Jordan标准型λ-矩阵.ppt

第2章：Jordan标准形介绍,JordanCanonicalForm,第2章：Jordan标准形介绍,问题：对线性空间中的线性变换T，求一组基1，2，n和矩阵J，使T:1，2，nJ矩阵J尽可能简单。矩阵J的结构对任何变换可行内容：首选A为对角形线性变换的对角化问题。建立J一般的结构Jordan标准形理论。Jordan方法及其应用方法：用矩阵的相似化简研究问题Jordan化方法重点：,2.1线性变换的对角表示,背景：T(12n)=(12n),一、变换T的特征值与特征向量定义(p35，定义2.1)求解分析：(p35，定理2.1),(12n)线性无关Ti=ii；Li是不变子空间,(2.1),则称为T的特征值，并称为T的属于（或对应于）特征值的特征向量。,定义2.1设T是数域F上线性空间V的一个线性变换，如果存在F以及非零向量V使得,设V是数域F上的n维线性空间，是V的一组基，线性变换T在这组基下的矩阵为A。如果是T的特征值，是相应的特征向量，则,把它代入(2.1)，得,由于线性无关，则,特征向量的坐标x满足齐次线性方程组,因为,所以,即齐次线性方程组(2.4)有非零解。方程组(2.4)有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵行列式为零，即,定义2.2设A是数域F上的n阶矩阵，是一个文字，矩阵称为A的特征矩阵，其行列式称为A的特征多项式。方程称为A的特征方程，它的根称为A的特征根（或特征值）。以A的特征值代入齐次线性方程组(2.4)所得的非零解x称为A对应于的特征向量。,特征值作为特征方程的根的重数称为的代数重数.,线性变换T与它在V的一组基下的矩阵的特征值是相同的.,特征向量呢,?,A的特征值就是T的特征值A的特征向量是T的特征向量的坐标,例题1(p37，例题2.1)3、特征向量的空间性质特征子空间：特征子空间的性质：(p36，定理2.2)Vi是不变子空间ij，则ViVi=0若i是ki重特征值，则1dimViki推论：若i是单特征值，则dimVi=1V1+V2+Vs=V1V2VsV1V2VsVn（F）,设是线性变换T的任一特征值，记,T,线性变换T对应于特征值的特征子空间.,则,设是矩阵的任一特征值，记,几何重数.,定理2.1设F，则,其中是A的所有k阶主子式之和,特别地,定理2.2设F，是A的特征值，则,子式,顺序主子式,例1.设,矩阵A在控制论中称为友矩阵或相伴矩阵，求A的特征多项式。,解:记,对di按第一行展开，有,由上式逐次递推得,定理2.3如果n阶矩阵A与B相似，则,(1)A与B有相同的特征多项式；,(2)A与B有相同的特征值；,(3)tr(A)=tr(B).,定理2.4设是线性变换T（或矩阵A）的r个互不相同的特征值，是对应于的特征向量，则线性无关。,则为的特征值.,对线性变换也有类似的结论.,二、线性变换矩阵对角化的充要条件,T可以对角化T有n个线性无关的特征向量。dimVi=ndimVi=ki,定理2.4(p39),T可以对角化T的变换矩阵A可以对角化。,例题2已知1，2，3是空间V3（F）的基，T是空间上如下定义的线性变换，T（1）=1T（2）=22T（3）=1+t2+23,讨论：t为何值，T有对角矩阵表示,例题3证明幂等变换(T2=T)有对角矩阵表示。,2.2Jordan矩阵介绍,目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构-Jordan矩阵。一、Jordan矩阵Jordan块(p40，定义2.3)形式：确定因素：Jordan块矩阵的例子：,值矩阵的阶数,例题1下列矩阵哪些是Jordan块？,形式：Jordan矩阵举例特点,元素的结构Jordan矩阵是上三角矩阵对角矩阵是Jordan矩阵,2Jordan矩阵,3Jordan标准形定理2.5(p41)含义：,Jordan矩阵可以作为相似标准形。惟一性：Jordan子块的集合惟一。A相似于BJA相似于JB,二、方阵A的Jordan标准形的求法,目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA，使AP=PJA分析方法：在定理2.5的基础上逆向分析矩阵JA和P的构成。