2019届高三数学上学期期中试卷 文(含解析) (I).doc

2019届高三数学上学期期中试卷 文(含解析) (I)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得的结果，然后求其与的并集，由此得出正确选项.【详解】解：故选：B【点睛】本小题主要考查集合的交集、集合的并集的运算，属于基础题.2.已知复数，则复数的模为 （）A. 2 B. C. 1 D. 0【答案】C【解析】,3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角=( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可解得sinA=asinBb=12，利用大边对大角可得范围A(0,45)，从而解得A的值【详解】解：a=1,b=2,B=45，由正弦定理可得：sinA=asinBb=1222=12，a=1cb B. bca C. bac D. abc【答案】B【解析】【分析】由偶函数f（x）在（，0上单调递增，可得f（x）在（0，+）上单调递减，比较三个自变量的大小，可得答案【详解】因为a=flog123=flog23=flog23,且log2312,021.21221.20.又fx在区间,0内单调递增，且fx为偶函数，所以fx在区间0,+内单调递减，所以flog123f12ca.故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性.根据题意，函数fx为偶函数，所以图像关于y轴对称，且在y轴左右两侧单调性相反，即左增右减，距离对称轴越远，函数值就越小，所以原不等式比较两个函数值的大小，转化为比较两个自变量的绝对值的大小，绝对值大的，距离y轴远，函数值就小.如果函数为奇函数，则左右两边单调性相同.5.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥ABCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A. 22 B. 12 C. 24 D. 14【答案】D【解析】【分析】由题意确定几何体的形状，二面角C-BD-A为直二面角，依据数据，求出侧视图面积【详解】解：根据这两个视图可以推知折起后二面角C-BD-A为直二面角，其侧视图是一个两直角边长为22的直角三角形，其面积为14故选：D【点睛】本题考查三视图求面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题6.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）A. 310 B. 15 C. 110 D. 120【答案】C【解析】试题分析：从1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选C.考点：古典概型【此处有视频，请去附件查看】7.设函数fx=x3+a1x2+ax若fx为奇函数，则曲线y=fx在点0，0处的切线方程为()A. y=2x B. y=x C. y=2x D. y=x【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得a=1，进而得到f(x)的解析式，再对f(x)求导得出切线的斜率k，进而求得切线方程.详解：因为函数f(x)是奇函数，所以a1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f(x)=3x2+1，所以f(0)=1,f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为yf(0)=f(0)x，化简可得y=x，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线y=f(x)在某个点(x0,f(x0)处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f(x)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.8.函数y=elnx|x1|的图象大致是（ ）【答案】D【解析】y=elnx|x1|=elnx(x1),(x1)elnx+(x1),(x1)1x+(x1),(x1)1x+x1,(x1)所以图像是：D9.已知函数f(x)为奇函数，对任意xR，都有f(x+6)=f(x)，且f(2)=4，则f(2014)=( )A. -4 B. -8 C. 0 D. -16【答案】A【解析】【分析】由已知分析出函数的周期性，结合函数的奇偶性，可得答案【详解】解：对任意xR，都有f(x+6)=f(x)，函数f(x)为周期为6的周期函数，f(2014)=f(3366-2)=f(-2)，又函数f(x)为奇函数，且f(2)=4，f(2014)=-4，故选：A【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数求值，难度中档10.