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第一章 线性代数本章要求了解线性代数的一些基础知识，了解矩阵的基本概念和简单运算，运用初等变换求矩阵的秩，会计算行列式的值，并能解一般的线性方程组1.1矩阵及其初等变换教学要求本节要求读者从线性方程组的求解导出矩阵、初等变换和秩的定义要求掌握矩阵的基本概念，熟练运用初等变换将矩阵化成阶梯形，从而掌握求矩阵的秩的方法，并能求出一般线性方程组的解1 熟悉矩阵、初等变换和秩的定义2 熟练运用初等变换将矩阵化成阶梯形，掌握求矩阵的秩3 能求出一般线性方程组的解知识点1. n元线性方程组2. 矩阵的定义和应用3. 初等变换和矩阵的秩1.1.1 n元线性方程组1.n元线性方程组在自然科学与社会经济领域，常常碰到线性方程组的问题，它的解决方法构成了现代数学最基础也是结果最完整的一套理论: 线性代数所谓线性，是指方程组中包含的变量(未知数)都是一次的n元线性方程组的定义我们将以下包含n个未知数x1,x2,xn和m个线性方程的方程组称为一个n元线性方程组若 则称方程组为齐次（线性）方程组满足方程组的数组 称为方程组的一个（特）解若方程组有不止一个解，则称所有解的共同的表达式为通解若两个方程组有相同的非空解集合，则称两个方程组为同解方程组2阶梯形方程组对于一般的线性方程组, 我们很难直接断定是否有解，但有些特殊类型的方程组我们则很容易求出其解例如以下的上三角形方程组：其中我们很容易从第个方程中解出，再将解出的 带入第个方程后就可解出，如此反复即可解出每一个阶梯形方程组的定义上三角形方程组或将上三角形的方程组去掉若干个方程后所得到的方程组,我们之为阶梯形方程组我们通过以下的具体例子来说明阶梯形的方程组是怎样求通解的我们发现该方程组是将五阶的上三角形方程组去掉第二和第四个方程后得到的，于是我们就令 和, 其中,为任意的实数，再将所有的任意常数都移到方程的右端，我们又得到了一个三阶的上三角形的方程组，于是上面阶梯形方程组所有的解(带有两个任意常数,的通解)，就可通过上三角形的方程组的解法解出来了 需要事先指出的是所有的线性方程组最终都可以化为同解的阶梯形方程组, 这个过程也可以用下面要定义的矩阵及其变换来实现.1.1.2 矩阵的定义和应用1矩阵的定义当我们处理大量数据的时候，就需要矩阵的概念了所谓矩阵，就是一个数表，但是这个数表已除去了数据的来源和意义，只有一个由数字构成的矩形的方阵比如，下图是一个单位人员构成的图表， 主任 副主任 工程师 工人 临时工 厂办 1 2 1 3 无 第一车间 1 1 5 52 2 第二车间 1 2 9 150 3 第三车间 1 1 4 19 无当我们把表中的文字说明部分去掉，并把缺省的项目填成数字0，就得到了一个只有数字的数表 ，这种数表就称为矩阵矩阵的定义我们将形如 的矩形数表, 称为一个mn阶矩阵，其中m与n分别是矩阵的行数与列数，阵列中第i行第j列() 处的称为矩阵的第i行第j列元素， 的第一个下标i是行的序号, 第二个下标j是列的序号当m = n时，特别称为n阶方阵或n阶矩阵当m = n = 1时，矩阵就是一个数，我们不再加括号表示了注意，在数学理论当中，一个矩阵中的mn个元素可以是数 (整数, 实数或复数)，也可以是其他研究对象 (例如函数、文字、甚至更小的矩阵等等)，本课程只讲元素是实数的矩阵 假如我们抽出矩阵的第行来，构成一个1n阶矩阵 （注意元素间只须留出空隙，并不用逗号分开），称为的第i个行(向量) 同理，的第j个列(向量)是m1阶矩阵这样，又可表示成 我们一般用大写的英文字母表示矩阵等, 有时矩阵也可以简写成 ，表示矩阵A第i行第j列元素为， 两个mn阶矩阵与称为相等的，如果 (，)，此时记作注意，行数或列数不等的矩阵决不能相等例1.1.1 如果矩阵的mn个元素均为0，则称A为零矩阵，记作0mn，常简记作0，而不标明下标mn 如果把mn阶矩阵的第i行改为第i列，第j列改为第j行，就可得到一个新的nm矩阵，记作，称为A的转置(矩阵)，具体表示如下： 若，则显然，n阶方阵的转置仍是n阶方阵，而且对任何矩阵A，有2系数矩阵和增广矩阵矩阵理论的应用，最常见也是最重要的就是解线性方程组假如我们有一个n元线性方程组则我们将由方程组左端的mn个系数（缺省的算0）相互位置不变所得到的矩阵 ,称为方程组的系数矩阵，将再把方程组右端的m个已知参数组成m1阶矩阵 与A合在一起共同构成的一个m(n + 1) 阶矩阵 ,称为线性方程组的增广矩阵显然，所有的方程组与所有的矩阵（列数大于1）之间有一个1-1对应因而，我们可以将方程组的问题转化为矩阵的问题例1.1.2. 