求法与步骤：,矩阵A和JA的特征值相等,细分矩阵Pi和Ji，在Jordan块上，有,Jordan链条，y2，ynj,特征向量,广义特征向量,方法步骤：,由特征值i的代数重数确定主对角线元素是的i的Jordan矩阵J(i)的阶数。由特征值i对应的线性无关的特征向量的个数确定J(i)中Jordan块的个数由特征向量求得的Jordan链条的长度确定Jordan块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA,例题1(p44，例题5)例题2(p45，例题6),例题3将矩阵A化为Jordan矩阵。,例题4(p46，例题7),三、-矩阵及其在相抵下的标准形,3.1-矩阵的基本概念,3.2-矩阵的初等变换与等价,3.3-矩阵在等价下的标准形,3.1-矩阵的基本概念,定义3.1设是数域F上的多项式，以为元素的矩阵,称为多项式矩阵或-矩阵，多项式中的最高次数称为A()的次数，数域F上-矩阵的全体记为F。,设F，若则称A()与B()相等，记为A()=B()。,-矩阵的运算：,-矩阵行列式的性质,利用行列式，可定义子式和代数余子式。,减法,数量乘法,乘法,转置,加法,n阶-矩阵的行列式,对n阶-矩阵A(),B(),有|A()B()|=|A()|B()|,定义3.2设F，如果A()中有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式(如果有的话）全为零，则称A()的秩为r，记为rank(A()=r。,定义3.3设F，如果存在一个n阶-矩阵B()使得,则称-矩阵A()是可逆的，并称B()为A()的逆矩阵，记作。,3.2-矩阵的初等变换与相抵,定义3.4下列三种变换称为-矩阵的初等变换：,（1）-矩阵的两行（列）互换位置；,（2）-矩阵的某一行（列）乘以非零常数k；,（3）-矩阵某一行（列）的倍加到另一行（列），其中是的多项式。,对单位矩阵施行上述三种初等变换便得相应的三种-矩阵的初等矩阵P(i,j)，P(i(k)，P(i,j()，即,初等矩阵都是可逆的，并且,初等矩阵行列式都是非零常数.,初等变换的表示,i,j表示第i,j行（列）互换位置；,i(k)表示用非零常数k乘第i行（列）；,i+j()表示将第j行的倍加到第i行;,定义3.5设F，如果A()经过有限次的初等变换化为B()，则称-矩阵A()与B()等价（相抵），记为。,i+j()表示将第i列的倍加到第j列.,定理3.2设F，则A()与B()等价的充分必要条件是存在m阶初等矩阵与n阶初等矩阵使得,注意:,等秩的两个矩阵未必等价.,等价的两个矩阵行列式的只相差一个非零常数.,定理3.3设F，且，则等价于如下“对角形”矩阵,其中是首项系数为1的多项式，并且。,3.3-矩阵在相抵下的标准形,定理3.3中的“对角形”矩阵称为-矩阵在等价下的标准形或Smith标准形。,定义3.6-矩阵F的Smith标准形“主对角线”上非零元称为的不变因子。,例1.求下列矩阵的相抵标准形及不变因子,一般的,有:,4.3矩阵的行列式因子和初等因子,定义4.1设F且，对于正整数，的全部k阶子式的最大公因式称为的k阶行列式因子，记为。,行列式因子是首项系数为1的多项式,定理4.1相抵的-矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。,由定理4.1知，任意-矩阵的秩和行列式因子与其Smith标准形的秩和行列式因子是相同的。,经一次初等变换后，任意-矩阵的秩和行列式因子均不变,证明,同时含有第i，j行和不含第i行,含有第i行不含有第j行,设-矩阵的Smith标准形为,其中是首项系数为1的多项式，并且。,容易求得的各阶行列式因子如下：,于是有,从而得如下结论,其余的i阶子式都为0，i=1,2,.,r.,推论4.1,定理4.2-矩阵的Smith标准形是唯一的。,行列式因子及不变因子均唯一.,定理4.3设F，则与等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者它们有相同的不变因子。,行列式因子与不变因子相互完全确定.,定理4.4设F，则可逆的充分必要条件是可表示为一系列初等矩阵的乘积。