2019届高考数学二轮复习 第一篇 考点三 三角函数与解三角形 考查角度3 解三角形及其应用突破训练 文.docVIP

考查角度3解三角形及其应用分类透析一利用正、余弦定理解三角形例1 (1)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=23,B=30,则sin C=.解析 (1)因为cos A=45,cos C=513,且A,C为三角形的内角,所以sin A=35,sin C=1213.所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=6365.又因为asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=2113.(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=1+12-4332=7,即b=7.由正弦定理,得sin C=csinBb=23127=217.答案 (1)2113(2)217方法技巧 (1)利用正弦定理可以解决两类三角形问题:已知两角和任一边,求其他边和角,这种情况有唯一解;已知两边和其中一边所对的角,求其他边和角,这种情况可能有一解,可能有两解,可能无解,要充分利用三角形中大边对大角的性质进行判断.(2)利用余弦定理可以解决三类三角形问题:已知两边及其夹角,求其他边和角,这种情况有唯一解;已知三边,求三角,这种情况有唯一解;已知两边和其中一边所对的角,求其他边和角,这种情况可能有一解,可能有两解,可能无解,要充分利用三角形中大边对大角的性质进行判断.分类透析二正、余弦定理的综合应用例2 (1)在ABC中,B=60,AC=3,则AB+2BC的最大值为.(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,cos C=19,且acos B+bcos A=2,则ABC面积的最大值为.解析 (1)依题意知A+C=120,C=120-A(0A120).由正弦定理可得BCsinA=ABsin(120-A)=3sin60=2,AB=2sin(120-A),BC=2sin A,AB+2BC=2sin(120-A)+4sin A=5sin A+3cos A=27sin(A+)27,其中tan =35,当A+=90时“=”成立,故所求最大值是27.(2)由题设及余弦定理,可得aa2+c2-b22ac+bb2+c2-a22bc=2,故c=2,又由余弦定理可得22=a2+b2-2ab19,即a2+b2=29ab+4.a2+b22ab,29ab+42ab,ab94,当且仅当a=b时取等号.由cos C=19,可得sin C=1-192=459,SABC=12absin C=12459ab=259ab25994=52.答案 (1)27(2)52方法技巧 (1)三角函数中的最值问题常常转化为三角函数问题,再结合辅助角公式或均值不等式求解;(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.分类透析三解三角形的实际应用例3 (1)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于().A.240(3-1) mB.180(2-1) mC.120(3-1) mD.30(3+1) m(2)(2018唐山模拟)一艘海监船在某海域实施巡航监视,由A岛向正北方向行驶80海里至M处,然后沿东偏南30方向行驶50海里至N处,再沿南偏东30方向行驶303海里至B岛,则A,B两岛之间的距离是海里.解析 (1)由题图知AB=60sin75=2406+2 m,ACB=30,BAC=45.在ABC中,由正弦定理得ABsin30=BCsin45,可得BC=120(3-1) m.故选C.(2)连接AN,则在AMN中,由余弦定理可得cos 60=502+802-AN225080,解得AN=70海里.由余弦定理可得cosANM=502+702-80225070=17,所以sinANM=437.在ANB中,由余弦定理可得cosANB=(303)2+702-AB2230370.又cosANB=cos(150-ANM)=cos 150cosANM+sin 150sinANM=3314,所以3314=(303)2+702-AB2230370,解得AB=70海里.答案 (1)C(2)70方法技巧 利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可以利用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步解其他三角形,有时需要设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要的解.1.(2018年全国卷,理6改编)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=42,B=45,则sin 2C=.解析 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=1+32-8222=25,即b=5.cos C=a2+b2-c22ab=1+25-32215=-35,sin C=45.sin 2C=2sin Ccos C=245-35=-2425.答案 -24252.(2018年全国卷,理9改编)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ABC的面积为315,b-c=2,cos A=-14,则a的值为.解析 因为SABC=12bcsin A=315,sin A=1-cos2A=154,所以bc=24.又b-c=2,所以a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bccos A=64,所以a=8.答案 83.(2018年全国卷,文16改编)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin(A-B)+2cos Asin B=-2sin 2C,16a2+16b2-13c2=0.若ABC的面积为3154,则a+b-c的值为().A.1B.2C.3D.4解析 因为sin(A-B)+2cos Asin B=-2sin 2C,且sin(A-B)+2cos Asin B=sin Acos B-cos Asin B+2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin(180-C)=sin C,所以sin C=-2sin 2C=-4sin Ccos C.因为sin C0,所以cos C=-14,sin C=154.由余弦定理可知a2+b2-c22ab=-14,即16a2+16b2-16c2+8ab=0.又16a2+16b2-13c2=0,所以c2=83ab.由已知得SABC=12absin C=158ab=3154,解得ab=6,所以c=4.即有a2+b2=13,ab=6,所以(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25,解得a+b=5,所以a+b-c=1.答案 A4.(2018年江苏卷,13改编)若ABC的内角A,B,C满足sin A+2sin B=2sin C,则cos C的最小值是.解析 由sin A+2sin B=2sin C可得a+2b=2c,c=a+2b2,cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-a+2b222ab=34a2+12b2-22ab2ab=38ab+14ba-2423a8bb4a-24=6-24.答案 6-245.(2018年北京卷,文14改编)在ABC中,已知a2+b2-c2=4S(S为ABC的面积),若c=2,则a-22b的取值范围是().A.(0,2)B.(-1,0)C.(-1,2)D.