三元线性方程组的系数矩阵是，增广矩阵是1.1.3初等变换和矩阵的秩1初等变换我们知道方程组与列数超过1的矩阵之间通过增广矩阵有一个1-1对应，那么当我们用消元法解线性方程组时，同解的方程组之间对应的增广矩阵又有什么样的变化呢？我们还是先回到具体的例子中来三元线性方程组 的增广矩阵是，该方程组的消元解法如下：先用(3)式加上(1)式的2倍，即可消去(3)式中的未知数，得到一个同解方程组增广矩阵变为，再用(4)式减去(2)式的倍, 又得同解方程组增广矩阵变为 ，再在方程(5)的两边乘以，又得同解方程组增广矩阵变为，然后再将代入(2)式可得, 最后将，代入(1)式即得方程组解 以上增广矩阵的变化就是矩阵的初等行变换 除去这些行变换外, 还有一种很有用的行变换是交换矩阵的两行，相当于交换两个方程的次序综合以上三种变换，我们有以下定义初等变换的定义. 对矩阵A施行的下列三种变换称为A的初等行变换： (1) 交换A的第i行与第j行，记作；(2) 用一个非零实数c乘以A的第i行，即用该数乘以该行的每个元素，所得各数按原来次序作为同一行的元素, 记作；(3) 用一实数c乘以A的第j行 ( 如 (2) 中所述 ) 后， 再加到A的第i行上，记作（我们也称之为第i行加上第j行的c倍），当 时，也记作 当上述三种变换中的行改为列时，我们称为A的三种初等列变换六种变换统称为初等变换例1.1.3. 令, ， 求x,y,z,w, 使得B1=B2 解. 根据矩阵相等的定义, x,y,z与w必须满足 整理得x,y,z,w满足的线性方程组 .现用矩阵的初等行变换来求此方程组的解该方程组的增广矩阵是 因第一行第一列的元素为0，因此将的第一、二两行交换，使得第一行第一列的元素不为0， 这样我们就可以通过如下的行变换把矩阵化为一个第一列只有一个非零元（处在第一行，最好取为1）的矩阵然后我们将保持第一行不动，只对矩阵第二行以后的元素做初等行变换了此时如果第二列处在第二行之后的元素不都为0，则我们把由第二行和第二列以后的元素构成的小一阶的矩阵再重复实行上述变换；如果第二列的处在第二行以后的元素全为0，则我们直接从第三列的处在第二行之后的元素进行同样的处理反复进行这个过程，我们就可以通过初等行变换将一个矩阵化为上三角形的方程组的增广矩阵，然后就很容易把方程的解求出来由此解得x=8，y=3，z=6，w=0 2. 阶梯形矩阵 我们知道阶梯形（包括上三角形）方程组的通解很容易求，那么阶梯形方程组的增广矩阵又有什么特征呢？阶梯形矩阵的定义. 如果矩阵中每一行第一个非零元素（称为该行的非零首元）必在上一行非零首元的右下方， 则我们称这样的矩阵为阶梯形矩阵很显然，阶梯形方程组的增广矩阵都为阶梯形矩阵，但是阶梯形的矩阵可能对应一个没有解的方程组比如矩阵（0 1）就对应一个矛盾的方程例1.1.4 设 a) , b) , c) , d) 其中a), b), d)是阶梯形矩阵；而c)不是，因为其第5行非零首元3不在上一行非零首元的右下方，而是在的正下方定理1.1.1. 任意矩阵A均可经有限次初等行变换化为阶梯形，虽然化成的阶梯形矩阵不唯一，但所有化成的阶梯形矩阵都具有相同个数的非零行（即该行至少有一个元素不为零），我们称这个数为矩阵A的秩，记作r(A)我们略去此定理的一般证明，用一个具体实例来说明定理的结论例1.1.5. 将矩阵 化为阶梯形解. 最后的矩阵是阶梯形了如果对上述再施行两个行变换：及，即得更简单的阶梯形矩阵，再进一步，对施行四个初等列变换： 即将第一列的倍加到第五列上，及, ，又可将化成所谓标准形矩阵，即 3标准形矩阵的定义标准形矩阵的定义. 如果mn阶矩阵满足, (其中r不大于m和n)，除此以外所有元素均为0，则称该矩阵为标准形矩阵标准形矩阵的秩显然等于其非零元的个数从以上的例子中不难看出，每个矩阵都可经有限次初等变换化为标准形可以证明的是标准形的得到与施行怎样的初等变换（不管是行变换还是列变换）无关，即所有矩阵的标准形都与原矩阵具有相同的秩例1.1.6. 把矩阵化为阶梯形，并求A的秩及标准形解： 此即A的一个阶梯形矩阵，且因其有2个非零行(第1行与第2行)，故，且A的标准形是需要注意的是，矩阵A化成的阶梯形不是唯一的，而标准形是唯一的，标准形就是一个特殊的阶梯形习 题1.1.1 判断下列矩阵是否为阶梯形矩阵：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5)； (6) 1.1.2 化矩阵为阶梯形及标准形, 并求出它的秩1.1.3 化矩阵为阶梯形及标准形, 并求出它的秩1.1.4 化矩阵为阶梯形及标准形, 并求出它的秩1.1.5 求线性方程组的解1.1.6 求线性方程组的解1.1. 