高三数学复习微专题之《平面向量基本定理系数“等和线”的应用》.pdf

衡阳市数学学会 衡阳市高中教师数学交流 QQ 群：731847633 高三数学复习微专题之高三数学复习微专题之 平面向量基本定理系数平面向量基本定理系数“等和线等和线”的应用的应用 衡东一中衡东一中朱亚旸朱亚旸 一、一、问题的提出问题的提出 平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高近 年， 高考、 模考中有关 “等和线定理” （以下简称等和线） 背景的试题层出不穷 学 生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不 清、解题繁琐，导致得分率不高在平时教学中，我们能不能给出一个简单、有 效的方法解决此类问题呢？带着这个问题，笔者设计本微型专题 二、二、等和线定理等和线定理 平面内一组基地OBOA,及任一向量OC，ROBOAOC，若点 C在直线AB上或在平行于AB的直线上，则k（定值），反之也成立， 我们把直线AB以及直线AB平行的直线称为“等和线” （1）当等和线恰为直线AB时，1k； （2）当等和线在O点和直线AB之间时，1 , 0k； （3）当直线AB在O点和等和线之间时， , 1k； （4）当等和线过O点时，0k； （5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数； （6）定值k的变化与等和线到O点的距离成正比； 简证， 如图 1 若ODOC， 那么ODOB y OA x OByOAxOC ， 从而有1 yx ，即 yx另一方面，过C点作直线ABl /，在l上任作一 点 C，连接 DABOC，同理可得，以OBOA,为基底时， OC对应的系数和 依然为. 三、三、定理运用定理运用 （一）（一）基底起点相同基底起点相同 例例 1 1：（2017 年全国卷理科第 12 题）在矩形ABCD 中，1AB，2AD，动点P在以C为圆心且与BD相 切的圆上，若ADABAP，则的最大值（ ） A.3B.22C.5D.2 【分析】 如图 2，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 衡阳市数学学会 衡阳市高中教师数学交流 QQ 群：731847633 与圆相切时，最大，此时3 3 AB AB AB EFBEAB AB AF ,故选A. 练习练习 1 1：(2006 年湖南卷 15 题)如图 3 所示， ABOM /，点P在由射线OM、射线段OB及 AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界） 运动，且OByOAxOP （1）则x的取值范围是； （2）当 2 1 x时，y的取值范围是. 【分析】 (1),根据题意， 很显然0x； （2） 由平面向量基底等和线定理可知，10yx， 结合 2 1 x，可得 2 3 2 1 y. 练习练习 2 2： (衡水中学 2018 届高三二次模拟)如图 4， 边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q的半径为 1，圆心在线段CD（含短点）上运动，P是圆Q上及其内 部的动点，设向量RnmAFnABmAP,，则nm的取值范围是（） A.2 , 1B.6 , 5C.5 , 2D.5 , 3 【分析】 如图 5，设AFnABmAP 1 ，由等和线结论，2 2 AB AB AB AG nm.此为nm 的最小值； 同理， 设AFnABmAP 2 ， 由等和线结论，5 AB AH nm.此为nm 的最大值.综上可知5 , 2nm. 衡阳市数学学会 衡阳市高中教师数学交流 QQ 群：731847633 （二）（二）基底起点不同基底起点不同 例例 2 2：（2013 年江苏高考第 10 题）设ED,分别是ABC的边BCAB,上的点，且 有, 3 2 , 2 1 BCBEABAD若RACABDE 2121 ,，则 21 的值为 【分析】 过点A作DEAF ,设BCAF,的延长线交于点H， 易知FHAF ，即FHAF ，即DF为BC的中 位线，因此 2 1 21 . 练习练习 3 3： 如图 7， 在平行四边形ABCD中，NM,为CD的三等分点，S为AM与BN 的交点，P为边AB上一动点，Q为SMN内一点 （含边界） ， 若BNyAMxPQ， 则yx的取值范围是. 