,证明,定理4.5设F，则与等价的充分必要条件是存在两个可逆-矩阵F与F使得.,下面再引进-矩阵的初等因子。设-矩阵的不变因子为，在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：,其中是互异的复数，是非负整数。,定义4.2在不变因子的分解式中，所有指数大于零的因子,称为-矩阵的初等因子。,因为,，则,定理4.6设F，则与等价的充分必要条件是它们有相同的秩和相同的初等因子。,秩及初等因子与不变因子可相互唯一确定.,秩确定了不变因子的个数，,同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方幂次数最高的在中，次高的在中，依次类推下去，确定所有的不变因子.,-矩阵的秩不小于其初等因子中同一一次因式的方幂出现的最大个数.,例1.,定理4.7设-矩阵,为块对角矩阵，则与的初等因子的全体是的全部初等因子。,证明,定理4.7设-矩阵,为块对角矩阵，则与的初等因子的全体是的全部初等因子。,证明,为块对角矩阵，则与的初等因子的全体是的全部初等因子。,证明,先证明与的全部初等因子都是的初等因子,定理4.7设-矩阵,为块对角矩阵，则与的初等因子的全体是的全部初等因子。,证明,定理4.7设-矩阵,为块对角矩阵，则与的初等因子的全体是的全部初等因子。,证明,证明除与的初等因子外，再没有别的初等因子.,定理4.7设-矩阵,定理4.8设-矩阵等价于块对角矩阵,则各个初等因子的全体就是的全部初等因子。,2.3最小多项式(minimalpolynomials),讨论n阶矩阵多项式的相关问题：矩阵多项式（重点是计算）矩阵的化零多项式（Cayley定理）最小多项式Jordan标准形的应用相似不变性Jordan化的方法,一、矩阵多项式定义,2.性质（定理2.7）AX=0Xg(A)X=g(0)XP-1AP=BP-1g(A)P=g(B),3矩阵多项式g(A)的计算方法：,mr,g（J）的结构特点：由第一行的元素生成,Jordan块,例题1设对P38，eg3中的矩阵A，计算g（A）。解,二、矩阵的化零多项式(AnnihilatingpolynomialsofMatrices),问题：AFnn，A0，是否存在非零多项式g（），使得g(A)=0？化零多项式（P.52）如果g(A)=0，则g()被称为矩阵A的化零多项式。要点：矩阵A一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。g（A）=0的决定因素。存在性问题。Cayley-Hamilton定理（P.52，定理、2.7）：AFnn，f()=det(IA)，则f(A)=0。Cayley定理的应用举例：使Ak(kn)降阶至不超过n-1次的多项式。f（0）0，则A的逆矩阵可以用多项式表示。对线性变换T，f(T)=0，即f（T）为零变换。,三、最小多项式,1定义（P.54，定义2.5）mA（）是最小多项式,mA（A）=0mA（）在化零多项式中次数最低。mA（）最高次项系数是1。mA（）整除任何化零多项式,2mA（）的结构：设f（）=IA=,定理2.8：mA（）=,定理2.9：mA（）=是i对应的Jordan块的指数。,P.54,3变换对角矩阵表示的条件定理2.10：线性变换T可以对角化的充要条件是T的最小多项式是一次因子的乘积。例题1（P.56，eg10）例题2设AR44，mA（)=,求矩阵A的所有可能的Jordan矩阵。,例题3设是矩阵A的化零多项式，证明A可以相似于对角矩阵。,相似问题中的一些矩阵结果,1.幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵（idempotent）：A2=A幂零矩阵（nilpotent）：A0，k为正整数，Ak=0乘方矩阵（involutary）：A2=I,A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值都是零。,A为乘方矩阵的充要条件是A相似于矩阵,A为幂等矩阵的充要条件是A相似于矩阵,2(p47，例题8)设A为阶方阵，证明矩阵A和AT相似。证明思想：证明A和AT相似证明Jorda