7 矩阵与矩阵的秩是否相等？1.1.8矩阵与矩阵的秩相等么？思考题1.1.9两个同型矩阵秩相等的充要条件是不是它们的标准形相同？1.1.10假设矩阵A不可能通过初等变换化为同型矩阵B，则A与B的秩一定不相等么？1.1.11假设矩阵A不可能通过初等行变换化为同型矩阵B，则A与B的秩一定不相等么？1.1.12已知同型矩阵A、B为两个线性方程组的增广矩阵，且r(A)=r(B)，则两个线性方程组是否有相同的解1.1.13矩阵是否为阶梯形矩阵？1.1.14不存在其秩大于其行数或列数的矩阵么？1.1.15已知矩阵只有i个非零元，那么它的秩为i么？1.1.16一个矩阵的转置矩阵与它自身具有相同的秩么？1.2矩阵的运算教学要求本节要求熟练掌握矩阵运算的基本法则，学会用矩阵的运算法则重新解释线性方程组的关系，熟练运用矩阵的初等变换求矩阵的逆和可逆矩阵方程的解1. 熟练掌握矩阵的加减、数乘和乘法运、算2. 熟练运用矩阵的初等变换求矩阵的逆3. 熟练运用矩阵的初等变换求解可逆矩阵方程知识点1 矩阵的加减和倍数2 矩阵的乘法3 逆矩阵1.2.1矩阵的加减和倍数1.矩阵的加减两个行数相同列数也相同的矩阵称为同型矩阵，只有这样同型的矩阵才可以做加减法做加法时，把两矩阵中对应位置处的元素相加，和数放在原位置处，即得到行列数不变的新矩阵，称为原来两矩阵的和对于减法即两矩阵的差，可以类似地定义用数学语言表达为：矩阵加减法的定义设矩阵, , 则两矩阵的和为矩阵 ,两矩阵的差为矩阵 例1.2.1 设某机械总公司下属一个分公司, 其职工按男女区分统计如下表, 总公司分公司技术人员生产工人其他技术人员生产工人其他男50100510030010女10200152510020我们分别用矩阵A和B来列出总公司和分公司的职工人数情况, 然后汇总统计用矩阵A+B表示，即, ，则汇总为, 从矩阵A+B中可了解该机械公司的职工总数情况：男性技术人员、生产工人、其他职工分别为150、400、15人，而女性职工分别为35、300、35人 例1.2.2 若，则例1.2.3 设 A = (a b c) , B = (x y z)，则A- B = (a x b y c - z)容易验证, 矩阵的加法具有下列基本性质： 1. 交换性 A + B = B + A 2. 结合性 ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3. 零矩阵的单位性 A + 0 = 0 + A = A (零矩阵：所有元素均为0的矩阵) 4. 保持转置性 （A + B）= A + B 5. 负矩阵的存在性，即对任意矩阵 , 矩阵称为A的负矩阵, 记作 - A, 且有 A + (- A) =(- A)+ A = 0 显然, 若A与B是同型矩阵, 则A - B = A + (- B)例1.2.4 设, ，则 , 容易看出, 还有 (A- B) = A- B2矩阵的倍数一个矩阵A的负矩阵 - A，就是将A的每个元素乘以 - 1，我们不妨将 - A写成（- 1）A, 称为A的 - 1倍与此相仿，如果作加法运算A+A ，其结果是将A的每个元素乘以2，而A+A可以认为是2倍的A即 2A 由此我们推广这种作法，引进矩阵的倍数，或称为矩阵与数的乘法，又叫矩阵的数乘矩阵数乘的定义. 设k为一实数， 则A的k倍（或称为A与数k的数乘）是与A同型的矩阵 容易验证，对任意矩阵A，我们有 0 A = 0, 1 A = A, (-1) A = -A ，并且矩阵与数的乘法具有下列基本性质： 1. 对加法的分配性 k(A+B) = kA + kB， ( k+l )A = kA + lA 2. 结合性 k(lA) = (kl)A = l(kA) 3. 保持转置性 (kA)= k A例1.2.5 已知 且A + 3X = B,求矩阵X 解由A + 3X = B 得3X = BA，所以 1.2.2 矩阵的乘法1.矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法是一种非常重要的乘法, 它不同于我们过去熟悉的各种乘法比如数与数的乘法和矩阵与数的乘法等, 我们还是通过具体的例子来了解矩阵的乘法例1.2.6 一小学生买了一打铅笔, 每支0.3元； 练习本15个, 每本0.2元； 兰墨水一瓶, 价0.8元问共花去多少钱?解. 共花去的钱数显然是 经计算得（元）. 