全国通用版2019版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明课时分层作业四十6.6数学归纳法理.doc

课时分层作业 四十数学归纳法一、选择题(每小题5分,共35分)1.用数学归纳法证明“2nn2+1对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6【解析】选C.当n=1时,21=2=12+1,当n=2时,22=422+1=5,当n=3时,23=832+1=10,当n=4时,24=1652+1=26,当n=6时,26=6462+1=37,故起始值n0应取5.2.(2018淄博模拟)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)k+1成立时,总能推出f(k+1)k+2成立,那么下列命题总成立的是()A.若f(1)2成立,则f(10)11成立B.若f(3)4成立,则当k1时,均有f(k)k+1成立C.若f(2)2,f(8),f(16)3,f(32),观察上述结果,可推测出一般结论()A.f(2n)B.f(n2)C.f(2n)D.以上都不对【解析】选C.f(2)=f(21)=,f(4)=f(22),f(8)=f(23),f(16)=f(24),f(32)=f(25),由此可推知f(2n).6.用数学归纳法证明1+2+3+2n=2n-1+22n-1(nN*)时,假设n=k时命题成立,则当n=k+1时,左端增加的项数是()A.1项B.k-1项C.k项D.2k项【解析】选D. 运用数学归纳法证明1+2+3+2n=2n-1+22n-1(nN*)当n=k时,则有1+2+3+2k=2k-1+22k-1(kN*)左边表示的为2k项的和.当n=k+1时,则左边=1+2+3+2k+(2k+1)+2k+1,表示的为2k+1项的和,因此,增加了2k+1-2k=2k项.7.(2018商丘模拟)已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切nN*都成立,则a,b,c的值为()A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a,b,c【解题指南】根据数学归纳法的要求,只需代入前三个数即可.【解析】选A.因为等式对一切nN*均成立,所以n=1,2,3时等式成立,即整理得解得a=,b=c=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018洛阳模拟)用数学归纳法证明1+1)时,第一步应验证的不等式是_.解析】由nN*,n1知,n取第一个值n0=2,当n=2时,不等式为1+2.答案:1+的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是_.导学号12560630【解析】不等式的左边增加的式子是+-=,故填.答案:.1.(5分)已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+-=2(+)时,若已假设n=k(k2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B. k为偶数,则k+2为偶数.2.(5分)用数学归纳法证明“1+1,nN*),求证:1+(n2,nN*).【证明】(1)当n=2时,=S4=1+=1+,即n=2时命题成立;(2)假设当n=k(k2,kN*)时命题成立,即=1+1+,则当n=k+1时,=1+1+1+=1+=1+,故当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,对n2,nN*.不等式1+都成立.5.(13分)在数列an中,a1=2,an+1=an+n+1+(2-)2n(nN*,0). (1)求a2,a3,a4.(2)猜想an的通项公式,并加以证明.【解析】(1)a2=2+2+2(2-)=2+22,a3=(2+22)+3+(2-)22=23+23,a4=(23+23)+4+(2-)23=34+24.(2)由(1)可猜想数列通项公式为:an=(n-1)n+2n.下面用数学归纳法证明:当n=1,2,3,4时,等式显然成立,假设当n=k(k4,kN*)时等式成立,即ak=(k-1)k+2k,那么当n=k+1时,ak+1=ak+k+1+(2-)2k=(k-1)k+2k+k+1+2k+1-2k=(k-1)k+1+k+1