已知p：函数y=|xa|在3,+)上是增函数，q：函数y=lg(xa)在3,+)是增函数，则p是q的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用函数的单调性求出命题p：a3，命题q:a3，从而p是q的必要不充分条件【详解】解：p:函数y=|x-a|在3,+)上是增函数，a3，q：函数y=lg(x-a)在3,+)是增函数，a2000的最小正整数n的值为4,4,43,4,43,432,4,43,432,433,A. 20 B. 21 C. 26 D. 27【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析表中数据的规律，求出各行的和，据此可得S21=21702000，求出第六行的第6个数，计算可得S20=S21-9722000，而第六行的第6个数为435=972，则S20=S21-9722000的最小正整数n的值21；故选：B【点睛】本题考查等比数列的求和，涉及归纳推理的应用，关键是分析表中数列的规律，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a=(1,3),b=(3,1) ，则a与b夹角的大小为_.【答案】6【解析】设与b的夹角的大小为，则cos=abab=2322=32，又0，=6，即与b的夹角的大小为6，故答案为6.14.若命题“xR，使x2+(a+1)x+10”是假命题，则实数a的取值范围为_.【答案】a3【解析】【分析】根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+10，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可【详解】命题“存在xR，使x2+（a1）x+10”的否定是“任意实数x，使x2+（a1）x+10”命题否定是真命题，=（a1）240，整理得出a22a301a3故答案为：-1,3【点睛】本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况15.在ABC中，若B=4,b=2a，则C= 【答案】712【解析】因为B=4，b=2a，所以,由正弦定理得sinB=2sinA,sinA=12,而ba，所以A=6,C=(6+4)=712.考点：正弦定理的应用.16.直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=3，AC=4，BC=5，AA1=2，则此球的表面积等于_【答案】29【解析】【分析】由已知求出BAC=90，可得底面外接圆的半径，设此圆圆心为O，球心为O，在RtOBO中，由勾股定理求出球的半径，代入球的表面积公式求解【详解】解：如图，在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，由勾股定理可得BAC=90可得ABC外接圆半径r=52，设此圆圆心为O，球心为O，在RtOBO中，可得球半径R=12+(52)2=292，此球的表面积为4R2=4294=29故答案为：29【点睛】本题考查多面体外接球表面积、体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，是中档题三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且b2+c2a2=433S.(1)求A；(2)若a=53，cosB=45，求c【答案】（1）A=60（2）3+43【解析】【分析】(1)已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tanA的值，即可确定出A的度数；(2)由cosB的值求出sinB的值，进而求出sinC的值，由，sinA，sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值【详解】解：(1)b2+c2-a2=2bccosA，S=12bcsinA，代入已知等式得：2bccosA=43312bcsinA，整理得：tanA=3，A是三角形内角，A=60；(2) B为三角形内角，cosB=45，sinB=1-cos2B=35，sinC=sin(B+A)=sin(B+60)=12sinB+32cosB=3+4310，a=53，sinA=32，sinC=3+4310，由正弦定理得：C=asinCsinA=3+43【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18.xx2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(1)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(2)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.()问男、女学生各选取多少人？()若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.附：K2=nadbc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.PK2k00.100.050.0250.010.005k02.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）见解析；（2）男生有6人，女生有2人，37【解析】分析：()因为K2=1206020-2020280408040=7.56.635，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；()()根据分层抽样方法得，男生348=6人，女生148=2人； ()从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，由古典概型概率公式可得结果.详解：()因为K2=1206020-2020280408040=7.56.635，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. ()()根据分层抽样方法得，男生348=6人，女生148=2人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人. ()从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，所以，所求概率P=1228=37. 