一元函数的泰勒公式的应用.docx

一元函数的泰勒公式的应用引言：在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。泰勒公式便可以做到这点。关键词：求极限，求近似值，不等式证明，空间向量，行列式，微分方程。理解泰勒公式要想实现泰勒公式的应用，我们首先来对泰勒公式做一下理解。因为教材中对泰勒公式的论述，不免有些僵硬开始就说要把一个函数展开成（x-x0）的多项式，使我们摸不着头脑。如果我们不局限于教材，假设已经知道了一个函数f(x)的一阶导和二阶导的含义。即：一阶导数是代表斜率和单调性，二阶导数是代表凹凸性都假设在X0的某一邻域有定义那么我们可以知道，两个函数如果在 X0 点的函数值相等，则其在Y坐标的高度相同。如果在X0处一阶导相等，则函数图像在这一点斜率相同。如果在X0处二阶导也相等，则其在X0某一邻域的凹凸性相同。如果，函数值，一阶导，二阶导，都相等，那么这两个函数在 X0 处的函数图像就是，高度相同，斜率相同，凹凸性相同，很自然地我们可以猜想：如果在 X0 处函数值相同并且各阶导数都相同（假设可以无穷地这样求导），那这两个函数的图像在X0的某一个邻域内是重合的，也就是说，这两个函数是同一个函数（证明从略）。由此，我们便可以用含有（x-x0）的多项式来替代f(x)（证明也可以参考教材）。了解了泰勒公式，我们便可以来考虑它的应用了。泰勒公式的应用，从它的证明便可得知一二求极限、求近似值和不等式的证明。1.求极限对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的，因此，对一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题. 满足下列情况时可考虑用泰勒公式求极限：（1）用洛比达法则时，次数较多，且求导及化简过程较繁；（2）分子或分母中有无穷小的差，且此差不容易转化为等价无穷小替代形式；（3）所遇到的函数展开为泰勒公式不难.当确定了要用泰勒公式求极限时，关键是确定展开的阶数. 如果分母（或分子）是，就将分子（或分母）展开为阶麦克劳林公式. 如果分子，分母都需要展开，可分别展开到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数.2.证明不等式有关一般不等式的证明针对类型：适用于题设中函数具有二阶和二阶以上的导数，且最高阶导数的大小或上下界可知的命题. 证明思路：（1） 写出比最高阶导数低一阶的Taylor公式；（2） 根据所给的最高阶导数的大小或上下界对展开式进行缩放.有关定积分不等式的证明针对类型：已知被积函数二阶和二阶以上可导，且又知最高阶导数的符号.证题思路：直接写出的Taylor展开式，然后根据题意对展开式进行缩放.有关定积分等式的证明针对类型：适用于被积函数具有二阶或二阶以上连续导数的命题.证明思路：作辅助函数，将在所需点处进行Taylor展开对Taylor3.求近似值Taylor公式在近似计算中的应用用于近似计算，则应将余项以拉格朗日型表达，以便于误差的估计.有了以上这些应用，泰勒公式是否还有其他应用之处？下面我们来说明泰勒公式的其他应用之处。其他应用之处4.函数展开与向量空间泰勒公式是函数展开的一种工具,也就是说,利用泰勒公式将函数展成幂级数是函数展开的一种方法,当然,函数的展开方法有多种,例如：用泰勒公式展开、三角级数的展开等。为更好地理解函数展开的意义以及泰勒公式的应用，下面先对函数的展开进行论述,然后,用例题对其应用做进一步的说明。在高等数学中,函数展开有许多不同的形式,最常用的有如下两种类型的函数级数展开。函数的泰勒展开（幂级数展开）若函数f(x)在区间xx-x0R内无穷可微,且它的Lagrange余项rn(x)当n 时,收敛于零,则在这区间内有：函数的三角级数展开若函数f(x)在区间-,上连续且逐段光滑,则在这区间内有：从函数展开式(1)和(2)两边的项来看,左边的函数f(x)作为一个整体,它只有有限的一项,而 右边却包含着无限多项,说明在一定条件下,有限形式的函数可以用无限形式的级数来表示, 关于这一点,可以从另一个视角来看，若把展开式(1)和(2)中的函数系：1,(x-x0),(x-x0)2,(x-x0)3,(x-x0)n,1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx,分别看成无限维函数空间的两个坐标系, 其中的函数就是相应的坐标向量,则f(x)就可以看作这个空间的一个点（或一个向量）,则两 级数的系数组成的两个数列:a0,a1,a2,an与a0,a1,b1,a2,b2，n,bn,就是f(x)分别在这两个坐标系中的坐标,于是从形式来看，f(x)作为这无限维空间中的一个点（一个向量）,但从数来看，f(x)在这个空间中却要用无限个坐标来决定.在高等数学中,根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问题中是常有的。可见,换个角度看函数的展开,会给人加深印象,能在原有的基础上根深蒂固。谈到有限与无限,在高等数学中,根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问题中是常常会用到的,这就是泰勒公式的魅力所在.比如说：函数的分解与求和,函数关系的证明等,就要用这种有限与无限之间的变换方法。可见,这种有限与无限的变换方法的重要性,也体现了泰勒公式的奥妙之处。通过认识这种函 数展开与向量空间的联系可以更深刻的理解函数的展开,从而更会、深刻的理解泰勒公式,使它成为解决数学问题的更加有力的工具。5.计算行列式利用泰勒公式计算行列式的主要思路：根据所求行列式的特点，构造相应的行列式函数，再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开，只要求出行列式函数的各阶导数值即可。6.求解微分方程微分方程的解可能是初等函数或非初等函数，如微分方程y+r （x） y+s （x） y=0 （1） 的求解问题便是如此， 因而解这类方程我们可以设想其解y （x） 可以表示成泰勒级数的形式，进一步，我们可以大胆设想可以表示成更为一般的幂级数形式，从而的出了解这类方程的一种重要方法。事实上， 若r （x）， s （x） 在某点x0的邻域D： |xx0|R 内可以展开成