九年级数学竞赛几何的定值与最值辅导教案

1 / 8 九年级数学竞赛几何的定值与最值辅导教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 m 【例题就解】 【例 1】如图，已知 AB=10， P 是线段 AB上任意一点，在 AB的同侧分别以 AP 和 PB 为边作等边 APc 和等边 BPD ，则cD长度的最小值为 思路点拨如图，作 ccAB 于 c， DDAB 于 D ， DQcc ，cD2=DQ2+cQ2， DQ=AB 一常数，当 cQ越小， cD越小，本例也可设 AP=，则 PB=，从代数角度探求 cD的最小值 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示， 常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等 【例 2】如图，圆的半径等于正三角形 ABc的高，此圆在沿底边 AB滚动，切点为 T，圆交 Ac、 Bc于 m、 N，则对于所有可能的圆的位置而言， mTN为的度数（） A从 30 到 60 变动 B从 60 到 90 变动 c保持 30 不变 D保持 60 不变 2 / 8 (湖北赛区选拔赛试题 )； 思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点 c 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断 注：几何定值与最值问题，一般都 是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值 【例 3】如图，已知平行四边形 ABcD， AB=， Bc=()，P 为 AB边上的一动点， 直线 DP交 cB的延长线于 Q，求 AP+BQ 的最小值 (永州市竞赛题 ) 思路点拨设 AP=，把 AP、 BQ 分别用的代数式表示，运用不等式 (当且仅当时取等号 )来求最小值 【例 4】如图，已知等边 ABc 内接于圆，在劣弧 AB上取异于 A、 B 的点 m，设直线 Ac 与 Bm 相交于 k，直线 cB 与Am相交于点 N，证明：线段 Ak 和 BN的乘积与 m 点的选择无关 思路点拨即要证 AkBN 是一个定值，在图形中 ABc的边长是一个定值，说明 AkBN 与 AB 有关，从图知AB 为 ABm 与 ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AkBN=AB2，从而我们的证明目标更加明确 3 / 8 注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题 【例 5】已知 XyZ 是直角边长为 1 的等腰直角三角形(Z=90) ，它的三个顶点分别在等 腰 RtABc(c=90)的三边上，求 ABc 直角边长的最大可能值 (“ 宇振杯 ” 上海市初中数学竞赛题 ) 思路点拨顶点 Z 在斜边上或直角边 cA(或 cB)上，当顶点 Z在斜边 AB上时，取 xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点 Z 在 (Ac 或 cB)上时，设 cX=， cZ=，建立，的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值 注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解常见的解题途径是： (1)利用一元二次方程必定 有解的代数模型，运用判别式求几何最值； (2)构造二次函数求几何最值 学力训练 1如图，正方形 ABcD 的边长为 1，点 P 为边 Bc 上任意一点（可与 B 点或 c 点重合），分别过 B、 c、 D 作射线 AP的垂线，垂足分别是 B 、 c 、 D ，则 BB+cc+DD 的最大值为，最小值为 (江苏省竞赛题 ) 4 / 8 2如图， AoB=45 ，角内有一点 P， Po=10，在角的两边上有两点 Q， R(均不同于点 o)，则 PQR 的周长的最小值为 (湖北省黄冈市竞赛题 ) 3如图，两点 A、 B 在直线 mN外的同侧， A 到 mN的距离 Ac=8，B 到 mN 的距离 BD=5， cD=4， P 在直线 mN 上运动，则的最大值等于 (“ 希望杯 ” 邀请赛试题 ) 4如图， A 点是半圆上一个三等分点， B 点是弧 AN的中点，P 点是直径 mN 上一动点， o 的半径为 1，则 AP+BP 的最小值为 () A 1B c D (湖北省荆州市中考题 ) 5如图，圆柱的轴截面 ABcD是边长为 4 的正方形，动点 P从 A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到 Bc 的中点 S 的最短距离是 () A B c D (贵阳市中考题 ) 6如图、已知矩形 ABcD， R， P 户分别是 Dc、 Bc上的点， E，F 分别是 AP、 RP 的中点，当 P 在 Bc 上从 B 向 c 移动而 R 不动时，那么下列结论成立的是 () A线段 EF的长逐渐增大 B线段 EF的长逐渐减小 5 / 8 c线段 EF的长不改变 D线段 EF的长不能确定 (桂林市中考题 ) 7如图，点 c 是线段 AB上的任意一点 (c点不与 A、 B 点重合 )，分别以 Ac、 Bc为边在直线 AB的同侧作等边三角形 AcD和等边三角形 BcE， AE与 cD相交于点 m， BD与 cE 相交于点N (1)求证： mNAB ； (2)若 AB的长为 l0cm，当点 c 在线段 AB上移动时，是否存在这样的一点 c，使线段 mN 的长度最长 ?若存在，请确定 c点的位置并求出 mN的长；若不存在，请说明理由 (2002年云南省中考题 ) 8如图，定长的弦 ST在一个以 AB为直径的半圆上滑动， m是 ST的中点， P 是 S 对 AB作垂线的垂足，求证：不管 ST滑到什么位置， SPm 是一定角 (加拿大数学奥林匹克试题 ) 9已知 ABc 是 o 的内接三角形， BT为 o 的切线， B 为切点， P 为直线 AB上一点，过点 P 作 Bc的平行线交直线 BT于点 E，交直线 Ac于点 F (1) 当点 P 在线段 AB 上时 ( 如图 ) ，求证：PAPB=PEPF； (2)当点 P 为线段 BA 延长线上一点时，第 (1)题的结论还成6 / 8 立吗 ?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由 10如图，已知；边长为 4 的正方形截去一角成为五边形 ABcDE，其中 AF=2， BF=l，在 AB 上的一点 P，使矩形 PNDm有最大面积，则矩形 PNDm的面积最大值是 () A 8B 12c D 14 11如图， AB 是半圆的直径，线段 cA 上 AB 于点 A，线段DB上 AB于点 B， AB=2； Ac=1， BD=3， P 是半圆上的一个动点，则封闭图形 AcPDB的最大面积是 () A B c D 12如图，在 ABc 中， Bc=5， Ac=12， AB=13，在边 AB、 Ac上分别取点 D、 E，使线段 DE 将 ABc 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度 (全国初中数学联赛试题 ) 13如图， ABcD是一个边长为 1 的正方形， U、 V 分别是 AB、cD上的点， AV与 DU相交于点 P， BV与 cU相交于点 Q求四边形 PUQV面积的最大值 (“ 弘晟杯 ” 上海市竞赛题 ) 14利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水已知每个喷水器的喷水区域是半径为 l0 米的圆，问如何 设计 (求出两喷水器之间的距离和矩形的长、7 / 8 宽 )，才能使矩形花坛的面积最大 ? (河南省竞赛题 ) 15某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场 (平面图如图所示 )其中，正方形 mNPQ与四个相同矩形 (图中阴影部分 )的面积的和为 800平方米 (1)设矩形的边 AB=(米 )， Am=(米 )，用含的代数式表示为 (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为 2100 元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为 105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造 价为 40元 设该工程的总造价为 S(元 )，求 S 关于工的函数关系式 若该工程的银行贷款为 235000 元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务 ?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由 若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金