点睛：本题主要考查频率分层抽样、古典概型概率公式以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22列联表；（2）根据公式K2=nadbc2a+ba+da+cb+d计算K2的值；(3) 查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19.设Sn为数列an的前n项和，已知an0，a1=1，Sn+Sn1=ann2,nN*（）求证：Sn是等差数列；（）设bn=2n1an，求数列bn的前n项和Tn【答案】（）见解析;（）n2n+1-32n+3.【解析】分析：（）当n2时，an=Sn-Sn-1，带入可得：Sn-Sn-1=1，从而得证；（）由（）得Sn=n2，进而得an=2n-1，bn=2n-12n-1，利用错位相减即可得解.详解：（）证：当n2时，an=Sn-Sn-1，代入已知得，Sn+Sn-1=Sn-Sn-1，所以Sn+Sn-1=Sn+Sn-1Sn-Sn-1，因为an0，所以Sn+Sn-10，所以Sn-Sn-1=1n2,nN*，故Sn是等差数列；（）解：由（）知Sn是以1为首项，1为公差的等差数列，所以Sn=1+n-11=n从而Sn=n2，当n2,nN*时，an=Sn+Sn-1=n+n-1=2n-1，又a1=1适合上式，所以an=2n-1所以bn=2n-1an=2n-12n-1Tn=120+321+522+ 2n-32n-2+2n-12n-12Tn=121+322+523+ 2n-32n-1+2n-12n-得，Tn=-221+222+223+22n-1 +2n-12n-1=-22+23+2n+2n-12n-1= -41-2n-11-2+2n-12n-1-=-2n+1+4+n2n+1-2n-1= n2n+1-32n+3点睛：弄清错位相减法的适用条件及解题格式是关键，在应用错位相减法求和时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个公比不为1的等比数列对应项相乘所得，所谓“错位”就是找“同类项”相减20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，左右端点为A1,A2,其中A2的横坐标为2. 过点B(4,0)的直线交椭圆于P,Q两点,P在Q的左侧，且P,Q不与A1,A2重合，点Q关于x轴的对称点为R，射线A1R与PA2交于点M.（1）求椭圆的方程；（2）求证: M点在直线x=4上.【答案】（1）x24+y23=1 ； （2）见解析.【解析】【分析】（1）由椭圆的基本量运算可得解；（2）设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x2,-y2)，由直线与椭圆联立可得(3m2+4)y2+24my+36=0，写出直线A1R和直线A2P的方程，联立解交点横坐标，再利用韦达定理代入可得定值.【详解】（1）因为离心率为12，所以ca=12,因为A2的横坐标为2，所以a=2c=1,b=a2-c2=3,因此椭圆的方程为x24+y23=1；（2）设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x2,-y2)由3x2+4y2=12与x=my+4联立，得(3m2+4)y2+24my+36=0所以y1+y2=-24m3m2+4,y1y2=363m2+4直线A1R:y=-y2x2+2(x+2)，直线A2P:y=y1x1-2(x-2)，联立解出x=6y1-2y2my1y2+3y1+y2=4-6(y1+y2)+4my1y2my1y2+3y1+y2=4.【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数f(x)=xlnx若函数g(x)=f(x)+ax在区间e2,+上为增函数，求a的取值范围；若对任意x(0,+),f(x)x2+mx32恒成立，求实数m的最大值【答案】（1）3,+) ； （2）4.【解析】【分析】(1)g(x)的导数导数大于或等于0恒成立，转化成求不等式恒成立问题(2) 求不等式恒成立问题转化成求最值问题，利用导数知识判断函数的单调性，从而求最值。【详解】(1)由题意得g(x)f(x)aln xa1.函数g(x)在区间e2，)上为增函数，当xe2，)时，g(x)0，即ln xa10在e2，)上恒成立a1ln x.令h(x)ln x1，ah(x)max，当xe2，)时，ln x2，)，h(x)(，3，a3，即实数a的取值范围是3，) (2)2f(x)x2mx3，即mx2xln xx23，又x0，m在x(0，)上恒成立记t(x)2ln xx.mt(x)min.t(x)1，令t(x)0，得x1或x3(舍去)当x(0,1)时，t(x)0，函数t(x)在(0,1)上单调递减；当x(1，)时，t(x)0，函数t(x)在(1，)上单调递增，t(x)mint(1)4.mt(x)min4，即m的最大值为4.【点睛】恒成立问题一般参变分离转化成最值问题来处理，避免分类讨论，只需要利用导数知识判断函数的单调性，从而求得函数的最值。22.平面直角坐标系中，直线的参数方程为x=t+1y=3t+1(为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=2cos1cos2（1）写出直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程;（2）已知与直线平行的直线过点M2,0，且与曲线C交于A，B两点