中正确的个数为（） A1B2c3D4 答案： D 28 下列命题： aba b0;35 是矛盾不等式 ;x2 2x 20 是条件不等式 ;a 11 是绝对不等式其中真命题的个数为（） A0个 B1个 c2个 D3个 答案： c 提示： 、 是真命题 29设数轴（方向由左向右）上的点 m、 N 分别对应于坐 标 xm、xN,且 xmb,a2b 则 a1a2; 若acbc,则 c0; 由 lglg,21,有 2lglg;ab, 则 ,其中不能成立的个数是（） A1个 B2个 c3个 D4个 答案： D 31若 a3 6aBa2 6/aca3 1 12 / 15 答案： A 32 下列命题： 不等式两边减去同一个数或式子，不等号方向不变； 两个不等式两边分别相加得到与被加式同向的不等式； 不等式两边改变符合时，不等号反向； 两个同向不等式的对应边相乘，方向不变； 两个异向不等式的对应边相除新不等式与被除式同向其中正确命题的个数是（） A3个 B4个 c2个 D5个 答案： c 提示： , 正确 33 设 ab0,0xblg(sinx)Balg(sinx)a,a b0,b0Ba0,b0ca0,b0Da0 答案： c 35下列推导中，不正确的是（） Ac abB0ab 13 / 15 cab0,cd0Dac;a b=cd;a dcdaBadcbcdbacDbdca 答案： D 37下列命题中正确的是（） A 由不等式 m 可以导出不等式 N，则 m 是 N 成立的必要条件 BmN 是 mN成立的充分条件 c 不等式 m 与不等式 N 两者等价，则 m 是 N 的充要条件 D 不等式 m 不成立时，不等式 N 也不成立，则 m 是 N 的充分条件 答案： c 38若 a,bR,cQ, 则使 acbc 成立的充分条件是（） Aab0,cb,a0,c0cba0,ca0,c0 答案： c 39下列不等式在 a、 b0时一定成立的是（） A B c 14 / 15 D 答案： A 40a0,a1 ， P loga(a3+1),Q=loga(a2+1),则 P、 Q 的大小关系是（） APQBP1,当 0x1 时 ,lgxlogx10 2 42 设 a、 b、 m 都是正数，且 ab，则下列各不等式中恒不成立的是（） A1Bc1D1 答案： B 提示： 0b,则 (填 “”,“ 45若 a0,b0,则 a、 b、 a、 b