此算式可用下述形式表达: （元） 这种一行与一列矩阵的运算称为矩阵的乘法. 我们可以将它推广成一般的矩阵乘法. 若记 则上述乘法就可记成 或甚至省略中间的乘法记号“”, 简写成AB但要注意, 要做这样的乘法, 并非任何两个矩阵都可以进行：一个起码的条件是A的列数必须与B的行数相同矩阵乘法的定义. 设分别是mn, np矩阵, 则矩阵A与B的乘积是一mp矩阵， 记为, 其中乘积矩阵C中第i行第k列处元素为 , ,今后为简便起见, 采用一个和式的缩写记号(读作Sigma), 即 ,其中称为和号, 其下的表示后面式子中的下标t从1开始, 顺次取 此处下标t的最后一个数是上面标出的n, 然后将这n个式子相加于是有矩阵的乘法似乎非常复杂，但是注意观察我们不难发现，把A的第i个行向量与B的第k个列向量（都是矩阵）相乘，就得到一个11阶矩阵，也就是一个数， 此数恰巧就是矩阵AB的第i行第k列元素cij这就是说矩阵AB的第i行第j列元素就是A的第i个行向量与B的第j个列向量的乘积2.矩阵的乘法和线性方程组的关系采用矩阵的乘法, 一般线方程组 可以非常简单地表示为矩阵方程AX=B, 其中A为线性方程组的系数矩阵，与分别表示未知数构成的列向量与知参数构成的列向量这样，我们就把一个非常复杂的线性方程组表示成了与最简单的数字方程ax=b相类似的形式 3.矩阵乘法的性质例1.2.7 设 求AB与BA 解. AB = a1b1 + a2b2 + anbn, 而例1.2.8 设，求AB 解. 此处A是矩阵, B是矩阵, A的列数等于B的行数，故AB有意义，其积矩阵C应是矩阵据定义有 例1.2.9 设, 求AB, BA 解. , 而 由例1.2.9可见, 一般说来, 矩阵的乘法是不可交换的，甚至像例1.2.7中那样, AB与BA是两个完全不同型的矩阵从例1.2.8来看, 更有甚之, 即使AB是可乘的, 但BA就根本无意义了此外, 例1.2.9的乘积BA = 0, 说明两个均非零的矩阵, 其乘积可能等于零 矩阵的乘法具有下列基本性质： 1. 结合性 （AB）C = A（BC）2. 对加法的分配性 （A + B）C = AC + BC， C（A + B） = CA + CB 3对数乘的结合性 k（AB）=（kA）B = A（kB） 4关于转置 我们仅给出4的证明 设A与B分别是mn与np阶矩阵， 则AB是mp阶矩阵, 而 B/A/ 则为pm阶矩阵（AB）/ 中第i行第j列元素是AB中第j行第i列元素据定义，它是 ,而B/A/ 第i行第j列元素应是B/ 的第i行与A/ 的第j列对应元素乘积之和，即B的第i列与A的第j行对应元素乘积之和，由此可见（AB）/ 中与B/A/ 的第行第列元素对应相等，故（AB）/ = B/A/4单位矩阵在矩阵的乘法中, 有一种矩阵起着特殊的作用, 如同数的乘法中的1, 我们称这种矩阵为单位矩阵它是个方阵, 除左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1以外全都为0, 即 若A是mn阶矩阵, 则容易验证ImA = AIn = A我们把ImA称为用m阶单位矩阵左乘以A，同理，AIn称为In右乘以A上式可以简言之，任何矩阵左乘或右乘一个单位矩阵，其积仍为该矩阵1.2.3 逆矩阵1.逆矩阵的定义在数学中，几乎每一种运算都伴随着一种逆运算，那么矩阵的乘法是否也有逆运算呢? 我们知道，算术中乘法的逆运算是除法，那么两个矩阵是否可以相除呢? 由于矩阵的乘法不可交换，所以我们无法直接定义矩阵的除法，因为A/B是左乘以B为A呢，还是右乘以B为A？一般地说这两个矩阵不相同但是依照数的关系, 我们可以考虑定义一个矩阵A的相当于数的倒数的对应矩阵A-1, 也就是A的逆矩阵这样定义后，我们就可以解决不可交换的乘法的逆运算的问题了比如说虽然我们不能定义A/B，但是却有AB-1和B-1A两个不同的矩阵来对应逆矩阵的定义设A是n阶方阵, 若存在n阶矩阵B使得AB = BA = In , 则称是可逆的, 或说是可逆矩阵, 而称为的逆矩阵可以证明,这样的逆矩阵是唯一的，因此可记为A-1，而且只需要B满足一个方程(矩阵方程，既求未知矩阵B的方程)AB = In或BA = In就是A的逆了例1.2.10 设，则由，可知什么样的方阵能有逆矩阵呢? 其判断的条件与矩阵的行列式有关，这将在以后学到如果我们已经知道一个矩阵A是可逆的话，则我们可以通过解可逆矩阵方程AX = I（I为单位阵，X为未知矩阵）来求出解X = A_1逆矩阵的下述基本性质是容易验证的：1. （A_1）_1 = A 2. （AB）_1= B_1 A_13.