中考数学二轮复习：几何探索题巡视

1 / 7 中考数学二轮复习：几何探索题巡视 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 二几何探索题巡视 探索类问题是近几年中考命题的重点，不少省市还作为压轴的大题。笔者研究了各地中考试卷，对命题特点、解题方法做了一些探讨。本文以中考题为例说明之，供同学们学习时参考。 一、实验型探索题 例 1.等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：如图 1，在 ABc 中， AB Ac，把底边 Bc 分成 m 等份，连接顶点 A 和底边 Bc 各等分点的线段，即可把这个三角形的面积 m 等分。 图 1 问题提出：任意给定一个正 n 边形，你能把它的面积 m 等分吗？ 探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积 m 等分？ 如果要把正三角形的面积 4 等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图 2(1)），这些线段将这个三角形分成2 / 7 了 3 个全等的等腰三角形）；再把所得到的每个等腰三角形的底边 4 等分，连接中心和各边等分点（如图 2(2)，这些线段把这个三角形分成了 12 个面积相等的小三角形）；最后依次把相邻的 3 个小三角形拼合在一起（如图 2(3)），这样就能把这个正三角形的面积 4 等分了。 图 2 （ 1）实验与验证：仿照上述方法，利用刻度尺在图 3 中画出一种将正三角形的面积 5 等分的示意图。 图 3 （ 2）猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积 m 等分？叙述你的分法并说明理由。 （ 3）拓展与延伸：怎样从正方形（如图 4）的中心引线段，才能将这个正方形的面积 m 等分（叙述分法即可，不要求说明理由）？ 图 4 （ 4）问题解决：怎样从正 n 边形（如图 5）的中心引线段，才能使这个正 n 边形的 面积 m 等分？（叙述分法，不要求说明理由） 3 / 7 图 5 分析：这类问题的特点是先给出一个解决问题的范例，然后要求解答一个类似的问题，最后将结论或方法推广到一般情况。这类问题文字较多，首先应弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的问题，然后详细阅读范例，从中领会解决问题的方法，并能运用这个方法解决问题。 解：（ 1）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别 5 等分，连接中心和各分点，然后将每 3 个相邻的小三角形拼在一起，就可将正三角形的面积 5 等分了（图略）。 （ 2）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形 各边分别 m 等分，连接中心和各个分点，然后把每 3 个相邻的小三角形拼合在一起，即可把这个正三角形的面积 m 等分了。 理由：每个小三角形的底和高都相等，因此它们的面积都相等，每 3 个拼合在一起的图形面积当然也都相等，即把正三角形的面积 m 等分。 （ 3）先连接正方形的中心和各顶点，然后将正方形各边 m等分，连接中心和各分点，再依次将相邻的 4 个小三角形拼合在一起，这就把这个正方形的面积 m 等分了。 （ 4）连接正 n 边形的中心和各顶点，然后将这个正 n 边形各边 m 等分，再依次将 n 个相邻的小三角形拼在一起，这就将这个正 n 边形的面积 m 等分了。 二、操作型探索题 4 / 7 例 2.已知线段 Ac 8， BD 6。 （ 1）已知线段 AcBD 于 o（ o 不与 A、 B、 c、 D 四点重合），设图 6（ 1）、图 6（ 2）和图 6（ 3）中的四边形 ABcD 的面积分别为 S1、 S2、 S3，则 S1 _， S2 _，S3 _； 图 6 （ 2）如图 6（ 4），对于线段 Ac 与线段 BD 垂直相交（垂足 o不与点 A、 B、 c、 D 重合）的任意情形，请你就四边形 ABcD面积的大小提出猜想，并证明你的结论； （ 3）当线段 BD 与 Ac（或 cA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点 A、 B、 c、 D 所围成的封闭图形的面积是多少。 分析：题（ 1）实际上是将 BD 沿 Ac 由下向上移动，计算 Bc在不同位置时四边形 ABcD 的面积，再观察计算结果。题（ 2）是 Ac 沿 BD 左右移动，计算四边形 ABcD 的面积，再观察计算结果。题（ 3）是在更一般的情况下探索规律。这种由浅入深的探索方式是中考探索类问题的特点。 解：（ 1） 242424 （ 2）对于线段 Ac 与线段 BD 垂直相交（垂足 o 不与点 A、 c、B、 D 重合）的任意情形，四边形 ABcD 的面积为定值 24。证明如下： 显然， 5 / 7 （ 3）所围成的封闭图形的面积仍为 24。 三、观察猜想型探索题 例 3.（山西省）如图 7，正方形 ABcD 的边 cD 在正方形 EFGc的边 cE 上，连接 BE、 DG。 图 7 （ 1）观察并猜想 BE 与 DG 之间的大小关系，并证明你的结论； （ 2）图 7 中是否存在通过旋转能够互相重合的三角形？若存在，请说明旋转过程；若不存在，说明理由。 分析：证明题是直接给出结论，要求寻找结论成立的理由，而这一类探索题是题目没有给出结论，要求自己下结论，并证明结论成立。这就要求有较强的观察猜想能力。 解：（ 1） BE DG，证明如下： 在 RtBcE 和 RtDcG 中， Bc cD， cE cG， BcEDcG 。故 BE DG。 （ 2）将 RtBcE 绕点 c 顺时针旋转 90 ，可与 RtDcG 重合。 四、图形计数型探索题 例 4.如图 8，在图（ 1）中，互不重叠的三角形有 4 个，在6 / 7 图（ 2）中，互不重叠的三角形有 7 个，在图（ 3）中，互不重叠的三角形有 10 个， ，则在图（ n）中互不重叠的三角形有 _个（用含 n 的代数式表示）。 图 8 分析：这类图形计数型探索题有线段计数、射线计数、角计数等。解这类题首先要通过几个 具体图形寻找规律，然后写出公式，或称一般表达式。解题的关键是找规律。 解：图（ 1）： 1 13 4；图（ 2）： 1 23 7；图（ 3）：1 33 10。 所以图（ n）中有 1 3n 个互不重叠的三角形，应填 3n 1。 五、其他类型探索题 例 5.如图 9，已知 Ac、 AB 是 o 的弦， AB Ac。 (1)(2) 图 9 （ 1）在图 9（ 1）中，判断能否在 AB 上确定一点 E，使得Ac2 AEAB，并说明理由； （ 2）在图 9（ 2）中，在条件（ 1）的结论下，延长 Ec 到 P。连接 PB，如果 PB PE，试判断 PB 和 o 的位置关系，并说明理由。 分析：一般的探索题是由特殊到一般，探求结论的普遍性，7 / 7 而这道题是两个小题互相独立，只是基本图形相同。题（ 1）是作出满足线段关系式的图形，题（ 2）是判断图形中的一些线段的相互关系。 解：（ 1）作法有多种，这里举一例。如图 10，在 o 上取点D，使，连接 cD