2019年中考数学复习第六章图形与变换6.2图形的相似（讲解部分）素材.pdf

第六章 图形与变换 图形的相似 考点一 相似与位似的有关概念 比例线段和比例的性质 （）在同一单位长度下， 两条线段的长度之比 叫做两条 线段的比 （）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线 段的比，那么这四条线段叫成比例线段，简称比例线段 （）比例的基本性质： （） 相似多边形的性质 相似多边形对应角相等，对应边成比例 如果两个三角形的对应角相等， 对应边成比例 ，那么 这两个三角形叫做相似三角形 图形的位似 如果两个图形相似，并且它们的对应点所在直线交于一点， 那么这两个图形叫位似图形这一点叫 位似中心 ，对应边的 比叫位似比，位似比等于相似比 考点二 相似三角形的性质与判定 相似三角形的判定 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构 成的三角形与原三角形相似 （）相似三角形的判定定理 ：两角对应相等的两个三角形 相似； （）相似三角形的判定定理 ： 两边对应成比例 ，且夹角 相等的两个三角形相似； （）相似三角形的判定定理 ：三边对应成比例的两个三角 形相似； （）直角三角形相似的判定定理：若一个直角三角形的斜边 和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成 比例，那么这两个直角三角形相似 相似三角形的性质：（） 对应角相等 ；（）对应边成比例； （） 周长之比等于相似比 ；（）面积之比等于相似比的平方 相似基本图形的类型 类型一：如图 若 ，则 类型二：如图 若 ，则 类型三：如图 若，则 图 图 图 温馨提示 位似是特殊的相似，与相似不同的是，位似图形 对应顶点的连线相交于一点；相似图形未必都位似 方法一 判定三角形相似的几条思路 条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理； 条件中若有一对等角，可再找一对等角（用判定定理 ）或 再找夹这对等角的两边对应成比例（用判定定理 ）； 条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等或第三边也 对应成比例； 条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、 直角边对应成比例； 条件中若有等腰关系，可找顶角相等，也可找一对底角相 等，还可找底和腰对应成比例 例 （ 湖北武汉， 分）在 中， 为边 上一点 （）如图 ，若，求证：； （）若 为 的中点， 如图 ，若，求 的长； 如图 ，若 ， ，直接写出 的长 图 图 图 解析 （）证明： ， （ 分） ， （ 分） （）解法一：延长 至点 ，使 ，连接 为 的中点， ，（ 分） ， 年中考 年模拟 由（）得 ，（ 分） 设 ，则 （）（） 解得 （舍去负根），即 （ 分） 解法二：取 的中点 ，连接 为 的中点， ， （ 分） ， ， 由（）得 ，（ 分） 设 ，则 () 解得 （舍去负根），即 （ 分） （ 分） 思路分析 （）根据两角对应相等，两三角形相似得到 ，再根据相似三角形对应边的比相等得到结论； （）利用中位线和相似三角形的判定与性质得到方程，求解即可 得到答案 方法指导 证明线段之间乘积式的成立问题，通常找它 们所在的三角形，根据相似三角形的性质即可求解求线段的 长度或者求两边的比值，通常是分别求出这两边的值或者证明 这两边所在的三角形相似，运用相似三角形的性质实现线段之 比的转换，达到求解的目的在未知线段长度的情况下，通常要考 虑与特殊角建立联系 变式训练 （ 广东佛山， 分） 如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，点 ， 是 上的点，且 连接 ，它们分别与 相交于点 ， （）求 的值； （）求证：； （）设 ，求 的值 解析 （） 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， （ 分） （）证明：由（）知 ， ， ， （ 分） （） ， ， ， ， ， ，即 由（）知 ， ， ， ， （ 分） 方法二 相似三角形的综合应用 在综合题中，注意相似知识的灵活运用，尤其能通过相似得 到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来并熟练 掌握等线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运 用知识的能力 例 （ 山东聊城， 分）如图，在直角坐标系中， 的直角顶点 在 轴上， ， 动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度，沿 向终点 移动；同时点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度，沿 向终点 移动，当两个动点运动了 秒（）时，解答下列问题： （）求点 的坐标（用含 的代数式表示）； （）设 的面积为 ，求 与 之间的函数表达式；当 为何值时， 有最大值？ 最大值是多少？ （）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使 是直角三角形？ 若存在，求出 的值；若不存在，请说明 理由 解析 （）由题意知， 在 中，由勾股定理，得 （ 分） 如图，作 于点 ，则 （ 分） ，即 ， 解得 ， 点 的坐标是 ， () （ 分） （）由题意知 在 中， ， 边上的高 ， （） 与 之间的函数表达式为 （） （ 分） 配方，得 （） 当 时， 有最大值，最大值是 （ 分） （）存在某一时刻，使 是直角三角形 理由如下： 第六章 图形与变换 如图，若，则 此时 ， ， ，（ 分） ，即 ，解得 （ 分） 如图，若，则 此时 ， ， ，（ 分） ，即 ，解得 综上所述， 的值是 或 （ 分） 思路分析 （） 作 于点 ，然后由 可求出 、，从而确定点 的坐标；（）利用配方法确 定最值；（）先假设存在，然后分 和 两 种情况讨论，利用 与 相似列方程可求出 的值 评析 计算 的最大面积是本题的难点，此类题目 一般是将图形面积转化为二次函数最值问题来解答 探索 是直角三角形是本题的另一个难点，一般采用逆向思 维，假设存在，在此基础上根据相似、三角函数或勾股定理等列 方程求解 变式训练 （ 河南许昌一模，） 在 中， ， ， 于点 ，点 是直线 上一动 点，连接 ，过点 作 ，交直线 于点 （）探究发现： 如图 ，若 ，点 在线段 上，则 ； （）数学思考： 如图 ，若点 在线段 上，则 （用含