（A/）_1 = （A_1）/ 需要注意的是性质2，矩阵乘积的逆等于逆的反序乘积，与求转置的性质一样这个性质可以推广到任意个矩阵相乘的情形，即2可逆矩阵方程若A为一个可逆矩阵， 则我们称形如AX = B (或XA = B) 的矩阵方程为可逆矩阵方程 将方程两边同时左(右)乘以A的逆矩阵我们就得到了这种方程的唯一解X = A_1B（或BA_1）所以我们如果能够求出A的逆矩阵，则方程的解就可以求出来了但有趣的是，这只是理论上的观点可逆矩阵方程有一个最简单的直接解法，而且最简单的求矩阵的逆的方法也是从求解特殊的可逆矩阵方程AX = In中得来的我们首先考虑当B为一个列向量时，可逆矩阵方程AX = B的解法 这种矩阵方程恰巧就是一个具有n个未知数和n个线性方程组成的线性方程组 用初等行变换来求其解时, 我们首先列出它的增广矩阵 其中左边的n列排成的一个n阶矩阵, 即为可逆的系数矩阵A, 而最后一列(第n+1列)为参数构成的一列B当A可逆时，该增广矩阵可以通过初等行变换化为形如（In Y）的阶梯矩阵，其中Y仍是一个列向量, 与B同型且正是方程的解A_1B 进一步推广, 求矩阵方程AX = B的解 若X为n行s列未知矩阵，其s个列向量分别记为X1，X， ，Xs ；B为任意的n行s列矩阵, 其s个列向量分别记为B1, B2, Bs 矩阵方程AX = B为(AX1 AX2 AXs)=( B1 B2 Bs)，等价于s个方程AX1= B1 ， AXs= B s，所有方程的系数矩阵都一样因此当我们把s个增广矩阵合在一起构成大矩阵(A B1 B2 Bs)=(A B)后，通过初等行变换把该大矩阵化为一个形如 (In X1 Xs) 的矩阵时，最后的s个列向量就是矩阵方程AX = B的解特别当取B为单位阵时, 方程AX =In的解即为A的逆矩阵这样，我们就得到了求逆矩阵 的方法：只要将矩阵大矩阵（AIn）通过初等行变换化为（InX），则X就是例1.2.11 求的逆矩阵.解. 因此有，可以验证 .例1.2.12 设 求方程的解解. ，故得对于另一种类型的可逆矩阵方程X A = B来说，其中A为n阶方阵，B为mn阶矩阵，有两种方法求解第一种我们将方程两边取转置矩阵得到一个矩阵方程，求出其解后再求一次转置，就可以把原方程的解求出来了另一种方法是从(m+n)n阶矩阵出发，通过初等列变换将其A化成的形状, 也就把B化成了X=B A_1需要注意的是, 用初等变换的方法求解可逆矩阵方程时, 应始终只使用行变换或列变换, 千万不能混合使用, 时而行变换, 时而列变换, 那样求出来的一般不会是方程的解下面的例子是用初等列变换求解方程的例1.2.13 求解方程解. 因 逆是右乘的, 则要进行初等列变换来求解即从53阶矩阵出发, 施行适当列变换, 将C中前3行化成3阶单位矩阵, 同时也就把化成了要求的X由此得习 题1.2.1. 设, 求：(1) ；(2) ；(3) ；(4)1.2.2. 求矩阵1.2.3. 求矩阵1.2.4. 求矩阵1.2.5. 求矩阵的逆1.2.6. 求矩阵的逆1.2.7. 求矩阵的逆1.2.8. 求矩阵的逆1.2.9. 解矩阵方程1.2.10. 解矩阵方程1.2.11.解矩阵方程1.2.12.解矩阵方程1.2.13.解矩阵方程1.2.14.解矩阵方程1.2.15.解矩阵方程1.2.16.解矩阵方程1.2.17.解矩阵方程1.2.18.解矩阵方程1.2.19.若方阵A满足，求证可逆，且，其中E为单位阵思考题1.2.20.若AB为单位阵，则A、B是否互为逆矩阵？1.2.21.若AB=0，则是否一定有A=0或B=0？1.2.22.对于方阵A、B，公式(A+B) = A+2AB+B是否成立？1.3行列式教学要求本节要求了解行列式的定义，掌握行列式的性质，熟练掌握求低阶数字行列式的值，理解行列式对于判别方阵是否可逆的作用1. 熟练掌握行列式的求法2. 用行列式的值判定方阵是否可逆知识点1. 行列式的定义2. 行列式的性质3. 行列式的计算4. 克莱姆法则*1.3.1 行列式的定义1. 