中考数学复习二次函数的应用专题导学案

1 / 20 中考数学复习二次函数的应用专题导学案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 考点：抛物线与 x 轴的交点专题：探究型 分析：先根据抛物线的开口向上可知 a 0，由顶点纵坐标为 -3 得出 b 与 a 关系，再根据一元二次方程 ax2+bx+m=0 有实数根可得到关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可 点评：本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，根据题意判断出a 的符号及 a、 b 的关系是解答此题的关键 2（ XX滨州）抛物线 y=-3x2-x+4 与坐标轴的交点个数是（ ） A 3B 2c 1D 0 分析：令抛物线解析式中 x=0，求出对应的 y 的值，即为抛物线与 y轴交点的纵坐标，确定出抛物线与 y轴的交点坐标，令抛物线解析式中 y=0，得到关于 x 的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与 x 轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数 点评：此题考查了抛物线与 x 轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中 x=0，求出的 y 值即为抛物线与 y 轴交点的纵坐标；令 y=0，求出对应的 x 的值，即为抛物线与 x 轴交点的横坐标 3（ XX济南）如图，济南建邦大桥有一 段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为 y=ax2+bx小强骑自行车从拱梁2 / 20 一端 o 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 oc，当小强骑自行车行驶 10秒时和 26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 oc共需秒 分析： 10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，则 A， B 一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则 o 到对称轴的时间可以求得，进而即可求得 oc之间的时间 点评：本题考查了二次函数的应用，注意到 A、 B 关于对称轴对称是解题的关键 4（ XX菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成 本为 10元 /件的工艺品投放市场进行试销经过调查，得到如下数据： 销售单价 x（元 /件） 2030405060 每天销售量（ y 件） 500400300200100 （ 1）把上表中 x、 y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想 y 与 x 的函数关系，并求出函数关系式； （ 2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润 =销售总价 -成本总价） （ 3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过 35元 /件，那么销售单价定为多少时， 工艺厂试销该工艺3 / 20 品每天获得的利润最大？ 分析： （ 1）利用表中 x、 y 的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出 y 与 x 的函数关系式，求出即可； （ 2）根据利润 =销售总价 -成本总价，由（ 1）中函数关系式得出 W=（ x-10）（ -10x+700），进而利用二次函数最值求法得出即可； （ 3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案 点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数增减性应用等知识，此题难度不大是中考中考查重点内容 5（ XX青岛）在 “ 母亲节 ” 期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量 y（个）与销售单价 x（元 /个）之间的对应关系如图所示： （ 1）试判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出函数关系式； （ 2）若许愿瓶的进价为 6 元 /个，按照上述市场调查的销售4 / 20 规律，求销售利润 w（元）与销售单价 x（元 /个）之间的函数关系式； （ 3）若许愿瓶的进货成本不超过 900 元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的 最大利润 分析： （ 1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同； （ 2）销售利润 =每个许愿瓶的利润 销售量； （ 3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润 点评：此题主要考查了二次函数的应用；注意结合自变量的取值求得二次函数的最值问题 6（ XX聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为 18元，试销过程中发现，每月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数 y=-2x+100（利润 =售价 -制造成本） （ 1）写出每月的利润 z（万元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （ 2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得 350 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？5 / 20 最大利润是多少？ （ 3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于 32 元，如果厂商要获得每月不低于 350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 分析： （ 1）根据每月的利润 z=（ x-18） y， 再把 y=-2x+100 代入即可求出 z 与 x 之间的函数解析式， （ 2）把 z=350代入 z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可，将 z -2x2+136x-1800 配方，得 z=-2（ x-34） 2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少 （ 3）结合（ 2）及函数 z=-2x2+136x-1800 的图象即可求出当 25x43 时 z350 ，再根据限价 32元，得出 25x32 ，最后根据一次函数 y=-2x+100 中 y 随 x 的增大而减小，即可得出当 x=32 时，每月制造成本最低 ，最低成本是 18（ -232+100 ） . 点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式，综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题 【备考真题过关】 一、选择题 2（ XX湖州）如图，已知点 A（ 4， 0）， o 为坐标原6 / 20 点， P 是线段 oA 上任意一点（不含端点 o， A），过 P、 o 两点的二次函数 y1 和过 P、 A 两点的二次函数 y2 的图象开口均向下，它们的顶点分别为 B、 c，射线 oB与 Ac相交于点 D当oD=AD=3 时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ） A B c 3D 4 分析：过 B作 BFoA 于 F，过 D作 DEoA 于 E，过 c作 cmoA于 m，则 BF+cm是这两个二次函数的最大值之和， BFDEcm ，求出 AE=oE=2， DE=，设 P（ 2x， 0），根据二次函数的对称性得出 oF=PF=x，推出 oBFoDE ， AcmADE ，得出，代入求出 BF和 cm，相加即可求出答案 点评：本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度 3（ XX宜昌）已知抛物线 y=ax2-2x+1 与 x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ） A第四象限 B第三象限 c第二象限 D第一象限 考点：抛物线与 x 轴的交点分析：根据抛物线 y=ax2-2x+1与 x 轴没有交点，得出 =4 -4a 0， a 1，再根据 b=-2，得出抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，即可求出答案 点评：此题考查了二次函数的图象与 x 轴交点，关键是根据二次函数的图象与 x轴交点的个数与一元二次方程的解之间7 / 20 的联系求出 a 的值，这些性质和规律要求掌握 4（ XX资阳）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c 0 的解集是（ ） A -1 x 5B x 5c x -1 且 x 5D x -1 或 x 5 5（ XX义乌市）如图，已知抛物线 y1=-2x2+2，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时， x 对应的函数值分别为 y1、y2若 y1y2 ，取 y1、 y2中的较小值记为 m；若 y1=y2，记m=y1=y2例如：当 x=1时， y1=0， y2=4， y1 y2，此时 m=0下列判断： 当 x 0 时， y1 y2； 当 x 0 时 ， x 值越大， m 值越小； 使得 m 大于 2 的 x 值不存在； 使得 m=1的 x 值是或 其中正确的是（ ） A B c D 分析：利用图象与坐标轴交点以及 m 值的取法，分别利用图象进行分析即可得出答案 点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，利用数形结合得出函数增减性是解题关键 6（ XX大连）如图，一条抛物线与 x 轴相交于 A、 B两点，其顶点 P 在折线 c-D-E 上移动，若点 c、 D、 E 的坐标分别为（ -1， 4）、（ 3， 4）、（ 3， 1），点 B 的横坐标的最小值为 1， 则点 A 的横坐标的最大值为（ ） 8 / 20 A 1B 2c 3D 4 分析：抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变首先，当点 B横坐标取最小值时，函数的顶点在 c 点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点 A 横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到 E 点，结合前面求出的二次项系数以及 E 点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点 A 的坐标，即点 A 的横坐标最大值 点评：考查了二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化 ，改变的是顶点坐标注意抛物线顶点所处的 c、 E 两个关键位置，前者能确定函数解析式、后者能得到要求的结果 1（ XX镇江）若二次函数 y=（ x+1）（ x m）的图象的对称轴在 y 轴的右侧，则实数 m 的取值范围是（ ） A m 1B 1 m 0c 0 m 1D m 1 点：抛物线与 x 轴的交点。 专题：探究型。 分析：先令（ x+1）（ x m） =0 求出 x 的值即可得出二次函数与 x 轴的交点坐标，再根据抛物线的对称轴在 y 轴的右侧即可得到关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可 点评 ：本题考查的是抛物线与 x 轴的交点问题，先根据函数9 / 20 的解析式得出二次函数的图象与 x轴的交点是解答此题的关键 2（ XX泰安）二次函数 y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程 ax2+bx+m=0 有实数根，则 m 的最大值为（ ） A 3B 3c 6D 9 考点：抛物线与 x 轴的交点。 