九年级数学竞赛圆幂定理教案

1 / 7 九年级数学竞赛圆幂定理教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m 【例题求解】 【例 1】如图， PT切 o 于点 T， PA交 o 于 A、 B 两点，且与直径 cT交于点 D， cD=2， AD=3， BD=6，则 PB= (成都市中考题 ) 思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求 PB长 注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例； (3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来 【例 2】如图，在平行四边形 ABcD 中，过 A、 B、 c 三点的圆交 AD 于点 E，且与 cD 相切，若 AB=4， BE=5，则 DE的长为 () A 3B 4c D (全国初中数学联赛题 ) 2 / 7 思路点拨连 Ac， cE，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件 注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆 中线段计算问题的关键 【例 3】如图， ABc 内接于 o ， AB是 o 的直径， PA是过 A 点的直线， PAc=B (1)求证： PA是 o 的切线； (2)如果弦 cD交 AB于 E， cD的延长线交 PA 于 F， Ac=8， cE：ED=6： 5， AE： BE=2： 3，求 AB的长和 EcB 的正切值 (北京市海淀区中考题 ) 思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识 (1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数 x、 k 处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找 x与 k 的关系，建立 x 或 k 的方 程 【例 4】如图， P 是平行四边形 AB 的边 AB 的延长线上一点， DP与 Ac、 Bc分别交于点 E、 E， EG是过 B、 F、 P 三点圆的切线， G 为切点，求证： EG=DE (四川省竞赛题 ) 思路点拨由切割线定理得 EG2=EFEP，要证明 EG=DE，只需证明 DE2=EFEP，这样通过圆幂定理把线段相等3 / 7 问题的证明转化为线段等积式的证明 注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁 需要注意的是，圆幂定理的运用不仅 局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中 【例 5】如图，以正方形 ABcD的 AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为 o， DF切半圆于点 E，交 AB的延长线于点F， BF 4 求： (1)cosF 的值； (2)BE的长 (成都市中考题 ) 思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连 oE， AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法对于 (1)，先求出 EF， Fo值；对于 (2)，从 BEFEAF ，RtAEB 入手 注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图 形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手： (1)多视点观察图形如本例从 D 点看可用切线长定理，从F 点看可用切割线定理 (2)多元素分析图形图中有没有特殊点、特殊线、特殊三4 / 7 角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形 (3)将以上分析组合，寻找联系 学力训练 1如图， PT 是 o 的切线， T 为切点， PB 是 o 的割线，交 o 于 A、 B两点，交弦 cD于点 m，已知 cm=10， mD=2， PA=mB=4，则 PT的长为 (绍兴市中考题 ) 2如图， PAB、 PcD为 o 的 两条割线，若 PA=5， AB=7， cD=11，则 Ac： BD= 3如图， AB是 o 的直径， c 是 AB延长线上的一点， cD是o 的切线， D 为切点，过点 B 作 o 的切线交 cD 于点 F，若 AB=cD=2，则 cE= (天津市中考题 ) 4如图，在 ABc 中， c=90 ， AB=10， Ac=6，以 Ac为直径作圆与斜边交于点 P，则 BP的长为 () A 6 4B 3 2c 3 6D 8 (苏州市中考题 ) 5如图， o 的弦 AB 平分半径 oc，交 oc 于 P 点，已知 PA、 PB的长分别为方程的两根，则此圆的直径为 () A B c D (昆明市中考题 ) 5 / 7 6如图， o 的直径 Ab垂直于弦 cD，垂足为 H，点 P 是 Ac上一点 (点 P 不与 A、 c 两点重合 )，连结 Pc、 PD、 PA、 AD，点 E 在 AP的延长线上， PD与 AB 交于点 F，给出下列四个结论： cH2=AHBH ； AD Ac： AD2=DFDP ；EPc=APD ，其中正确的个数是 () A 1B 2c 3D 4 (福州市中考题 ) 7如图， Bc是半圆的直径， o 为圆心， P 是 Bc 延长线上一点， PA切半圆于点 A， ADBc 于点 D (1)若 B=30 ，问 AB与 AP是否相等 ?请说明理由； (2)求证： PDPo=PcPB； (3)若 BD： Dc=4： l，且 Bc 10，求 Pc的长 (绍兴市中考题 ) 8如图，已知 PA切 o 于点 A，割线 PBc交 o 于点 B、 c，PDAB 于点 D， PD、 Ao 的延长线相交于点 E，连 cE 并延长交 o 于点 F，连 AF (1)求证： PBDPEc ； (2)若 AB=12， tanEAF= ，求 o 的半径的长 (北京市崇文区中考题 ) 9如图，已知 AB是 o 的直径， PB切 o 于点 B， PA交 o于点 c， PF分别交 AB、 Bc于 E、 D，交 o 于 F、 G，且 BE、6 / 7 BD恰哈好是关于 x 的方程 (其中为实数 )的两根 (1)求证： BE=BD； (2)若 GEEF=，求 A 的度数 (山西省中考题 ) 10如图， ABc 中， c=90 ， o 为 AB上一点，以 o为圆心， oB为半径的圆与 AB相交于点 E，与 Ac相切于点 D，已知 AD=2， AE=1，那么 Bc= (山东省临沂市中考题 ) 11如图，已知 A、 B、 c、 D 在同一个圆 上， Bc=cD， Ac 与BD交于 E，若 Ac=8， cD=4，且线段 BE、 ED为正整数，则 BD= 12如图， P 是半圆 o 的直径 Bc 延长线上一点， PA 切半圆于点 A， AHBc 于 H，若 PA=1， PB+Pc=(2)，则 PH=() A B c D 13如图， ABc 是 o 的内接正三角形，弦 EF 经过 Bc 的中点 D，且 EFAB ，若 AB=2，则 DE的长为 () A B c D 1 14如图，已知 AB为 o 的直径， c 为 o 上一点，延长 Bc至 D，使 cD=Bc， cEAD 于 E， B E 交 o 于 F， AF交 cE 于 P，求证： PE=Pc (太原市竞赛题 ) 7 / 7 15已知：如图， ABcD 为正方形，以 D 点为圆心， AD 为半径的圆弧与以 Bc 为直径的 o 相交于 P、 c 两点，连结 Ac、AP、 cP，并延长 cP、 AP 分别交 AB、 Bc、 o 于 E、 H、 F 三点，连结 oF (1)求证： AEPcEA ； (2)判断线段 AB与 oF的位置关系，并证明你的结论； (3)求 BH:Hc(四川省中考题 ) 16如图， PA、 PB 是 o 的两条切线， PEc 是一条割线， D是 AB与 Pc的交点，若 PE=2， cD=1，求 DE的长 (国家理科实验班招 生试题 )