二、三阶行列式行列式是线性代数里最基本的概念之一, 它在整个线性代数的理论及实际应用中都发挥了极重要的作用, 其作用之一就是判定任意方阵是否可逆 我们知道, 对于二元线性方程组 ,除了应用增广矩阵的初等行变换求解以外, 可以直接用加减消元法求其解事实上，增广矩阵初等行变换的实质就是加减消元该方程组的解是 , ,注意上两式中的分母是相同的数, 而分子则分别是和再仔细地观察一下就会进一步发现：x1的分子是把分母中的和分别用和代替, 而x2的分子是把分母中的和分别用和代替由此我们受到启发, 定义一个记号，则类似地就会有=，=而且左端形状与二阶方阵大同小异于是我们就把记号（它是一个数）称为二阶方阵的行列式， 简称二阶行列式于是, 只要二阶行列式 上述二元方程组就有唯一解，并且利用行列式记号, 这个解的公式成为以下简单易记的形式了，即，我们也称行列式为方程组的系数行列式, 上述公式称为求解方程组的克莱姆法则那么我们可不可以将以上法则推广到任意阶方程组呢？答案是肯定的比如，如果我们将三阶行列式定义为 =，则克莱姆法则就可以推广到三元线性方程组了为便于记忆, 3阶行列式可用下图简单表示出来, 其中实线所连接的项取正号, 虚线所连接的项取负号 由以上的例子我们就很容易联想到是否存在任意阶的n阶行列式呢？答案是肯定的，但是需要注意的是高阶行列式的定义是很复杂的，没有2、3阶行列式那么简单又直观的公式2 任意阶行列式的定义注意到3阶行列式有以下特点 上述表达式也称为3阶行列式按第1行的展开式将上式推广, 我们就有一个行列式归纳形式的定义n阶行列式的定义. 我们把1阶行列式定义为一个数, 这个数就是行列式的元素本身我们假定已经定义了n1阶行列式, 现设有个数排成的n阶矩阵 则该矩阵的行列式（或简称n阶行列式）记作, 或 它表示这样一个数： 其中是从中划掉第1行第j列后余下的个数（其相对顺序不变）所组成的阶行列式, 称为的余子式, 而称为的代数余子式上式的右端称为n阶行列式按第1行的展开式当我们把上述定义中的1变为i时，得到了任意元素aij的余子式和代数余子式的概念 2阶与3阶行列式前面已经定义, 而且不难看出, 按以上方式定义的2阶与3阶行列式完全与原先定义的相一致于是由归纳法, 我们可以继续定义出4阶, 5阶, 等的各阶行列式例1.3.1 从上面例子中不难看出, 由于3阶行列式的展开式共有3! 项, 于是4阶行列式的展开式就有项一般地, 我们可以用数学归纳法证明, n阶行列式的展开式共有n!项当n较大时, 其项数十分庞大比如n=10, 那么就会得到10!=3628800个项做加减法, 这里还未算上每项要做的乘法由此可见, 按照定义, 即按第一行展开来计算行列式是十分不便的, 甚至可以说是几乎无法实现的1.3.2 行列式的性质1行列式的基本性质为了有效地进行行列式的计算, 有必要研究其性质, 并由此得到实际可行的计算方法 性质1设A是n阶矩阵, 则 其中A是A的转置矩阵今后我们称行列式为的转置行列式，性质1说明行列式与它的转置行列式相等，具体地写出来, 即 根据性质1, 对于行列式中有关行的性质完全适用于列 性质2交换行列式中任意两行(列), 其值变号 例如二阶行列式中, 若交换其第1行与第二行, 则得 = 推论1若行列式有两行(列)的对应元素相同, 则该行列式等于零 证. 设行列式中第i行与第k行的对应元素相同，现交换这两行得一新行列式, 记作D, 根据性质2, , 但因这两行对应元素相同, 交换后所得行列式与原行列式又相同, 即D= 于是, 故 性质3用常数c乘以行列式中某行（列）的每个元素所得到的行列式，等于用c乘以该行列式 证设行列式是 若用c乘以D的第1行，则成为行列式 现按 的第一行展开得 其中D与中第一行各元素的代数余子式是相同的现设用c乘以D的第i行, 我们记交换D的第1行与第i行所得的行列式为 现用c乘以D的第i行, 即得行列式 推论2若行列式中有一行（列）的所有元素全是零, 则该行列式等于零 证. 在性质3中取即可 推论3若行列式某行（列）所有元素含有公因数c, 则可将该公因数c提到行列式外面此推论实际上就是性质3 推论4若行列式有两行（列）的对应元素成比例, 则该行列式等于零证. 只要把比例系数作为公因数提到行列式外面, 就得到一个两行相同的行列式，所以行列式为零2. 行列式的扩展性质性质4若行列式的第i行各元素可以表示成，则，上述性质对列的情况也成立 证若, 则对第1行展开, 可立即得到结论（参见性质3证明）若, 可将第1行与第i行交换, 然后证明结论（参见性质3证明）性质5把行列式的任一行（列）的c倍加到另一行（列）上, 行列式的值不变，即 证. 设行列式D= 现将D的第行的c倍加到第k行上 即为 = D + 0 = D 性质5中的演算与矩阵初等变换中的第3种类似, 我们也说成行列式中第k行加上第i行的c倍, 仍记作 ( 当c0时, 也记作)同时记Ci为行列式的第i列, 则列变换可记为注意该性质在行列式的具体计算中相当重要，它可以使我们把行列式的某行（列）消成只有一个元素非零的形式而且与求矩阵方程的解的过程不一样的是，在求行列式的过程中，上述对行和列的变换可以混合使用 性质6设是n阶行列式, 则等于其任一行（列）中各元素与它们的对应代数余子式的乘积之和，即行列式可以按任一行（列）展开： ( ) . 