【分析】 如图 8 所示，作AMPS ，BNPT ，过I作直线MN的平行线，由等和线定理 可知， 1 , 4 3 yx. （三）（三）基底一方可变基底一方可变 例例 3 3：在正方形ABCD中，如图 9，E为AB中点， P以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点， 设APyDExAC，则yx的最小值为. 衡阳市数学学会 衡阳市高中教师数学交流 QQ 群：731847633 【分析】 由题意，作DEAK ，设ACAD，直线AC与直线PK相交与点D，则有 APyAKxAD，由等和线定理，1 yx，从而 1 yx，当点P与点B 重合时，如图 10，2 max ，此时， 2 1 min yx 练习练习 4 4：在平面直角坐标系xoy中，已知点P在曲线0 4 1 2 x x y：上，曲 线与x轴 相 交 于 点B， 与y轴 相 交 于 点C， 点1 , 2D和0 , 1E满 足 ROPCEOD,则的最小值为_. 【分析】 作OACE ，令ODxOD 1 ,有OPxOAxOD 1 ， 由等和线定理，1xx，所以 x 1 ，如图 11，再由等和线定理，得 2 1 min . （四）（四）基底合理调节基底合理调节 例题例题 4 4：（2013 年高考安徽理科卷）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定 点BA,满足2OBOAOBOA，则点集 ROBOAOPP, 1,所表示 的区域面积是（） A.22B.32C.24D.34 【分析】 由2OBOAOBOA可知， 3 , OBOA.如图 12 所示， 当00，时， 若1，则点P位于线段AB上；当00，时，若1，则点P位 于线段 AB上；当00，时，若1，则点P位于线段BA上；当 00，时，若1，则点P位于线段 B A上；又因为1，由 等和线定理可知，点P位于矩形 B ABA内（含边界）.其面积344 AOB SS. 衡阳市数学学会 衡阳市高中教师数学交流 QQ 群：731847633 练习练习 5 5：如图 13 所示，CBA,是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长 线交于圆O外的点D,若OBnOAmOC，则nm的取值范围是. 【分析】 作OBOA,的相反向量 11,OB OA，如图 14 所示，则 11 /BAAB，过O作直线ABl /， 则直线l， 11B A为以OBOA,为基底的平面向量基本定理系数等和线，且定值分别 为10 ， 由题意CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D， 所以点C在 直线l与直线 11B A之间，所以0 , 1nm. 练习练习 6 6：如图 15，在扇形OAB中， 3 AOB，C为弧AB上的一个动点，若 OByOAxOC，则yx3的取值范围是 【分析】 依题意， 3 3 OB yOAxOC，令 3 OB OB ， 重新调整基底 ,OBOA.显然，当C在A点时，经过1k的等和线，C在B点时 经过3k的等和线，这两个分别是最近跟最远的等和线，所以系数和 3 , 13 yx. （五）（五）“基底基底+ +”高度融合高度融合 例例 5 5 ： 已 知 三 角 形ABC中 ，6BC，ABAC2， 点D满 足 AC yx y AB yx x AD 2 2 ，设 ADyxf, ， 00, ,yxfyxf恒成立， 则 00, y xf的最大值为. 【分析】 衡阳市数学学会 衡阳市高中教师数学交流 QQ 群：731847633 本题为“基底+阿氏圆”交汇命题. 思路思路 1 1：如图 16 所示，以BC为x轴，中垂线 为y轴建立直角坐标系，易知点B的轨迹方程 是165 2 2 yx取AC中点F，延长 AB到E，且BEAB .于是， AC yx y AB yx x AD 2 2 ， AC yx y AB yx x AD 2 1 2，即有 AF yx y AE yx x AD ，从而EFD，进一步得到 AKyxfyxf 00, ,且有BGAK2， 因为EF恒过ACE重心H， 所 以422BHBGAK，即4, max00 yxf. 思路思路 2 2：如图 17 所示，同上分析，EFD. 当EFAD 时， ADyxf, 取得最 小值，此时ADyxf 00, .易知 AEFABC，则4rAHAD. 四、四、解题总结解题总结 1、确定等值线为 1 的直线； 2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分