2018年高中数学复习课一解三角形学案新人教A版必修5 .doc

2018年高中数学复习课一解三角形学案新人教A版必修5 利用正、余弦定理解三角形(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由ABC，求第三个角(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由ABC，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边典例设锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a2bsin A.(1)求B的大小；(2)若a3，c5，求b.解(1)由a2bsin A，根据正弦定理得sin A2sin Bsin A，所以sin B，由于ABC是锐角三角形，所以B.(2)根据余弦定理，得b2a2c22accos B2725457，所以b.类题通法利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系1在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A()A30B60C120D150解析：选A由正弦定理可知c2b，则cos A，所以A30，故选A.2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，a1，b，则B_.解析：依题意得，由正弦定理知：，sin B，又0Ba，可得B或.答案：或3ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值解：(1)证明：a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)a，b，c成等比数列，b2ac.由余弦定理得cos B，当且仅当ac时等号成立cos B的最小值为.三角形形状的判定判断三角形的形状是一种常见的题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系，题型多为选择题、解答题，难度中等三角形中的常用结论(1)ABC，.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边典例在ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2sin Acos B.由正弦定理得2sin2Acos Asin B2sin2Bsin Acos B，即sin 2Asin Asin Bsin 2Bsin Asin B.0A，0B，sin 2Asin 2B，2A2B或2A2B，即AB或AB.ABC是等腰三角形或直角三角形类题通法根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角(2)化角为边，转化的手段主要有：通过正弦定理实现边角转化；通过余弦定理实现边角转化；通过三角变换找出角之间的关系；通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状1在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形解析：选Dcacos B(2ab)cos A，C(AB)，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，cos A(sin Bsin A)0，cos A0或sin Bsin A，A或BA或BA(舍去)故ABC为直角三角形或等腰三角形2在ABC中，已知3b2asin B，且A，B，C成等差数列，则ABC的形状为()A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：选CA，B，C成等差数列，AC2B，即3B，解得B.3b2asin B，根据正弦定理得3sin B2sin Asin Bsin B0，32sin A，即sin A，即A或，当A时，AB不满足条件A，C.故ABC，即ABC的形状为等边三角形3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m，n，且满足|mn|.(1)求角A的大小；(2)若bca，试判断ABC的形状解：(1)因为|mn|，所以|mn|23，即m2n22mn3.又因为m2n21，所以mn，所以coscossinsin，所以cos A，又0A，所以A.(2)因为bca，所以sin Bsin Csin A.所以sin Bsin，化简得sin.因为0B，0B，所以B或，所以B，C或B，C，所以ABC为直角三角形正、余弦定理的实际应用正、余弦定理在实际中的应用是高考中的热点，主要考查距离、高度、角度等问题，试题以解答题为主，难度一般(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置典例如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解(1)依题意，BAC120，AB12海里，AC10220(海里)，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784.解得BC28海里渔船甲的速度为14(海里/小时)(2)在ABC中，AB12海里，BAC120，BC28海里，BCA，由正弦定理，得.即sin .故sin 的值为.类题通法应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案1.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为()A10 m B20 mC20 m D40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BCx，BDx.在BCD中，根据余弦定理得3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x40或x20(舍去)故电视塔的高度为40 m.2北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为10 m，则旗杆的高度为_m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BCh.在ABC中，AB10，CAB45，ABC105，所以ACB30，由正弦定理，得，故h30(m)答案：303.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15方向上，且俯角为30的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75方向上，且俯角为45的D处(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在RtABC中，BAC60，AB100米，则BC100米在RtABD中，BAD45，AB100米，则BD100米在BCD中，DBC751590，则DC200米，所以客车的速度v20米/秒72千米/小时，所以该客车没有超速(2)在RtBCD中，BCD30，又因为DBE15，所以CBE105，所以CEB45.在BCE中，由正弦定理可知，所以EB50米，即此时客车距楼房50米1在ABC中，若a7，b3，c8，则其面积等于()A12B.C28 D6解析：选D由余弦定理得cos A，所以sin A，则SABCbcsin A386.2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a2b，则的值为()A. B.C1 D.解析：选D由正弦定理可得.3在ABC中，已知AB2，BC5，ABC的面积为4，若ABC，则cos 等于()A. BC D解析：选CSABCABBCsinABC25sin 4.sin .又(0，)，cos .4某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150再向前走3 m到C，测得ABC的面积为 m2，则此人这时离开出发点的距离为()A3 m B. mC2 m D. m解析：选D在ABC中，SABBCsin B，x3sin 30，x.由余弦定理，得AC(m)5在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积SABC，则边BC的边长为()A. B3C. D7解析：选ASABCABACsin A，AC1，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos A41221cos 603，即BC.6已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a80，b100，A30，则此三角形()A一定是锐角三角形B可能是直角三角形，也可能是锐角三角形C一定是钝角三角形D一定是直角三角形解析：选C由正弦定理得，所以sin B.因为ab，所以B有两种可能：锐角或钝角若B为锐角时， cos Ccos (AB)sin Asin Bcos A cos B0，所以C为钝角，即ABC为钝角三角形；若B为钝角时，则ABC是钝角三角形，所以此三角形一定为钝角三角形故选C.7在ABC中，ab2，bc2，又知最大角的正弦等于，则三边长为_解析：由题意知a边最大，sin A，A120，a2b2c22bccos A.a2(a2)2(a4)2(a2)(a4)a29a140，解得a2(舍去)或a7.ba25，cb23.答案：a7，b5，c38在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C_.解析：因为C2B，所以sin Csin 2B2sin Bcos B，所以cos B，所以cos C2cos2B1221.答案：9在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a2，C45，1，则边c的值为_解析：由1，得1，所以cos A，故A60.由正弦定理得，所以c2.答案：210在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A，sin Bcos C.(1)求tan C的值；(2)若a，求ABC的面积解：(1)因为0A，cos A，所以sin A，又cos Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin Ccos Csin C，所以cos Csin C，tan C.(2)由tan C得sin C，cos C，于是sin Bcos C.由a及正弦定理得c，所以ABC的面积SABCacsin B.11.如图，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长解：(1)在ADC中，因为cosADC，所以sinADC.所以sinBADsin(ADCB)sinADCcos BcosADCsin B.(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B825228549.所以AC7.12在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c且acos C，bcos B，ccos A成等差数列(1)求B的