(-2,2)解析 a2+b2-c2=4S,a2+b2-c2=412absin C =2absin C,a2+b2-c22ab=sin C,cos C=sin C,C=4.asinA=bsinB=csinC=222=2,a=2sin A,b=2sin B.a-22b=2sin A-222sin B =2sin A-2sin B=2sin A-2sin34-A=sin A-cos A=2sinA-4.又0A34,-4A-42, -12sinA-42,-1a-22b2,故选C.答案 C1.(2018年沈阳模拟)如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB=45,CAB=105,则A,B两点的距离为().A.502 mB.503 mC.252 mD.2522 m解析 由正弦定理得AB=ACsinACBsinABC=502212=502(m).答案 A2.(2018天津河东区模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=5,B=4,tan A=2,则a的值是().A.102B.210C.10D.2解析 在ABC中,tan A=sinAcosA=2,sin2A+cos2A=1,sin A=255.由正弦定理可得a255=522,解得a=210.故选B.答案 B3.(2017年北京昌平模拟)在ABC中,已知AB=3,AC=5,A=120,则sinAsinB=().A.57B.75C.35D.53解析 AB=3,AC=5,A=120,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=49,BC=7.由正弦定理,得sinAsinB=BCAC=75,故选B.答案 B4.(2018广东茂名二模)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2bcos C+c=2a,且b=13,c=3,则a=().A.1B.6C.22D.4解析 2bcos C+c=2a,由正弦定理可得2sin Bcos C+sin C=2sin A=2sin(B+C)=2sin Bcos C+2cos Bsin C,sin C=2cos Bsin C.sin C0,cos B=12.又0B,B=3.b=13,c=3,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B,解得a=4.答案 D5.(2018成都模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,2bcos C-2ccos B=a,则角A的大小为().A.2B.3C.4D.6解析 由正弦定理得2sin Bcos C-2sin Ccos B=sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,sin Bcos C=3sin Ccos B,sin 2Ccos C=3sin Ccos 2C,2cos2C=3(cos2C-sin2C),解得tan2C=13.B=2C,C为锐角,tan C=33,C=6,B=3,A=2.故选A.答案 A6.(2018年佛山调研)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a,b,c成等差数列,则角B的取值范围是().A.3,2B.0,3C.6,2D.3,解析 因为2b=a+c,所以cos B=a2+c2-b22ac=38(a+c)2ac-1.由基本不等式a+c2ac,得cos B384-1=12,所以角B的取值范围是0,3,故选B.答案 B7.(2018届江西赣州期末)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2acos A=bcos C+ccos B,且b+c=4,则a的最小值为().A.2B.22C.3D.23解析 由正弦定理得2sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin A,故cos A=12.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=(b+c)2-2bc-a22bc=12,即a2=16-3bc16-3b+c22=4,所以a的最小值为2.故选A.答案 A8.(2018届邢台二中月考)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sin32B+4=22,且a+c=2,则ABC周长的取值范围是().A.(2,3B.3,4)C.(4,5D.5,6)解析 由0B得432B+474,sin32B+4=22,32B+4=34,解得B=3.又a+c=2,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-ac=4-3ac.a+c=2,a+c2ac,当且仅当a=c时取等号,0ac1,-3-3ac0,则1b24,即1b2.ABC的周长L=a+b+c=b+23,4).故选B.答案 B9.(2018届河南濮阳一模)在ABC中,sin A,sin B,sin C成等比数列,则sin2BsinB+cosB的取值范围是().A.-,22B.0,22C.(-1,2D.0,3-32解析 由已知可得sin2B=sin Asin C,即b2=ac,cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac2ac-ac2ac=12,0B3,sin B+cos B=2sinB+4(1,2.原式=2sinBcosBsinB+cosB=(sinB+cosB)2-1sinB+cosB,设t=sin B+cos B,则原式=t2-1t=t-1t(1t2).函数y=t-1t是增函数,当t=1时,y=0,当t=2时,y=22,原式的取值范围是0,22,故选B.答案 B10.(2018届南昌一模)已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)度的150公里处,以v公里/小时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)度的200公里处,若cos =34cos ,则v=().A.60B.80C.100D.125解析 画出图象如图所示,由余弦定理得(2.5v)2=2002+1502+2200150cos(+),由正弦定理得150sin=200sin,sin =43sin .因为cos =34cos ,所以由sin2+cos2=1,解得sin =35,故cos =45,sin =45,cos =35,故cos(+)=1225-1225=0,代入解得v=100.故选C.答案 C11.(2018上海普陀二模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(b2+c2-a2)tan A=bc,则角A的大小为.解析 由(b2+c2-a2)tan A=bc两边同除以2bc,得b2+c2-a22bctan A=12,由余弦定理可得cos Atan A=12,sin A=12.A是锐角,A=6.答案 612.(2018届河南许昌调研)如图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20,灯塔B在观察站C的南偏东40,则灯塔A与B的距离为km.解析 由题图可知,ACB=120,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=a2+a2-2aa-12=3a2,解得AB=3a(km).答案 3a13.(2018届济南期末)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos B=14,b=4,sin C=2sin A,则ABC的面积为.解析 sin C=2sin A,由正弦定理可得c=2a.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B,42=a2+c2-12ac,与c=2a联立解得a=2,c=4.cos B=14,B(0,),sin B=1-cos2B=154,ABC的面积S=12acsin B=1224154=15.答案 1514.(2018年衡水金卷五)我国南宋著名数