专题：探究型。 分析：先根据抛物线的开口向上可知 a 0，由顶点纵坐标为 3 得出 b 与 a 关系，再根据一元二次方程 ax2+bx+m=0 有实数根可得到关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可 点评：本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，根据题意判断出a 的符号及 a、 b 的关系是解答此题的关键 3（ XX杭州）已知抛物线 y=k（ x+1）（ x）与 x 轴交于点 A， B，与 y 轴交于点 c，则能使 ABc 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ） A 2B 3c 4D 5 考点：抛物线与 x 轴的交点。 810360 专题：推理填空题。 10 / 20 分析：整理抛物线解析式，确定出抛物线与 x 轴的一个交点A 和 y 轴的交点 c，然后求出 Ac的长度，再分 k 0 时，点B 在 x 轴正半轴时，分 Ac=Bc、 Ac=AB、 AB=Bc 三种情况求解；k 0 时，点 B 在 x 轴的负半轴时，点 B 只能在点 A 的左边，只有 Ac=AB一种情况列式计算即可 点评：本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论 二、填空题 7（ XX深圳）二次函数 y=x2-2x+6 的最小值是 分析：利用配方法将原式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值 点评：本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键 8（ XX无锡）若抛物线 y=ax2+bx+c的顶点是 A（ 2，1），且经过点 B（ 1， 0），则抛物线的函数关系式为 三、解答题 9（ XX杭州）当 k 分别取 -1， 1， 2 时，函数 y=（ k-1）x2-4x+5-k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值 考点：二次函数的最值专题：分类讨论 11 / 20 分析：当 k 分别取 -1， 1， 2 时，函数 y=（ k-1） x2-4x+5-k表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终确定函数的最值 10（ XX徐州）二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点（ 4， 3），（ 3， 0） （ 1）求 b、 c 的值； （ 2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （ 3）在所给坐标系中画出二次函数 y=x2+bx+c的图象 考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质 分析：（ 1）把已知点的坐标代入解析式，然后解关于 b、 c的二元一次方程组即可得解； （ 2）把函数解析式转化为顶点式形式，然后即可写出顶点坐标与对称轴解析式； （ 3）采用列表、描点法画出图象即可 （ 3）列表如下： x01234 y30 -103 描点作图如下： 点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求解，以及作二次函数图象，都12 / 20 是基础知识，一定要熟练掌握 11（ XX佛山）（ 1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式； y 随 x 变化的部分数值规律如下表： x-10123 y03430 有序数对（ -1， 0）、（ 1， 4）、（ 3， 0）满足 y=ax2+bx+c； 已知函数 y=ax2+bx+c 的图象的一部分（如图） （ 2）直接写出二次函数 y=ax2+bx+c 的三个性质 分析：（ 1）选择 ，观察表格可知抛物线顶点坐标为（ 1， 4），设抛物线顶点式，将点（ 0， 3）代入确定 a 的值； （ 2）根据抛物线的对称轴，开口方向，增减性等说出性质 12（ XX兰州）若 x1、 x2 是关于一元二次方程ax2+bx+c（ a0 ）的两个根，则方程的两个根 x1、 x2 和系数 a、 b、 c 有如下关系： x1+x2=， x1x2=把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数y=ax2+bx+c（ a0 ）的图象与 x 轴的两个交点为 A（ x1， 0），B（ x2， 0）利用根与系数关系定理可以得到 A、 B 连个交点间的距离为： AB=|x1-x2|=； 参考以上定理和结论，解答下列问题： 13 / 20 设二次函数 y=ax2+bx+c（ a 0）的图象与 x 轴的两个交点 A（ x1， 0）， B（ x2， 0），抛物线的顶点为 c，显然 ABc 为等腰三角形 （ 1）当 ABc 为直角三角形时，求 b2-4ac的值； （ 2）当 ABc 为等边三角形时，求 b2-4ac的值 考点：抛物线与 x 轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质 点评：本题考查了等腰直角三角 形、等边三角形的性质，抛物线与 x 轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等 13（ XX武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 AcB和矩形的三边 AE， ED，DB 组成，已知河底 ED 是水平的， ED=16 米， AE=8 米，抛物线的顶点 c 到 ED 的距离是 11米，以 ED所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距离 h（单位：米）随时间 t（单位：时）的变化满足函数关系 h=（ t-19） 2+8（ 0t40 ），且当水面到顶点 c 的距离不大于 5 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时14 / 20 段内，需多少小时禁止船只通行？ 