证. 若, 则该性质就是定义现设 将的第行与第行交换, 然后再与第行交换, 如此继续, 经次交换后, 原来的第行就换到了第1行, 而其余各行顺序不变, 根据性质2, 得我们称上是式的右端为按第i行（j列）的展开式需要特别注意的是，若行列式有某一行（列）只有一个元素非零，则按照性质6我们就得出该行列式等于这个非零元乘以它的代数余子式在行列式的实际运算中，我们总是通过性质5将行列式的某一行（列）消为只有一个非零元（最好是1）的形状，再计算低一阶的行列式，即这个非零元的代数余子式1.3.3 行列式的计算1行列式的计算我们已经知道, 当n较大时, 按某行（列）展开来计算n阶行列式是几乎不可能的, 只有在n较小时才可计算出结果, 即使如此, 计算量仍然很大, 比如n = 4, 就要计算4! = 24项, 每项是4个数的乘积, 最后相加减我们有了前段的诸多性质以后, 就将有十分有效而快捷的计算而有些特殊类型行列式则很容易算出来，比如上三角形行列式定义. 我们称以下形状的行列式 为上三角形行列式上三角形矩阵的转置称为下三角形矩阵只要逐次按第1列展开, 容易得知上（下）三角形行列式等于主对角线元素的乘积联想到矩阵化为阶梯形的过程, 我们就知道任何行列式都可以化成一个上三角形的行列式，从而可以把它的值求出来例1.3.2 =这种消去法的计算过程有一定的规律性, 在计算机中就可按一定的程序来实现但在我们实际的计算当中，注意观察行列式的特点，我们就可以找到简单得多的计算方法比如，我们首先要找这样的一行（或列），其中有尽量多的零元并且最好有一个元素是1（这样我们可以避免分数的计算），然后利用行列式的性质5通过相应的列（行）变换将该行（列）化为除了一个元素之外的全都为零的形状，再将行列式按该行（列）展开就可以将行列式化为低一阶的行列式例1.3.3 我们重新计算例1.3.1的行列式，试做一个比较，首先看到第4列中有两个元素是0，于是就用行变换将这列消为只有第一行的一个非零元，再按第四列展开，就化为一个三阶行列式，再用同样的思路就可以简单地计算出行列式了 2. 对逆矩阵的应用首先, 同阶矩阵的乘法与行列式的乘法之间有着重要的联系, 它体现在下述定理中 定理1.3.1. 若A与B均为n阶矩阵，则，即同阶矩阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积作为一个特例，若A是可逆矩阵，是A的逆，则有，但显然行列式，于是，这说明可逆矩阵的行列式必不为零，这是矩阵可逆的一个必要条件，也就给我们提供了判断给定矩阵是否可逆的有效方法事实上，矩阵行列式不为零也是矩阵可逆的充分条件，我们有定理1.3.2. 矩阵A可逆推论. n阶矩阵A可逆的秩等于n，即 证. 在用初等行变换求矩阵A的秩的过程中，第1种第2种行变换虽然改变对应行列式的值， 但不改变对应行列式的非零性，也就是说变换后的行列式也不为0而第3种行变换不改变对应行列式的值因此，化成的阶梯形必为上三角形，且主对角线上的元素均不为零今后, 可逆矩阵也将被称为满秩矩阵或非奇异矩阵, 而行列式为0的矩阵则称为奇异矩阵例1.3.4设，因,所以A是可逆矩阵经计算可得1.3.4 克莱姆法则*1克莱姆法则的证明在行列式的定义当中我们提到了二元线性方程组的克莱姆求解法则它可以推广到含有n个未知数n个方程的线性方程组： 其系数矩阵A为方阵, A的行列式称为方程组的系数行列式，记作首先, 假设方程组有解：x1 = c1，x2 = c2，xn = cn，将它们代入方程组便得等式组 用D的第1列各元素的代数余子式A11, A21,An1分别去乘上式的第1个, 第2个, , 第n个等式的两端, 然后相加, 即得 , 或, 其中, 而对, 有 , 于是得,只要即得, 为便于记忆,可将表成行列式 ， 它是用列代替A中第1列所得的行列式，则 同理, 用, 来代替上述的 可得, 其中是将列B代替A中第j列所得的行列式这就证明了当 方程组若有解, 则解是唯一的, 必须是 ， 反之, 当把上述xj代入第i个方程，得 这就完全证明了下述定理定理1.3.3.(克莱姆法则). 若含有n个变量和n个方程的线性方程组的系数行列式D不为零，则该方程组有且仅有唯一解 ， ，其中是将列代替系数矩阵的第j列后的对应行列式定理1.3.4. 若上述方程组为齐次的，则必有零解且当系数行列式D不等于零时，方程组只有零解 证. 方程组必有零解是显然的若 由克莱姆法则, 有唯一解，只能是零解了推论. 上述齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D = 0例1.3.5 用克莱姆法则求线性方程组的解解. , 故得解2克莱姆法则的应用求逆矩阵我们可应用克莱姆法则来求可逆矩阵的逆事实上，设A是可逆的n阶矩阵，则，矩阵方程AX = In有解，令，于是矩阵方程AX = In成为此式可写成n个线性方程组的形式, 第j行, 应用克莱姆法则可求得上述方程的唯一解 ,即, ，其中是中元素的代数余子式由此即得A的逆为，记，我们称之称为A的伴随矩阵，则上式可简记作例1.3.6 求矩阵的逆矩阵解 ,故A可逆又 ，, ，, ,， , ，故习 题1.3.1 计算下列行列式的值：(1) ； (2) ；(3) ；(4) 1.3.2计算下列行列式的值：(1) ； (2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 1.3.3计算行列式的值1.3.4计算行列式的值1.3.5计算行列式的值1.3.6计算行列式的值1.3.7设行列式为，则下列哪些行列式一定与它相等(A) ；（B）；（C）；（D）1.3.8设行列式为，则下列哪些行列式一定为它的两倍（A）；(B)；(C)；(D)1.3.9 试证：1.3.10试证：思考题1.3.11将一个行列式的所有元素都变成k倍后的行列式与原行列式的值是什么关系？1.3.12将一个行列式的所有元素都变成倒数后的行列式与原行列式的值是否有什么关系？1.3.13将两个行列式的所有元素都对应相加后的行列式与两个行列式的和是否相等？1.4 一般线性方程组的求解教学要求本节要求熟练掌握一般线性方程组的求解方法，初步了解线性方程组在实际中的一些应用。1. 点、线和面的方程表示2. 能够解一般线性方程组知识点1. 线形方程组在几何中的应用2. 线性方程组的一般理论 3. 线性方程组在经济中的应用1.4.1 线性方程组在几何中的应用我们知道, 空间中三个平面间存在着几种不同的关系：相交于一点、相交于一直线、重合或没有公共交点另一方面, 在平面直角坐标系里一个平面可由一个三元线性方程ax + by + cz = d表示, 平面上所有的点都满足这个方程于是三个平面 的相互关系, 完全等价于解线性方程组 有唯一解（三个平面交于一点），有无穷多解（三个平面交于一直线或重合，通解含一个任意参数还是两个任意参数）或没有解（三个平面无交点）因而我们可以通过解线性方程组的办法来确定空间中多个平面之间的关系 例1.4.1 平面，重合于一个平面 解. 方程组的增广矩阵为，经初等行变换化为，由此解得，其中c1 ，c2为任意常数，如下图 例1.4.2平面，相交于一条直线 解.增广矩阵为，经初等行变换化为，由此解得，其中c为任意常数，如下图例1.4.3 平面，相交于一个点（1，1，1）解. 增广矩阵为，经初等行变换化为，由此解得，如下图例1.4.4 平面，没有公共交点解. 方程组的增广矩阵为，经初等行变换化为，方程组无解如下图 1.4.2 线性方程组的一般理论1. 一般线性方程组解的基本定理我们知道一般的n元线性方程组 (或写成矩阵形式 AX=B )解法是首先将其增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵，这样方程组就等价于一个阶梯形的方程组，然后再把不处于每行中第一个非零系数的变元xj挪到方程的右边，令它们为任意参数，则方程就可以唯一解出了那么一个基本问题是这种做法会不会出矛盾？也就是说什么时候方程组没有解？有解的时候什么时候有唯一解，什么时候有无穷多解？有无穷多解的时候，所含的任意常数的个数是不是会随着解法的不同而发生变化？从以前的例子看可能出现多种情况现在我们将上述诸种情况抽象出关于线性方程组解的下述基本定理定理1.4.1. 设A与分别是n元线性方程组系数矩阵与增广矩阵若秩，则方程组无解；若秩，则方程组有解当时，方程组有唯一解；当时，有无穷多个解，且通解一定含n r个任意常数例1.4.5 解线性方程组解. 写出增广矩阵，对施行适当初等行变换，化成阶梯形，即 . 于是得到原方程组的同解方程组 ,也即求得原方程组的唯一解：在这例子里, 增广矩阵与系数矩阵的秩均为3例1.4.6 解方程组解. 增广矩阵为，对施行适当初等行变换，化成阶梯形，即,因此原方程组同解于方程组 , 其中第三个方程是矛盾方程, 故原方程组无解在这个例子里，增广矩阵的秩是3，但系数矩阵的秩