分析： （ 1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把 B 坐标代入即可求解； （ 2）水面到顶点 c 的距离不大于 5 米时，即水面与河底 ED的距离 h 至多为 6，把 6 代入所给二次函数关系式，求得 t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间 点评：考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合（ 1）得到 h 的最大高度 14（ XX无锡）如图，在边长为 24cm 的正方形纸片ABcD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（ A、 B、c、 D 四个顶点正好重合于上底面上一点）已知 E、 F 在 AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（ cm） （ 1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积 V； （ 2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积 S 最大，试问 x 应取何值？ 分析： （ 1）根据已知得出这个正方体的底面边长 a=x， EF=a=2x，15 / 20 再利用 AB=24cm，求出 x 即可得出这个包装盒的体积 V； （ 2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可 15（ XX黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为 2400元，销售单价定为 3000 元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件按 3000元销售；若一次购买该种产品超过 10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销售单价均不低于 2600元 （ 1）商家一次购买这种产 品多少件时，销售单价恰好为 2600元？ （ 2）设商家一次购买这种产品 x 件，开发公司所获得的利润为 y 元，求 y（元）与 x（件）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 （ 3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变） 分析： 16 / 20 （ 1）设件数为 x，则销售单价为 3000-10（ x-10）元，根据销售单价恰好为 2600元 ，列方程求解； （ 2）由利润 y=销售单价 件数，及销售单价均不低于 2600元，按 0x10 ， 10 x50 ， x 50 三种情况列出函数关系式； （ 3）由（ 2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时 x 的值，确定销售单价 点评：本题考查了二次函数的运用关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润 16（ XX河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位： cm）在 5 50之间每张薄板的 成本价（单位：元）与它的面积（单位： cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的浮动价与薄板的边长成正比例在营销过程中得到了表格中的数据 薄板的边长（ cm） 2030 出厂价（元 /张） 5070 （ 1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式； （ 2）已知出厂一张边长为 40cm 的薄板，获得的利润为 2617 / 20 元（利润 =出厂价 -成本价）， 求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式 当边长为多少时，出厂一张薄板所获得 的利润最大？最大利润是多少？ 参考公式：抛物线： y=ax2+bx+c（ a0 ）的顶点坐标为（） 分析： （ 1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案； （ 2） 首先假设一张薄板的利润为 p 元，它的成本价为 mx2元，由题意，得： p=y-mx2，进而得出 m 的值，求出函数解析式即可； 利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可 点评：本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常 用的是后两种方法 17（ XX资阳）抛物线 y=x2+x+m的顶点在直线 y=x+3上，过点 F（ -2， 2）的直线交该抛物线于点 m、 N 两点（点m 在点 N 的左边）， mAx 轴于点 A， NBx 轴于点 B （ 1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含 m 的代数式表示），再求 m 的值； （ 2）设点 N 的横坐标为 a，试用含 a 的代数式表示点 N 的纵坐标，并说明 NF=NB； 18 / 20 （ 3）若射线 Nm 交 x 轴于点 P，且 PAPB=，求点 m 的坐标 分析： （ 1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利 用点在直线上的性质得出答案即可； （ 2）首先利用点 N 在抛物线上，得出 N 点坐标，再利用勾股定理得出 NF2=Nc2+Fc2，进而得出 NF2=NB2，即可得出答案； （ 3）求点 m 的坐标，需要先求出直线 PF的解析式首先由（ 2）的思路得出 mF=mA，然后连接 AF、 FB，通过证明PFAPBF ，利用相关的比例线段将 PAPB 的值转化为 PF的值，进而求出点 F 的坐标和直线 PF的解析式，即可得解 点评：考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识，（ 3）题 通过构建相似三角形将 PAPB 转化为 PF 的值是解题的关键，也是该题的难点 18（ XX株洲）如图，一次函数 y=-x+2分别交 y 轴、x 轴于